九江市 2024 年第二次高考模拟统一考试数学试卷含答案

这是一份九江市 2024 年第二次高考模拟统一考试数学试卷含答案，共11页。试卷主要包含了已知，，，则，已知一个圆台内接于球，如三维向量，其中的第2分量等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试题卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则( A )
A.B.C.D.
解:，，故选A.
2.已知，则( D )
A.B.C.D.
解:，，故选D.
3.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是( C )
A.B.C.D.
解：由复合函数单调性可知，在上单调递减，.由定义域可知，在上恒成立，，.综上.故选C.
4.第14届国际数学教育大会(ICME-Internatinal Cngress f
Mathematics Educatin)在我国上海华东师范大学举行.如图是
本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦
中的四卦——3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换
算成现代十进制是，正
是会议计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是( B )
A.B.C.D.
解:换算后的数是，的末位数字构成以为周期的数列，故的末位数字是.故选B.
5.在正方体中，为四边形的中心，则下列结论正确的是（ B ）
A.B.
C.平面平面D.若平面平面，则平面
F
E
D
1
C
1
O
B
1
A
1
D
C
N
B
M
A
解：A选项，连接，，又，A错误.
B选项，平面，平面，故，B正确.
C选项，取的中点，的中点，
连接，易得平面，故为
平面与平面所成的二面角，设，则，
，显然，C错误.
D选项，若平面平面，则即为直线，，而平面，D错误.
故选B.
6.已知，，，则( A )
A.B.C.D.
解：由已知可得 解得,，.故选A.
7.在平面直角坐标系中，已知双曲线()的右焦点为，为上一点，以为直径的圆与的两条渐近线相交于异于点的两点.若,则的离心率为（ B ）
A.B.C.D.
解:依题意得,，设，则，
，，又，，，，，故选B.
8.已知一个圆台内接于球(圆台的上、下底面的圆周均在球面上).若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（ C ）
A
B
C
D
M
O
r1
r2
l
A.B.C. D.
解:设圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，则圆台侧面积为
，上、下底面面积分别为和.
圆台表面积为，，圆台高.
设球半径为，圆台轴截面为等腰梯形，且，，高为1.作于点，设.，球心在圆台外部， 解得，球的体积为.故选C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.射击作为一项综合运动项目，不仅需要选手们技术上的过硬，更需要他们在临场发挥时保持冷静和专注.第19届亚运会在我国杭州举行，女子10米气步枪团体决赛中，中国队以1896.6环的成绩获得金牌，并创造新的亚洲纪录.决赛中，中国选手黄雨婷、韩佳予和王芝琳在最后三轮比赛中依次射击，成绩（环）如下:
则下列说法正确的是（ ABD ）
A．三轮射击9项成绩极差为1.5
B．三轮射击成绩最好的一轮是第五轮
C．从三轮射击成绩来看，黄雨婷射击成绩最稳定
D．从三轮各人平均成绩来看，韩佳予表现更突出
解:三轮射击9项成绩极差为，A正确；第四轮的总成绩为317.3环，第五轮的总成绩为317.5环，第六轮的总成绩为316.2环，B正确；王芝琳的射击成绩最稳定，C错误；黄雨婷的平均成绩约为105.67，韩佳予的平均成绩为106，王芝琳的平均成绩约为105.33，D正确.故选ABD.
10.已知抛物线()的焦点为，为坐标原点，动点在上，若定点满足，则（ BD ）
A.的准线方程为B.周长的最小值为
C.直线的倾斜角为D.四边形不可能是平行四边形
解:，，由，得，解得.的方程为，准线方程为，A错误；过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线定义知，周长为，当三点共线时，取得最小值，周长的最小值为，B正确；，直线的倾斜角为，C错误；过点作的平行线，交抛物线于点，可得的坐标为，此时，四边形不是平行四边形，D正确.
故选BD.
11.已知函数的定义域为，，，则下列命题正确的是（ ACD ）
A.为奇函数B.为上减函数
C.若，则为定值D.若，则
解：令，得；令，得；令，得，即，为奇函数，A正确；
由，，知不可能为上减函数，B错误；
令，得，即，C正确；
令，得，，，故，，D正确.
故选ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.为助力乡村振兴，九江市教科所计划选派5名党员教师前往5个乡村开展“五育”支教进乡村党建活动，每个乡村有且仅有1人，则甲不派往乡村的选派方法有_ 96 _种.
解:.
13.欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为.
解:依题意得 解得 故圆心坐标为，即的外心坐标为.又的重心坐标为，故的欧拉线方程为.
14.在中，角所对的边分别为，已知成等差数列，，则面积的最大值是, 12 .
解:成等差数列，，又，，
，，当且仅当时取等号，
，故面积的最大值为.
由正弦定理得，，
，
由余弦定理得，即，
.
(第一空2分，第二空3分)
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知函数()在处的切线方程为.
(1)求的值;
(2)判断的单调性.
解:(1)………1分
由题意，，………3分(每写对一个得1分)
且，即，………5分(每写对一个得1分)
(2)由(1)知()………6分
令，则………7分
当时，；当时，………9分(每写对一个得1分)
在上单调递减，在上单调递增………10分
………12分
在上单调递增………13分
16.(本小题满分15分)
2023年10月10日，习近平总书记来到九江市考察调研，特别关注生态优先，绿色发展.某生产小型污水处理设备企业甲，原有两条生产线，其中1号生产线生产的产品优品率为，2号生产线生产的产品优品率为.为了进一步扩大生产规模，同时响应号召，助力长江生态恢复，该企业引进了一条更先进、更环保的生产线，该生产线（3号）生产的产品优品率为.所有生产线生产的产品除了优品，其余均为良品.引进3号生产线后，1，2号生产线各承担的生产任务，3号生产线承担的生产任务，三条生产线生产的产品都均匀放在一起，且无区分标志.
(1)现产品质检员，从所有产品中任取一件进行检测，求取出的产品是良品的概率；
(2)现某企业需购进小型污水处理设备进行污水处理,处理污水时，需几台同型号的设备同时工作.现有两种方案选择：方案一，从甲企业购进设备，每台设备价格30000元，可先购进2台设备.若均为优品，则2台就可以完成污水处理工作；若其中有良品，则需再购进1台相同型号设备才能完成污水处理工作.方案二，从乙企业购进设备，每台23000元，需要三台同型号设备同时工作，才能完成污水处理工作.从购买费用期望角度判断应选择哪个方案，并说明理由.
解:(1)设事件表示“产品来源于第条生产线”（），事件表示“取得良品”.
由全概率公式，可得………1分
………5分
(每写对一个得1分)
(2)由(1)可知，选择甲企业同时购得两台优品的概率为………6分
从甲企业购买设备只需要两台设备的概率为，需要购买第三台设备的概率为…………8分
设从甲企业购买设备费用为，则的所有可能取值为60000,90000………10分
的分布列为
（元）………12分
选择乙企业购买设备费用为，则（元）………14分
P
C
E
B
A
D
应该选择方案一………15分
17.(本小题满分15分)
如图，三棱锥中，平面，，，，
点满足，.
(1)证明：平面平面；
(2)点在上，且，求直线与平面所成角的正弦值.
解:(1)证明：平面，平面，，
同理………1分
又点满足，，………2分
在中，………3分
P
C
E
B
A
z
x
y
D
在中，，，………4分
又，平面，平面………5分
又平面，平面平面………6分
(2)由（1）知平面，平面，平面平面，
以为原点建立空间直角坐标系，如图所示…………7分
则，，，，，
…………8分
设，则,
………9分
，，即，解得，为的中点，
………10分
设平面的法向量为，，，
则 …………11分
不妨取，则，，…………12分
设直线与平面所成的角为，…………14分
故直线与平面所成角的正弦值为………15分
18.(本小题满分17分)
已知椭圆()和圆，经过的焦点，点为的右顶点和上顶点，上的点满足.
(1)求的标准方程；
(2)设直线与相切于第一象限的点，与相交于两点，线段的中点为.当最大时，求的方程.
解:(1)依题意得，，由，得…………1 分
代入的方程中，得， ①…………3 分
又经过的焦点，，即， ②…………5分
由①②解得，，的方程为…………6分
(2)解法一：依题意，设的方程为(，)，，，
………7分
与相切，，即………9分
又 两式相减得，即………11分
联立方程组 解得，………12分
当最大时，最大………13分
………14分
，当且仅当时取等号………15分
，即的最大值为，此时………16分
故的方程为………17分
解法二：依题意，设的方程为()，，，，
………7分
联立方程组 化简得………8分
由，得，，………9分
联立方程组 化简得………10分
由，得，………11分
………14分
又，当且仅当时取等号，………15分
当最大时，，………16分
故的方程为………17分
19.(本小题满分17分)
定义两个维向量，的数量积
()，，记为的第个分量(且).如三维向量，其中的第2分量.若由维向量组成的集合满足以下三个条件：①集合中含有个维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素,满足(为常数)且.则称为的完美维向量集.
(1)求2的完美3维向量集；
(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；
(3)若存在为的完美维向量集，求证:的所有元素的第分量和.
解:(1)依题意，得集合中含有3个元素()，且每个元素中含有三个分量………1分
，每个元素中的三个分量中有两个取1，一个取0………2分
，，………3分
又，2的完美3维向量集为………4分
(直接写出正确答案不扣分. 写成扣1分)
(2)依题意，完美4维向量集含有4个元素()，且每个元素中含有四个分量，………5分
(ⅰ)当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去………6分
(ⅱ)当时，，不满足条件③，舍去………7分
(ⅲ)当时，．
，故和至多一个在中；同理和及
和也至多一个在中，故集合中的元素个数小于，不满足条件①，舍去
………8分
(ⅳ)当时，，不满足条件③，舍去……… 9分
(ⅴ)当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去………10分
综上所述，不存在完美4维向量集………11分
(判断正确得1分)
(3)依题意，的完美维向量集含有个元素()，且每个元素中含有个分量，
，每个元素中有个分量为1，其余分量为0，（*）………13分
图1
由(2)分析知，故………14分
假设存在，使得，不妨设.
(ⅰ)当时，如图1，由条件③知或(),
此时，
与（*）矛盾，不合题意………15分
(ⅱ)当时，如图2，
记()，
图2
不妨设．
下面研究的前个分量中所有含1的个数.
一方面，考虑中任意两个向量的数量积为1，
故()中至多有个，
故的前个分量中，所有含1的个数至多
有个 (**)．
另一方面，考虑()，故的前个分量中，含有个，与(**)矛盾，不合题意………16分
故对任意且，，由（*）得………17分黄雨婷
韩佳予
王芝琳
第4轮
105.5
106.2
105.6
第5轮
106.5
105.7
105.3
第6轮
105
106.1
105.1
60000
90000
0.81
0.19