第11章　计数原理、概率、随机变量及其分布 第7节 正态分布 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

这是一份第11章　计数原理、概率、随机变量及其分布 第7节 正态分布 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt，共29页。PPT课件主要包含了目录索引，XNμσ2，μ2μ1μ3，σ1σ3σ2等内容，欢迎下载使用。

研考点 精准突破
强基础 固本增分
服从正态分布的随机变量是一种连续型随机变量
1.正态分布的定义及表示若随机变量X的概率分布密度函数为 ,x∈R,则称随机变量X服从正态分布,记为__________. 
(2)正态曲线特点①曲线位于x轴上方,与x轴不相交.当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.②曲线与x轴之间的区域的面积为1.③曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.④曲线在x=μ处达到峰值(最大值) .⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.⑥当μ取定值时,正态曲线的形状由σ确定,σ较小时,峰值高,曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中,如图1所示;σ较大时,峰值低,曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图2所示.
3.3σ原则假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地,(1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈__________. (2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈__________. (3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈__________. 
常用结论正态分布的均值与方差若X~N(μ,σ2),则X的均值与方差分别为E(X)=μ,D(X)=σ2.
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.正态曲线是一条“钟”形曲线.(　　)2.服从正态分布的随机变量是连续型随机变量.(　　)3.正态曲线落在区间[μ-3σ,μ+3σ]之外的部分对应事件的概率很小,接近于0.(　　)
题组二 回源教材4.(人教A版选择性必修第三册习题7.5第2题改编)某市高二年级男生的身高X(单位:cm)近似服从正态分布N(170,52),随机选择一名该市高二年级的男生,则其身高落在区间(175,180)内的概率约为(　　)(附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5) 6 8 4
5.(人教A版选择性必修第三册7.5节练习第1题)设随机变量X~N(0,1),则X的密度函数为__________,P(X≤0)=__________,P(|X|≤1)=__________,P(X≤1)=__________,P(X>1)=__________.(精确到0.000 1) 
题组三 连线高考6.(2015·山东,理8)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(　　)(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5) 6 9 8 4
7.(2022·新高考Ⅱ,13)随机变量X服从正态分布N(2,σ2),若P(22.5)=__________. 
解析 由题意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2考点一 正态分布的性质
A.μ1<μ2,σ1<σ2B.μ1<μ2,σ1>σ2C.μ1>μ2,σ1<σ2D.μ1>μ2,σ1>σ2
解析 根据正态分布N(μ,σ2)函数的性质,则由对称轴位置,可得μ1<μ2,由曲线的“胖瘦”关系,可得σ1<σ2.
规律方法正态分布曲线是一条关于直线x=μ 对称,在x=μ 处取得最大值的连续钟形曲线;σ 越大,曲线的最高点越低且弯曲较平缓;反过来,σ 越小,曲线的最高点越高且弯曲较陡峭.
解析 ∵正态曲线关于直线x=μ对称,且μ越大,图象越靠近右边,则μ2<μ1<μ3.∵σ的值越小,图象越“瘦高”,∴σ1<σ3<σ2.
考点二 正态分布的概率计算
例2(1)(2024·贵州黔东南模拟)已知X服从正态分布N(2,σ2),且P(1≤X≤2)=0.4,则P(X>3)=__________. 
解析 由题知,μ=2,故P(X≥2)=0.5.又P(2≤X≤3)=P(1≤X≤2)=0.4,故P(X>3)=P(X≥2)-P(2≤X≤3)=0.5-0.4=0.1.
(2)(2024·云南昆明模拟)某校高三年级近期进行一次数学考试,参加考试的学生人数有1 000人,考试成绩X~N(80,25),则该年级数学成绩在90分以上的人数约为__________(运算结果四舍五入到整数). (参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ+2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5)
规律方法正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ 对称,曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ 进行对比联系,确定它们属于[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]中的哪一个.
[对点训练2](1)(2024·云南曲靖模拟)已知随机变量X~N(2,σ2),且P(X≤4)=0.84,则P(0解析 由题知,μ=2,而P(0(2)(2024·河北石家庄模拟)山东某地种植的苹果按果径X(单位:mm)的大小分级,其中X∈[80,100]的苹果为特级,且该地种植的苹果果径X~N(85,25).若在某一次采摘中,该地果农采摘了2万个苹果,则其中特级苹果的个数约为(　　)(参考数据:X~N(μ,σ2),P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ) ≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)A.3 000B.13 654C.16 800D.19 946
考点三 正态分布的实际应用
例3(2024·新疆乌鲁木齐模拟)某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备,用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样的零件,从中随机抽取10个零件,测量其内径的数据如下(单位:μm).97　97　98　102　105　107　108　109　113　114(1)计算平均值μ与标准差σ;(2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径Z服从正态分布N(μ,σ2),该团队到工厂安装调试后,试打了5个零件,度量其内径分别为(单位:μm)86,95,103,109,118,试问此打印设备是否需要进一步调试,为什么?参考数据:P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3,0.954 53≈ 0.87,0.997 34≈0.99,0.0462≈0.002.
解 (1)由题可得,
(2)需要进一步调试.∵Z服从正态分布N(105,36),P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3,∴内径在[87,123]之外的概率约为0.002 7,而86∉[87,123],根据3σ原则,得此打印设备需要进一步调试.
规律方法解答正态分布的实际应用题,其关键是如何转化,同时应熟练掌握正态分布在 [μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]三个区间内取值的概率.在此过程中会用到归纳思想和数形结合思想.
[对点训练3]为加强对企业产品质量的管理,市监局到区机械厂抽查机器零件的质量,共抽取了600件螺帽,将它们的直径和螺纹距之比Z作为一项质量指标,由测量结果得如下频率分布直方图.
(2)①由(1)知,Z~N(200,224),从而
P(185.03≤Z≤229.94)=P(185.03≤Z≤200)+P(200≤Z≤229.94)=0.341 35+0.477 25=0.818 6.②由①知,一件螺帽的质量指标值位于区间[185.03,229.94]的概率为0.818 6,依题意知X~B(100,0.818 6),所以E(X)=100×0.818 6=81.86.