第8章 立体几何与空间向量 第4节 空间直线、平面的垂直 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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研考点 精准突破
强基础 固本增分
与“所有直线”是同义的,但与“无数条直线”不同
1.直线与平面垂直(1)定义:一般地,如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫做平面α的__________,平面α叫做直线l的__________.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足. 
(2)判定定理与性质定理
“相交”是定理的关键词,应用定理时不能省略
微点拨定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直.如果一条直线与平面内再多(即无数条)的直线垂直,但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直.
2.平面与平面垂直(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是__________,就说这两个平面互相垂直. 
实际应用:找出一个平面的垂面的依据
一定不能漏掉“垂直于交线”这一条件
微点拨在性质定理中要注意两点:一是“在平面内”,二是“垂直于交线”,缺一不可.它是作平面垂线的一个重要依据,我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.
常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)若一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c.(　　)2.若直线l与平面α内无数条直线都垂直,则l⊥α.(　　)3.若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(　　)
题组二 回源教材4.(人教A版必修第二册习题8.6第1(2)题)设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 若l⊥α,则由线面垂直的定义可知,l⊥m且l⊥n.若l⊥m且l⊥n,当直线m,n不相交时,直线l与平面α不一定垂直.故选A.
5.(人教B版必修第四册习题11-4B第2题)如图,已知AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C为圆上任意一点.求证:BC⊥平面PAC.
证明 ∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.又AB是圆的直径,∴AC⊥BC.∵PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,∴BC⊥平面PAC.
题组三 连线高考6.(2011·浙江,理4)下列说法错误的是(　　)A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析 对于A,设平面α∩平面β=a,设直线b⊂α,直线b⊄平面β,且b∥a,根据线面平行的判定定理,可得b∥β,故A正确;对于B,如果平面α内存在直线与平面β垂直,则由面面垂直的判定定理可知平面α⊥平面β,与已知矛盾,故B正确;对于C,设平面α∩平面γ=a,平面β∩平面γ=b,在平面γ内作直线m⊥a,n⊥b,由面面垂直的性质定理,可得m⊥α,n⊥β.又直线l⊂α,l⊂β,∴m⊥l,n⊥l.∵α∩β=l,∴m,n为相交直线.又m,n⊂平面γ,∴l⊥平面γ,故C正确;平面α⊥平面β,设平面α∩平面β=a,在平面α内与a平行的直线都不与平面β垂直,故D错误.
7.(2021·浙江,6)如图,已知正方体ABCD -A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则(　　) A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1
解析 如图,连接AD1,则A1D⊥AD1,且M为AD1的中点.又N为BD1的中点,所以MN∥AB.又MN⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.易知AB不垂直于平面BDD1B1,所以MN不垂直于平面BDD1B1.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,AB⊥平面ADD1A1,∵A1D⊂平面ADD1A1,∴AB⊥A1D.又四边形ADD1A1为正方形,∴A1D⊥AD1.又AD1∩AB=A,AD1,AB⊂平面ABD1,∴A1D⊥平面ABD1.因为D1B⊂平面ABD1,∴直线A1D与直线D1B垂直.由图可知,直线A1D与直线D1B异面.故选A.
考点一 线面垂直的判定与性质
例1(2021·全国甲,文19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形, AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,BF⊥A1B1. (1)求三棱锥F-EBC的体积;(2)已知D为棱A1B1上的点,证明:BF⊥DE.
(1)解 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥A1B1,∵BF⊥A1B1,BB1∩BF=B,BB1,BF⊂平面BCC1B1,∴A1B1⊥平面BCC1B1.∵AB∥A1B1,∴AB⊥平面BCC1B1,∴AB⊥BC.
(2)证明 如图,连接A1E,取BC中点M,连接B1M,EM.∵E,M分别为AC,BC中点,∴EM∥AB.又AB∥A1B1,∴A1B1∥EM,则点A1,B1,M,E四点共面,故DE⊂平面A1B1ME.又在侧面BCC1B1中,△FCB≌△MBB1,∴∠FBM=∠MB1B.又∠MB1B+∠B1MB=90°,∴∠FBM+∠B1MB=90°,∴BF⊥MB1.又BF⊥A1B1,MB1∩A1B1=B1,MB1,A1B1⊂平面A1B1ME,∴BF⊥平面A1B1ME,∴BF⊥DE.
[对点训练1]如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°, PA=AB=BC,E是PC的中点.求证: (1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.
证明 (1)在四棱锥P-ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,PC,CD⊂平面PCD,∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,AB⊂底面ABCD,∴PA⊥AB.又AB⊥AD,且PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD,而PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD.又AB∩AE=A,AB,AE⊂平面ABE,∴PD⊥平面ABE.
考点二 面面垂直的判定与性质
例2(2023·全国甲,文18) 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC, ∠ACB=90°. (1)证明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;(2)设AB=A1B,AA1=2,求四棱锥A1-BB1C1C的高.
(1)证明 ∵A1C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥CA.∵A1C∩CA=C,A1C,CA⊂平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1.∵BC⊂平面BB1C1C,∴平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
[对点训练2](2024·四川石室中学模拟)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,△PAB为边长为2的正三角形,且平面PAB⊥平面ABCD,E为线段AD的中点,直线PE与平面ABCD所成角为45°.求证:
(1)EP=EC;(2)平面PCE⊥平面PBC.
考点三 平行与垂直的综合问题
例3(2022·全国甲,文19)小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示,底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形,△EAB, △FBC,△GCD,△HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.
(1)证明:EF∥平面ABCD;(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).
(1)证明 过点E作EE'⊥AB于点E',过点F作FF'⊥BC于点F',连接E'F'.∵底面ABCD是边长为8的正方形,△EAB,△FBC均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直,∴EE'⊥平面ABCD,FF'⊥平面ABCD,且EE'=FF',∴四边形EE'F'F是平行四边形,则EF∥E'F'.∵E'F'⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.
(2)解 过点G,H分别作GG'⊥CD,HH'⊥DA,交CD,DA于点G',H',连接F'G',G'H',H'E',AC.由(1)及题意可知,G',H'分别为CD,DA的中点,六面体EFGH-E'F'G'H'为长方体,故该包装盒由一个长方体和四个相等的四棱锥组合而成.∵底面ABCD是边长为8的正方形,
(2)设MO交BC于点F,显然OF平分∠BOC,且OF⊥BC.
∴EF∥SN.∵SN⊂平面SAD,且EF⊄平面SAD,∴EF∥平面SAD.∵在平面ABCD中,BC⊥MN,AD⊥MN,∴BC∥AD.又AD⊂平面SAD,且BC⊄平面SAD,∴BC∥平面SAD.∵EF,BC⊂平面BCE,且EF∩BC=F,∴平面BCE∥平面SAD.