第8章 立体几何与空间向量 素能培优(十四) 空间几何体的外接球 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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探究一 定义法确定外接球球心
规律方法由球的定义确定球心的常见情况 (1)正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线 的中点. (2)正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心的连 线的中点. (3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形 外心的连线的中点. (4)正棱锥的外接球的球心在其高上,具体位置可 通过构造直角三角形,利用勾股定理求得.
探究二 存在侧棱与底面垂直多面体的外接球
例2(2023·全国乙,文16)已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上,△ABC是边长为3的等边三角形,SA⊥平面ABC,则SA=__________. 
解析 由题意,将三棱锥P-ABC补成直三棱柱TPS-ABC,则该直三棱柱的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球,且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圆圆心连线的中点上.设△ABC外接圆的半径为r,三棱锥P-ABC外接球的半径为R,
探究三 对棱相等的四面体的外接球
解析 设四面体A-BCD的外接球的半径为R.因为四面体的对棱相等,所以可以把它看成是由长方体的面对角线组成的几何体.设四面体A-BCD在一个长、宽、高为a,b,c的长方体中,如图.
规律方法补形法的解题策略(1)侧面为直角三角形,或对棱均相等的模型和正四面体,可以还原到正方体或长方体中去求解;(2)有一条侧棱与底面垂直的棱锥补成直棱柱求解.
[对点训练3]已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上,则这个球的体积为(　　)