第11章　计数原理、概率、随机变量及其分布 第3节 随机事件的概率与古典概型 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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研考点 精准突破
强基础 固本增分
1.样本点和样本空间(1)定义:我们把随机试验E的每个可能的__________称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的__________. (2)表示:一般地,我们用Ω表示样本空间,用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间.
3.事件的关系与运算
微点拨定义多个事件的和事件以及积事件.例如,对于三个事件A,B,C, A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生.
4.频率与概率(1)定义一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用__________来估计概率__________. 
从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小
(2)概率的基本性质性质1:对任意的事件A,都有P(A) __________; 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=__________,P(⌀)=__________; 性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=__________; 性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=__________,P(A)=__________; 性质5:如果A⊆B,那么__________,由该性质可得,对于任意事件A,因为⌀⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1; 性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)=__________. 
P(A)+P(B)-P(A∩B)
微思考概率与频率有什么区别?
提示 (1)概率是一个确定的数,是客观存在的,与试验次数无关,它度量该事件发生的可能性;(2)频率本身是随机的,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的事件的频率不一定相同;(3)频率是概率的近似值,在实际问题中,仅当试验次数足够多时,频率可近似地看作概率.
5.古典概型(1)具有以下两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.①有限性:样本空间的样本点只有__________; ②等可能性:每个样本点发生的可能性__________. 
判断一个试验是否是古典概型的关键点
(2)古典概型的概率公式一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=__________.其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 
常用结论如果事件A1,A2,…,An两两互斥:(1)事件A1∪A2∪…∪An发生的概率等于这n个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.两个事件的和事件是指两个事件都得发生.(　　)2.对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.(　　)3.“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发芽”.(　　)4.掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件.(　　)
题组二 回源教材5.(人教A版必修第二册习题10.1第3题改编)抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A=“第一枚硬币正面朝上”,事件B=“第二枚硬币反面朝上”.则下列结论中正确的是(　　)A.A与B互为对立事件B.A与B互斥C.A与B相等D.P(A)=P(B)
解析 样本空间可表示为Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}.事件A包含的样本点:(正,正),(正,反),事件B包含的样本点:(正,反),(反,反).
6.(人教A版必修第二册10.3.1节例8改编)(2024·新疆乌鲁木齐模拟)抛掷两枚质地均匀的骰子,则两个点数相等的概率是__________. 
9.(2023·全国乙,文9)某学校举办作文比赛,共设6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(　　)
考点一 随机事件(多考向探究预测)
考向1 随机事件间关系的判断例1(1)(多选题)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一次击中飞机}, D={至少有一次击中飞机},下列关系正确的有(　　)A.A⊆DB.B∩D=⌀C.A∪B=B∪DD.A∪C=D
解析 用(x1,x2)表示试验的射击情况,其中x1表示第1次射击的情况,x2表示第2次射击的情况,以1表示击中,0表示未击中,则样本空间Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.由题意得,A={(1,1)},B={(0,0)},C={(0,1),(1,0)},D={(0,1),(1,0),(1,1)},则A⊆D,A∪C=D,且B∩D=⌀,故A,B,D正确;又B∪D=Ω,A∪B={(0,0),(1,1)}≠Ω,故A∪B≠B∪D.故C不正确.
(2)(2024·四川眉山模拟)袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个,从中任取2个,则互斥而不对立的两个事件是(　　)A.至少有一个白球;都是白球B.至少有一个白球;至少有一个红球C.至少有一个白球;红、黑球各一个D.恰有一个白球;一个白球一个黑球
解析 对于A,至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生,不是互斥事件,故A错误;对于B,至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生,不是互斥事件,故B错误;对于C,至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生,是互斥而不对立的两个事件,故C正确;对于D,恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生,不是互斥事件,故D错误.
[对点训练1](1)(多选题)某饮料厂商开发了一种新的饮料,为了促销,每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”“二等奖”,其余4瓶印有“谢谢惠顾”.甲从新开的一箱中任选2瓶购买,设事件A表示“甲没有中奖”,事件B表示“甲获得一等奖”,事件C表示“甲中奖”,则(　　)A.事件A和事件B是对立事件B.事件A和事件C是对立事件C.P(B+C)=P(C)D.P(BC)=P(C)
解析 因为A∪B表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”,但甲可能获得二等奖,即事件A和事件B不是对立事件,故A错误;事件A表示“甲没有中奖”,事件C表示“甲中奖”,则事件A和事件C是互斥事件且和事件为全集,即事件A和事件C是对立事件,故B正确;又因为B⊆C,所以P(B+C)=P(C),故C正确;P(BC)=P(B),故D错误.故选BC.
(2)掷一枚骰子,下列事件:A={掷出奇数点},B={掷出偶数点},C={点数小于3}.则①BC=__________;②A∪B=__________________. 
{掷出1,2,3,4,5,6点}
解析 因为A={掷出奇数点},B={掷出偶数点},C={点数小于3},所以BC={掷出2点},A∪B={掷出1,2,3,4,5,6点}.
考向2 计算简单随机事件的频率与概率例2如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.
(3)设事件A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.结合(2)中表格知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0+0.1+0.4=0.5.∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择L1.同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0+0.1+0.4+0.4=0.9.∵P(B1)