第8章 立体几何与空间向量 第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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研考点 精准突破
强基础 固本增分
1.与平面及平行线有关的基本事实及推论(1)平面及平行线的基本事实
当三个点共线时,过这三点的平面有无数个
(2)基本事实的3个推论
微点拨基本事实1及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法;基本事实2的作用是判断直线是否在某个平面内;基本事实3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据;基本事实4是对初中平行线的传递性在空间中的推广.
微思考“有且只有一个平面”“确定一个平面”“共面”三者之间有何区别与联系?
提示 “确定一个平面”与“有且只有一个平面”是等价的,都包括“存在”和“唯一”两个方面.但“共面”的意思是“在同一个平面内”,只强调了“存在性”,不含“唯一性”.所以“共面”与前两者是不同的.
2.空间中直线与直线的位置关系
这两条直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,又不相交
误区警示1.异面直线不同在任何一个平面内,不能误解为分别在两个平面内的两条直线为异面直线.2.异面直线不具有传递性.即若直线a与b异面,b与c异面,则a与c不一定是异面直线.
3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
线面相交、线面平行统称为直线在平面外,记作a⊄α
4.等角定理如果空间中两个角的两边分别对应平行,那么这两个角__________. 
微点拨如果两个角的两边平行且方向都相同或都相反,则两角相等;若一边同向,另一边反向,则互补.
5.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把直线a'与b'所成的__________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)取值范围:(0, ].
常用结论1.平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.2.分别在两个平行平面内的直线平行或异面.
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.分别在两个平面内的两条直线是异面直线.(　　)2.任意四边形都可以确定唯一一个平面.(　　)3.两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于A点,记作α∩β=A.(　　)4.两两相交的三条直线共面.(　　)
题组二 回源教材5.(人教A版必修第二册8.4.2节练习第1(2)题)设直线a,b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线,则a与b(　　)A.平行B.相交C.是异面直线D.可能相交,也可能是异面直线
解析 结合正方体,易知两直线可能相交,也可能异面.
6.(人教A版必修第二册8.4.1节练习第2题)下列命题正确的是(　　)A.三点确定一个平面B.一条直线和一个点确定一个平面C.圆心和圆上两点可确定一个平面D.梯形可确定一个平面
解析 对于A,不共线的三点确定一个平面,故A不正确;对于B,一条直线和直线外一个点确定一个平面,若点在直线上它们不能确定平面,故B不正确;对于C,当圆上两点为一直径的两个端点时,它们与圆心三点共线不能确定平面,故C不正确;对于D,梯形的两个底边所在直线平行,可确定一个平面,故D正确.
题组三 连线高考7.(2006·上海,15)若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
解析 若“这两条直线为异面直线”,则“这两条直线没有公共点”;若“这两条直线没有公共点”,则“这两条直线可能异面,也可能平行”.
考点一 与平面有关的基本事实的应用
例1已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点, AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线;(3)DE,BF,CC1三线交于一点.
证明 (1)如图所示,连接B1D1.因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1.在正方体中,B1D1∥BD,所以EF∥BD.所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.(2)在正方体中,设A1,C,C1三点确定的平面为α,平面BDEF为β.因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点.同理,P是平面α与β的公共点,所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β.则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.
(3)因为EF∥BD,且EF[对点训练1] 如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H分别在BC, CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2,求证:
(1)E,F,G,H四点共面;(2)直线EG与HF的交点在直线AC上.
证明 (1)∵BG∶GC=DH∶HC=1∶2,∴GH∥BD.∵E,F分别为AB,AD的中点,∴EF∥BD,∴EF∥GH,∴E,F,H,G四点共面.(2)∵G,H不是BC,CD的中点,∴EF∥GH,且EF≠GH,∴直线EG与FH必相交.设直线EG,FH的交点为M.∵EG⊂平面ABC,FH⊂平面ACD,∴M∈平面ABC,且M∈平面ACD.∵平面ABC∩平面ACD=AC,∴M∈AC,∴直线EG与HF的交点在直线AC上.
考点二 空间两条直线的位置关系判断
例2(1)如图,在三棱锥P-ABC中,E,F,G,H,I,J分别为线段PA,PB,PC,AB,BC,CA的中点,则下列说法正确的是(　　) A.PH∥BGB.IE∥CPC.FH∥GJD.GI∥JH
解析 对于C,由题意可得,FH∥PA,GJ∥PA,则FH∥GJ,故C正确;对于A,直线PH,BG是异面直线,故A错误;对于B,直线IE,CP是异面直线,故B错误;对于D,直线GI,JH是异面直线,故D错误.
(2)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列说法正确的是(　　)A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交
解析 (方法1　反证法)由于直线l与l1,l2分别共面,故直线l与l1,l2要么都不相交,要么至少与l1,l2中的一条相交.若l∥l1,l∥l2,则l1∥l2,这与l1,l2是异面直线矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.(方法2　模型法)如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确;如图2,l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确.故选D.
[对点训练2]若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是(　　)A.平行B.异面C.相交D.平行、相交或异面
解析 如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,A'D'所在直线为a,AB所在直线为b,已知a和b是异面直线,b和c是异面直线,则c可以是长方体ABCD-A'B'C'D'中的B'C',CC',DD'.故直线a和c可以平行、相交或异面.
考点三 正方体中的切割(截面)问题
例3(1)(2024·四川凉山模拟)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为棱BB1的中点,则平面AEC1截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面面积为__________. 
解析 如图所示,∵∠B1C1D1=∠B1A1D1=∠BAD=60°且B1C1=C1D1,∴△B1C1D1为等边三角形.∴B1D1=2.
[对点训练3](2024·河南新乡模拟)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,过A,D1,E三点的截面把正方体ABCD-A1B1C1D1分成两部分,则该截面的周长为(　　)
解析 如图,取BC的中点F,连接EF,AF,BC1.因为E,F分别为棱CC1,BC的中点,则EF∥BC1.在正方体中,BC1∥AD1,则EF∥AD1,所以平面AFED1即为所求截面.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,
考点四 两条异面直线所成的角
例4(1)(2024·辽宁大连模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线A1D与D1C所成的角为(　　)
(2)(2024·云南昆明一中校考)已知三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1, ∠ABC=∠B1BA=∠B1BC=60°,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)
解析 将三棱柱补成如图所示的四棱柱ABCD-A1B1C1D1,连接C1D,BC1.由四棱柱的性质知,AB1∥C1D,所以异面直线AB1与BC1所成角即为直线C1D与BC1所成角.设AB=2,则AD=2,∠BAD=120°,
规律方法求两条异面直线所成角的方法
[对点训练4](2024·甘肃兰州模拟)如图,圆锥的轴截面SAB是边长为a的正三角形,点C,D是底面弧AB的两个三等分点,则直线SC与BD所成角的正切值为________.