第8章 立体几何与空间向量 第3节 空间直线、平面的平行 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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研考点 精准突破
强基础 固本增分
1.线面平行的判定定理和性质定理
“内”“外”“平行”三个条件缺一不可
误区警示在推证线面平行时,一定要强调直线a不在平面α内,直线b在平面α内,且a∥b,否则会出现错误.
微思考一条直线与一个平面平行,那么它与平面内的所有直线都平行吗?
提示 不都平行.该平面内的直线有两类:一类与该直线平行,一类与该直线异面.
2.面面平行的判定定理和性质定理
“相交”条件不可缺少
微思考一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行,那么这两个平面平行吗?
提示 平行.可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”,这就是面面平行的判定定理.
常用结论1.平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.(3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.2.判断两个平面平行的三个结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.(2)平行于同一平面的两个平面平行.(3)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行.
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.若直线a与平面α内的一条直线平行,则a∥α.(　　)2.如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行.(　　)3.如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(　　)4.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(　　)
题组二 回源教材5.(人教A版必修第二册习题8.5第1(1)题)若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是(　　)A.α内的所有直线都与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内的直线都与a相交D.直线a与平面α有公共点
解析 直线a不平行于α,包括两种情况:a⊂α或a∩α=P.当a⊂α时,α内的所有直线都与直线a共面,A错误;当a⊂α时,α内必然有直线与直线a平行,B错误;由B知,C错误;当a⊂α时,直线a和平面α有无数个公共点,当a∩α=P时,直线a与平面α有唯一公共点P,D正确.
6.(人教A版必修第二册习题8.5第5题) 如图,在四面体D-ABC中,E,F,G分别是AB,BC,CD的中点,求证: (1)BD∥平面EFG;(2)AC∥平面EFG.
证明 (1)∵F,G分别是BC,CD的中点,∴FG∥BD.∵BD⊄平面EFG,FG⊂平面EFG,∴BD∥平面EFG.(2)∵E,F分别是AB,BC的中点,∴EF∥AC.∵AC⊄平面EFG,EF⊂平面EFG,∴AC∥平面EFG.
题组三 连线高考7.(2015·北京,理4)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析 若m⊂α,m∥β,平面α,β可能相交,也可能平行;若α∥β,m⊂α,则直线m和平面β没有公共点,故m∥β.故选B.
8.(2011·福建,文15)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于__________. 
考点一 直线与平面平行的判定与性质(多考向探究预测)
考向1 直线与平面平行的判定例1如图,在四棱锥E-ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,CD=2AB=2CE=4,点F为棱DE的中点.证明:AF∥平面BCE.
(方法2)如图,在平面ABCD内,分别延长CB,DA,交于点N,连接EN.因为AB∥CD,CD=2AB,所以A为DN的中点.又F为DE的中点,所以AF∥EN.因为EN⊂平面BCE,AF⊄平面BCE,所以AF∥平面BCE.
(方法3)如图,取棱CD的中点G,连接AG,GF,因为点F为棱DE的中点,所以FG∥CE.因为FG⊄平面BCE,CE⊂平面BCE,所以FG∥平面BCE.因为AB∥CD,AB=CG=2,所以四边形ABCG是平行四边形,所以AG∥BC.因为AG⊄平面BCE,BC⊂平面BCE,所以AG∥平面BCE.又FG∩AG=G,FG⊂平面AFG,AG⊂平面AFG,所以平面AFG∥平面BCE.因为AF⊂平面AFG,所以AF∥平面BCE.
[对点训练1]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点, P是线段B1D1上的动点.证明: (1)AC1∥平面BDF;(2)PE∥平面BDF.
证明 (1)如图,连接AC交BD于点O,连接FO.∵F为CC1的中点,O为AC的中点,∴FO为△ACC1的中位线,∴FO∥AC1.∵FO⊂平面BDF,AC1⊄平面BDF,∴AC1∥平面BDF.(2)连接ED1,EB1,连接A1C1交B1D1于点O1,连接EO1,如图.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD∥B1D1.∵B1D1⊄平面BDF,BD⊂平面BDF,∴B1D1∥平面BDF.又EO1为△AA1C1的中位线,∴EO1∥AC1.∵AC1∥平面BDF,EO1⊄平面BDF,∴EO1∥平面BDF.∵EO1⊂平面B1D1E,B1D1⊂平面B1D1E,EO1∩B1D1=O1,∴平面B1D1E∥平面BDF.∵PE⊂平面B1D1E,∴PE∥平面BDF.
考向2 直线与平面平行的性质例2如图,已知E,F分别是菱形ABCD的边BC,CD的中点,EF与AC交于点O,点P在平面ABCD外,M是线段PA上一动点,若PC∥平面MEF,试确定点M的位置.
解 M为线段PA上靠近点P的四等分点.理由如下:如图,连接BD交AC于点O1,连接OM.因为PC∥平面MEF,PC⊂平面PAC,平面PAC∩平面MEF=OM,
规律方法应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.
∴△AOC,△BOD均为正三角形,∴∠OAC=∠OBD,∴AC∥BD.∵BD⊂平面PBD,AC⊄平面PBD,∴AC∥平面PBD.又平面PAC∩平面PBD=l,AC⊂平面PAC,∴AC∥l.
考点二 平面与平面平行的判定与性质
例3如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.求证: (1)B,C,H,G四点共面;(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明 (1)∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点,∴GH是△A1B1C1的中位线,∴GH∥B1C1.又B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四点共面.(2)∵E,F分别是AB,AC的中点,∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.又G,E分别为A1B1,AB的中点,A1B1∥AB且A1B1=AB,∴A1G∥EB,A1G=EB,∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB.又A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.又A1E∩EF=E,A1E,EF⊂平面EFA1,∴平面EFA1∥平面BCHG.
变式探究1(变条件变结论)在本例中,若将条件“E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点”变为“D1,D分别为B1C1,BC的中点”,求证:平面A1BD1∥平面AC1D.
证明 如图所示,连接A1C,AC1,交于点M.∵四边形A1ACC1是平行四边形,∴M是A1C的中点.连接MD,∵D为BC的中点,∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1,DM⊄平面A1BD1,∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知,D1C1∥BD且D1C1=BD,∴四边形BDC1D1为平行四边形,∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1,BD1⊂平面A1BD1,∴DC1∥平面A1BD1,又DC1∩DM=D,DC1,DM⊂平面AC1D,∴平面A1BD1∥平面AC1D.
解 连接A1B,AB1,交于点O,连接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,所以BC1∥D1O,所以D1为A1C1的中点.同理,AD1∥C1D.又AD∥C1D1,所以四边形ADC1D1是平行四边形,
[对点训练3]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,已知E,F,I分别是PB,PC,AB上一点,且
(1)证明:EI∥平面PAD;(2)若EF∥平面ABCD,证明:平面EFI∥平面PAD.
证明 (1)因为 ,所以EI∥PA.因为PA⊂平面PAD,EI⊄平面PAD,所以EI∥平面PAD.(2)因为EF∥平面ABCD,EF⊂平面PBC,且平面PBC∩平面ABCD=BC,所以EF∥BC,故EF∥AD.因为AD⊂平面PAD,且EF⊄平面PAD,所以EF∥平面PAD.因为EI∥平面PAD,且EI∩EF=E,EI⊂平面EFI,EF⊂平面EFI,所以平面EFI∥平面PAD.
考点三 平行关系的综合应用
(1)求证:BC∥AD.(2)求证:CE∥平面PAB.(3)若M是线段CE上一动点,则线段AD上是否存在点N,使MN∥平面PAB?说明理由.
(1)证明 在四棱锥P-ABCD中,BC∥平面PAD,BC⊂平面ABCD,AD⊂平面PAD,平面ABCD∩平面PAD=AD,所以BC∥AD.(2)证明 如图,取AP中点为F,连接EF,BF.因为E是PD的中点,
所以EF∥BC,且EF=BC,所以四边形BCEF为平行四边形,故CE∥BF.因为CE⊄平面PAB,BF⊂平面PAB,则CE∥平面PAB.
(3)解 线段AD上存在点N,使得MN∥平面PAB,理由如下:取AD中点N,连接CN,EN.因为E,N分别为PD,AD的中点,所以EN∥PA.因为EN⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,所以EN∥平面PAB.由(2)可得,CE∥平面PAB,CE∩EN=E,CE⊂平面CEN,EN⊂平面CEN,所以平面CEN∥平面PAB.又M是CE上的动点,MN⊂平面CEN,所以MN∥平面PAB,所以线段AD上存在点N,使得MN∥平面PAB.
[对点训练4]如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别在线段AC,A1C上,且满足CE=2EA,CF=2FA1.