第6章 数列 第2节 等差数列及其前n项和 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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研考点 精准突破
强基础 固本增分
1.等差数列的有关概念
微点拨(1)在等差数列{an}中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项,即{an}成等差数列⇔an+1+an-1=2an (n∈N*,n≥2).(2)任何两个实数都有等差中项,且等差中项是唯一的.
证明一个数列是等差数列的“等差中项法”
an+1-an=d(n∈N*,d为常数)
2.等差数列的有关公式
公差d的几何意义是点(1,a1),…,(n,an)所在直线的斜率
微思考在等差数列{an}中,通项an是关于n的一次函数吗?前n项和Sn是关于n的二次函数吗?
提示 an不一定是关于n的一次函数,事实上,在等差数列{an}中,an=kn+b (k,b∈R),当k=0,即数列为常数列时,an不是关于n的一次函数.Sn不一定是关于n的二次函数,当公差不为0时,Sn=An2+Bn(A,B为常数,且A≠0)是二次函数;当公差为0时,数列为常数列,Sn=Bn不是二次函数.
3.等差数列的常用性质(1)等差数列的通项公式的推广:an=am+__________(n,m∈N*). (2)若数列{an}为等差数列,且m+n=p+q,则________________(m,n,p,q∈N*).特别地,若m+n=2t,则am+an=2at(m,n,t∈N*).
at为am和an的等差中项
在等差数列中下标是等差数列的项组成的新数列仍为等差数列
(3)若数列{an}是等差数列,公差为d,前n项和为Sn,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N*)也是等差数列,公差为m2d.
(5)若等差数列{an}的项数为奇数2n-1,则S2n-1=(2n-1)an.
am+an=ap+aq
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(　　)2.在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq,则m+n=p+q(m,n,p,q∈N*).(　　)3.等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　)4.在等差数列{an}中,若m+n=p,则am+an=ap.(　　)
题组二 回源教材5.(人教A版选择性必修第二册4.2.1节例2改编)等差数列-5,-9,-13,…的第100项是__________. 
解析 由题意得,a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为an=-5-4(n-1)=-4n-1.所以a100=-4×100-1=-401.
6.(人教B版选择性必修第三册习题5-2 B第4题改编)在等差数列{an}中,已知a3+a11=6,则S13=__________. 
7.(人教A版选择性必修第二册4.2.2节例8改编)某剧场有20排座位,后一排比前一排多2个座位,最后一排有60个座位,则该剧场总共的座位数为__________. 
解析 设第n排的座位数为an(n∈N*),数列{an}为等差数列,其公差d=2,则an=a1+(n-1)d=a1+2(n-1).由已知a20=60,得60=a1+2×(20-1),解得a1=22,
题组三 连线高考8.(2022·全国乙,文13)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=__________. 
解析 由题意得2(3a1+3d)=3(2a1+d)+6,即3d=6,解得d=2.
9.(2020·全国Ⅱ,理4)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块
考点一 等差数列的基本量运算(多考向探究预测)
考向1 求解等差数列的基本量例1(1)(2024·山东济宁模拟)已知等差数列{an}的前5项和S5=35,且满足a5=13a1,则等差数列{an}的公差为(　　)A.-3B.-1C.1D.3
解析 设数列{an}的公差为d,则S5=5a1+10d=35,a5=a1+4d=13a1,解得d=3,a1=1.
(2)(2024·福建福州模拟)我国古代用日晷测量日影的长度,晷长即为所测量影子的长度,二十四个节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长的变化量相同,冬至日晷长最长,夏至日晷长最短,周而复始.已知冬至日晷长为13.5尺,芒种日晷长为2.5尺,则一年中立春到夏至的日晷长的和为(　　)
A.58.5尺B.59.5尺C.60尺D.60.5尺
(3)(2020·全国Ⅱ,文14)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=__________. 
解析 设等差数列{an}的公差为d.∵a1=-2,∴a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得d=1.
(2)(2023·全国乙,文18)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.①求{an}的通项公式;②求数列{|an|}的前n项和Tn.
考向2 两个等差数列的公共项问题例2(2020·新高考Ⅰ,14)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为__________. 
解析 (方法1)数列{2n-1}的项均为奇数,数列{3n-2}的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数.并且显然{3n-2}中的所有奇数均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}与{3n-2}的所有公共项就是{3n-2}的所有奇数项,这些项从小到大排列得到的新数列{an}是以1为首项,以6为公差的等差数列.
(方法2)令bx=2x-1,cm=3m-2,bx=cm,则2x-1=3m-2,即3m=2x+1,m必为奇数.令m=2t-1,则x=3t-2(t=1,2,3,…).at=b3t-2=c2t-1=6t-5,即an=6n-5.
规律方法求两个数列公共项的两种方法
[对点训练2](2024·江苏无锡模拟)已知两个等差数列2,6,10,…,198及2,8,14,…,200,将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的各项之和为(　　)A.1 460B.1 472C.1 666D.1 678
考点二 等差数列的判定与证明
[对点训练3](2024·湖北武汉模拟)记数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*,有Sn=n(an+n-1).(1)证明:{an}是等差数列;(2)若当且仅当n=7时,Sn取得最大值,求a1的取值范围.
(1)证明 因为Sn=nan+n(n-1),①则当n≥2时,Sn-1=(n-1)an-1+(n-1)(n-2),②①-②可得an=nan-(n-1)an-1+2n-2,(1-n)an=-(n-1)an-1+2(n-1),an-an-1=-2,n≥2,故{an}为等差数列.
考点三 等差数列的性质及应用(多考向探究预测)
考向1 等差数列项的性质例4(1)(2023·全国甲,文5)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10, a4a8=45,则S5=(　　)A.25B.22C.20D.15
(2)(2024·河北邢台模拟)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1-3b1=4,a6-3b6=9,则a2 024-3b2 024=__________. 
解析 因为数列{an},{bn}都是等差数列,所以{an-3bn}是等差数列.设{an-3bn}的公差为d,又a1-3b1=4,a6-3b6=9,所以5d=a6-3b6-(a1-3b1)=5,解得d=1,所以a2 024-3b2 024=4+2 023=2 027.
考向2 等差数列前n项和的性质例5(1)等差数列{an}的前n项和为Sn,S9=18,S3=3,则S6=(　　)
解析 由已知S3,S6-S3,S9-S6,即3,S6-3,18-S6成等差数列,所以2×(S6-3)=3+(18-S6),所以S6=9.
(2)已知等差数列{an}共有2n+1项,其中奇数项之和为290,偶数项之和为261,则an+1的值为(　　)A.30B.29C.28D.27
∴an+1=290-261=29.(方法2)由等差数列前n项和的性质,可知当项数为2n+1时,an+1=S奇-S偶=290-261=29.
[对点训练4](1)(2024·青海玉树模拟)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若S11=44,则a4+a6+a8=(　　)A.4B.8C.12D.16
(2)项数为奇数的等差数列{an},其奇数项和为44,偶数项和为33,则该数列的中间项是__________. 
考向3 等差数列前n项和的最值问题例6设Sn为等差数列{an}的前n项和,且满足a1