第10章 统计与成对数据的统计分析 第2节 用样本估计总体 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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研考点 精准突破
强基础 固本增分
1.总体百分位数的估计(1)第p百分位数的定义一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中__________的数据小于或等于这个值,且至少有__________的数据大于或等于这个值. (2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步,按从小到大排列原始数据.第2步,计算i=n×p%.第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
微点拨1.第0百分位数为数据中的最小数,第100百分位数为数据中的最大数.2.一组数据的百分位数既可能是这组数据中的数,也可能不是这组数据中的数.3.一组数据的某些百分位数可能是同一个数.
2.总体集中趋势的估计
不一定唯一,一定是这组数据中的数
唯一,不一定是这组数据中的数
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大.(　　)2.在频率分布直方图中,小矩形的面积越大,表示样本数据落在该区间内的频率越大.(　　)3.对一组数据来说,平均数和中位数总是非常接近.(　　)
题组二 回源教材4.(人教A版必修第二册9.2.2节例2改编)某机构调查了解10种食品的卡路里含量,结果如下:107,135,138,140,146,175,179,182,191,195.则这组数据的第25百分位数和中位数分别是(　　)A.138,160.5B.138,146C.138,175D.135,160.5
5.(多选题)(人教A版必修第二册复习参考题9第3题改编)如果一组数据的中位数比平均数小很多,下面叙述正确的有(　　)A.数据中可能有异常值B.数据中众数可能和中位数相同C.这组数据是近似对称的D.数据中可能有极端大的值
解析 一组数据的中位数比平均数小很多,说明数据中可能有偏大或偏小的值,即可能有异常值,故A正确;一组数据的中位数比平均数小很多,众数和中位数可能相同,故B正确;若这组数据是近似对称的,不会出现数据的中位数比平均数小很多,故C错误;一组数据的中位数比平均数小很多,说明数据中可能有偏大或偏小的值,故D正确.
6.(人教B版必修第二册5.1.4节练习A第2题)代课教师为了了解某班级学生的数学成绩,随机抽查了5位学生的成绩,得到的数据为92,78,56,75,62.则估计该班学生数学成绩的平均数为__________;方差为__________. 
题组三 连线高考7.(2020·全国Ⅲ,文3)设一组样本数据x1,x2,…,xn的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的方差为(　　)B.0.1C.1D.10
8.(多选题)(2021·新高考Ⅱ,9)下列统计量中可用于度量样本x1,x2,…,xn离散程度的有(　　)A.x1,x2,…,xn的标准差B.x1,x2,…,xn的中位数C.x1,x2,…,xn的极差D.x1,x2,…,xn的平均数
解析 平均数和中位数反映的是一组数据的平均水平,标准差和极差则体现了一组数据的离散程度.故选AC.
考点一 总体百分位数的估计
例1(1)(2024·山东日照模拟)为了解学生每天的体育活动时间,某市教育部门对全市高中学生进行调查,随机抽取1 000名学生每天进行体育运动的时间,按照时长(单位:分钟)分成6组:第一组[30,40),第二组[40,50),第三组[50,60),第四组[60,70),第五组[70,80),第六组[80,90].对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图,则可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为(　　)
A.43.5D.49.5
(2)(2024·山东淄博模拟)某个品种的小麦麦穗长度(单位:cm)的样本数据如下:10.2,9.7,10.8,9.1,8.9,8.6,9.8,9.6,9.9,11.2,10.6,11.7,则这组数据的第80百分位数为__________. 
解析 将样本数据从小到大排序为8.6,8.9,9.1,9.6,9.7,9.8,9.9,10.2,10.6,10.8,11.2,11.7,共有12个,所以12×80%=9.6,所以这组数据的第80百分位数是第10个数,即10.8.
变式探究(变结论)在例1(2)的条件下,求这组数据的第75百分位数.
解 根据题意,12×75%=9,这组数据的第9个数是10.6,第10个数是10.8,所以第75百分位数是
[对点训练1](2024·广东江门模拟)某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本,数据(单位:cm)从小到大排序如下:158,165,165,167,168, 169,x,172,173,175,若样本数据的第60百分位数是170,则x=(　　)A.169B.170C.171D.172
考点二 用样本的数字特征估计总体的数字特征(多考向探究预测)
考向1 总体集中趋势的估计(中位数、众数、平均数)例2(1)(2024·山东济南模拟)某射击运动员连续射击5次,命中的环数(环数为整数)形成的一组数据中,中位数为8,唯一的众数为9,极差为3,则该组数据的平均数为(　　)A.7.6B.7.8C.8D.8.2
(2)(多选题)(2024·山东青岛模拟)为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况,从两个班学生的物理成绩(均为整数)中各随机抽查20个,得到如图所示的数据图,关于甲、乙两个班级的物理成绩,下列结论不正确的有(　　)
A.甲班众数小于乙班众数B.乙班成绩的第75百分位数为79C.甲班的中位数为74D.甲班平均数大于乙班平均数估计值
解析 由甲班学生的物理成绩的数据图可知甲班成绩的众数为79,由频率分布直方图无法准确得出乙班众数,故A错误;由乙班物理成绩的频率分布直方图,前三个矩形的面积之和为(0.020+0.025+0.030)×10=0.75,故乙班物理成绩的第75百分位数为80,故B错误;由甲班物理成绩数据图可知,小于79分的数据有9个,等于79分的数据有6个,故甲班物理成绩的中位数为79,故C错误;
规律方法计算一组数据的平均数、中位数和众数时的注意点 (1)求平均数时要注意数据的个数,不要重记或漏记. (2)求中位数时,一定先对数据按大小排序,若最中间有两个数据,则中位数是这两个数据的平均数. (3)若有两个或两个以上的数据出现的最多,且出 现的次数一样,则这些数据都叫众数;若一组数 据中每个数据出现的次数一样多,则没有众数.
[对点训练2](1)(多选题)某城市在创建文明城市的活动中,为了解居民对“创建文明城市”的满意程度,组织居民给活动打分(分数为整数,满分100分),从中随机抽取一个容量为100的样本,发现分数均在[40,100]内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图,但不小心污损了部分图形,如图所示.观察图形,则下列说法正确的有(　　)A.频率分布直方图中第三组的频数为10B.根据频率分布直方图估计样本的众数为75C.根据频率分布直方图估计样本的中位数为75D.根据频率分布直方图估计样本的平均数为75
解析 分数在[60,70)内的频率为1-10×(0.005+0.020+0.030+0.025+0.010)=0.10,所以第三组的频数为100×0.10=10,故A正确;因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形底边的中点的横坐标,从图中可看出众数的估计值为75,故B正确;因为(0.005+0.020+0.010)×10=0.35<0.5,(0.005+0.020+0.010+0.030)×10=0.65>0.5,所以中位数位于[70,80)内,设中位数为x,则0.35+0.03(x-70)=0.5,解得x=75,所以中位数的估计值为75,故C正确;样本平均数的估计值为45×(10×0.005)+55×(10×0.020)+65×(10×0.010)+75×(10×0.030)+85×(10×0.025)+95×(10×0.010)=73,故D错误.
(2)若一组数据1,x,7,7,9,10的众数与平均数相等,则这组数据的中位数为__________. 
解析 在这组数据中7出现了两次,其他的数只出现了一次(x除外),因为数据1,x,7,7,9,10的众数与平均数相等,
考向2 总体离散程度的估计(方差与标准差)例3(2023·全国乙,理17,文17)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下:
规律方法1.标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大,越不稳定;标准差、方差越小,数据的离散程度越小,越稳定.2.用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征.
[对点训练3](2024·河南郑州模拟)已知一组数据:2,3,4,6,m,则下列说法不正确的是(　　)A.若m=7,则平均数为4.4B.若m=4,则众数为4C.若m=6,则中位数为4D.若m=10,则方差为40
对于B,当m=4时,众数为4,故B正确;对于C,若m=6,则这组数据从小到大排列为2,3,4,6,6,所以中位数为4,故C正确;对于D,若m=10,则该组数据的平均数为5,
考向3 分层随机抽样的方差与标准差例4(2024·山东实验中学模拟)在高三某次模拟考试中,甲、乙两个班级的数学成绩统计如下表:
则两个班所有学生的数学成绩的方差为(　　)A.6.5B.13C.30.8D.31.8
考点三 均值与方差的应用
例5(2024·安徽蚌埠质检)某校计划在秋季运动会期间开展“运动与健康”知识大赛,为此某班开展了10次模拟测试,以此选拔选手代表班级参赛,下表为甲、乙两名学生的历次模拟测试成绩.
规律方法利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据(1)平均数反映了数据取值的平均水平;标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大,越不稳定;标准差、方差越小,数据的离散程度越小,越稳定.(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征.
[对点训练5](2024·辽宁葫芦岛模拟)甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛,他们分别射击了5次,成绩如下表(单位:环):
如果甲、乙只有1人能入选,则入选的最佳人选应是__________,理由是_____________________________________________________. 
甲、乙平均水平一样,但甲的方差更小些,说明甲发挥更稳定