第6章 数列 素能培优(十) 数列中的奇、偶项问题 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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解数列中的奇、偶项问题,可以把一个数列分成两个新数列进行单独研究,利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列.数列中奇、偶项问题的常见题型有:(1)数列中连续两项和或积的问题(an+an+1=f(n)或an·an+1=f(n));(2)通项中含有(-1)n的类型;(3)含有{a2n},{a2n-1}的类型;(4)已知条件明确的奇、偶项问题.
探究一 通项中含有(-1)n的数列求和
例1(2024·贵州安顺模拟)在等比数列{an}中,已知a2=4,a5=32.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=(-1)n·lg2an,求数列{bn}的前n项和Sn.
规律方法含有(-1)n的数列求和问题一般采用分组转 化法或并项转化法求和.
探究二 奇、偶项通项不同的数列求和
(1)求{an}的通项公式;(2)证明:当n>5时,Tn>Sn.
(1)求数列{cn}和{an}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和Sn.
a1+a3=2a2,即a1+3a1+2=6a1,解得a1=1.由cn=a2n-1,得c1=a1=1,cn+1=a2n+1.又a2k=3a2k-1,a2k+1=a2k+2,k∈N*,故a2k+1=3a2k-1+2,所以ck+1=3ck+2,即cn+1=3cn+2,所以cn+1+1=3(cn+1).又c1+1=2,所以数列{cn+1}是以2为首项,3为公比的等比数列,所以cn+1=2·3n-1,所以cn=2·3n-1-1.则a2n-1=2·3n-1-1,故a2n=3a2n-1=2·3n-3,