湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二下学期开学自主检测数学试卷(含答案)

这是一份湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二下学期开学自主检测数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若集合,,则( )
A.B.C.D.
2．在复平面内,复数对应的点在第一象限,i为虚数单位,则复数zi对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．在四边形ABCD中,,且,则( )
A.B.C.D.
4．设A,B为任意两个事件,且,,则下列选项必成立的是( )
A.B.
C.D.
5．动点到定点的距离与M到定直线的距离的比等于,则动点M的轨迹方程是( )
A.B.C.D.
6．已知数列满是,,则的最小值为( )
A.B.C.16D.18
7．已知,则的值为( )
A.B.C.D.
8．已知函数,,若成立,则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．在一次数学考试中,某班成绩的频率分布直方图如图所示,则下列说法正确的是( )
A.图中所有小长方形的面积之和等于1B.中位数的估计值介于100和105之间
C.该班成绩众数的估计值为97.5D.该班成绩的极差一定等于40
10．已知,,若,则( )
A.ab的最大值为B.的最小值为1
C.的最小值为8D.的最小值为
11．已知双曲线的左,右焦点分别为,,P为双曲线C右支上的动点,过P作两渐近线的垂线,垂足分别为A,B.若圆与双曲线C的渐近线相切,则下列命题正确的是( )
A.双曲线C的离心率
B.为定值
C.的最小值为3
D.若直线与双曲线C的渐近线交于M,N两点,点D为MN的中点,OD(O为坐标原点)的斜率为,则
12．已知是等比数列,是其前n项和,满足,则下列说法中正确的有( )
A.若是正项数列,则是单调递增数列
B.,,一定是等比数列
C.若存在,使对都成立,则是等差数列
D.若存在,使对都成立,则是等差数列
三、填空题
13．如图,的二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知,,,则CD的长为________
14．在的展开式中,的系数为________.
15．已知函数,则直线与的图象的所有交点的横坐标之和为________.
16．已知一个圆台的上､下底面半径为,若球O与该圆台的上､下底面及侧面均相切,且球O与该圆台体积比为,则________.
四、解答题
17．已知在中,三条边a,b,c所对的角分别为A,B,C,向量,,且满足.
（1）求角的大小;
（2）若,,成等比数列,且,求边c的值并求外接圆的面积.
18．如图,四棱锥的底面是正方形,平面平面ABCD,,E为BC的中点.
（1）若,证明:;
（2）求直线AE与平面PAD所成角的余弦值的取值范围.
19．已知为数列的前n项和,且满足.
（1）求数列的通项公式;
（2）记,设数列的前n项和为,证明:.
20．已知抛物线上的点到焦点F的距离为.
（1）求抛物线C的方程;
（2）过抛物线上一点P(异于坐标原点)作切线,过作直线,交抛物线于A,B两点.记直线PA,PB的斜率分别为,,求的最小值.
21．在数学探究实验课上,小明设计了如下实验:在盒子中装有红球,白球等多种不同颜色的小球,现从盒子中一次摸一个球,不放回.
（1）若盒子中有8个球,其中有3个红球,从中任意摸两次.
①求摸出的两个球中恰好有一个红球的概率;
②记摸出的红球个数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
（2）若1号盒中有4个红球和4个白球,2号盒中有2个红球和2个白球,现甲,乙,丙三人依次从1号盒中摸出一个球并放入2号盒,然后丁从2号盒中任取一球.已知丁取到红球,求甲,乙,丙三人中至少有一人取出白球的概率.
22．已知函数.
（1）是否存在实数a,使得函数在定义域内单调递增;
（2）若函数存在极大值M,极小值N,证明:.(其中是自然对数的底数)
参考答案
1．答案：C
解析:在单调递增,
,则.
故选:C.
2．答案：B
解析:由于复数对应的点在第一象限,可设,其中,,则,
所以,,复数zi对应的点位于第二象限.
故选:B
3．答案：A
解析:因为,所以且,
故四边形ABCD为平行四边形,
设,,都是单位向量,且,
两边平方得,即,
所以,解得,
故,
又,,均为单位向量,故,
即,且AC平分,
故四边形ABCD为菱形,且,
故为等边三角形,,
,两边平方得
,
故.
故选:A
4．答案：D
解析:由,则,故,
而,则,又,
所以.
故选:D
5．答案：A
解析:根据题意可得,平方化简可得,
进而得,
故选:A
6．答案：C
解析:,
,
数列是以10为首项,1为公差的等差数列
,
当且仅当,即时,取最小值16.
故选:C
7．答案：D
解析:由已知,,则,
从而,所以,
故选:D.
8．答案：A
解析:令,则,,
,,所以,
若,则,
,有,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,,
即的最小值为.
故选:A.
9．答案：ABC
解析:对于A,由频率分布直方图的性质可知,图中所有小长方形的面积之和等于1,即A正确;
对于B,易知组距为5,前两组成绩所占的频率为,
前三组成绩所占的频率为,由中位数定义可得其估计值介于100和105之间,即B正确;
对于C,由图可知频率最高的成绩区间,取中间值为代表可知班成绩众数的估计值为97.5,即C正确;
对于D,由图可知成绩最高区间为,最低区间为,但最高分和最低分不一定分别为130,90,所以其成绩极差不一定为40,即D错误;
故选:ABC
10．答案：ACD
解析:对于A,由,即,
当且仅当,且,即,时,取等号,所以A正确;
对于B,因为,
当且仅当时,取到最小值,所以B错误;
对于C,因为,,所以,
当且仅当,且,即,时,取等号,所以C正确;
对于,当且仅当,且,
即时,取等号,所以正确.
故选:ACD.
11．答案：ABD
解析:双曲线的渐近线方程为,圆与渐近线相切,则,即,所以,则,故A正确;
由A选项可得双曲线的两条渐近线方程为,设为双曲线上任意一点,则,所以P点到两渐近线的距离,,所以为定值,故B正确;
过与渐近线垂直的方程分别与渐近线组成方程组求出交点坐标,,解得交点,同理得,因为P为双曲线C右支上的动点,所以,则,故C错误;
对D选项,设,,则,又M,N在双曲线的两条渐近线上,则,两式相减可得,即,两式相加可得,即,又,,所以,故D正确.
故选:ABD
12．答案：AC
解析:A选项,设公比为q,故,解得或,
若是正项数列,则,,故,故是单调递增数列,A正确;
B选项,当且n为偶数时,,,均为0,不合要求,B错误:
C选项,若,则单调递增,此时不存在,使对都成立,
若,此时,故存在,使得对都成立,
此时为常数列,为公差为0的等差数列,C正确;
D选项,由C选项可知,,故当为偶数时,,
当n为奇数时,,显然不是等差数列,D错误.
故选:AC.
13．答案：
解析:由条件,知,,
所以
,
所以,
故答案为:
14．答案：210
解析:因为的展开通项为,
所以的展开式中没有这一项,
的展开式中没有这一项,
的展开式中的系数为,
的展开式中的系数为,
……
的展开式中的系数为,
所以所求的系数为
.
故答案为:210.
15．答案：12
解析:由可得,
令,,则函数的定义域为,
其最小正周期,令,解得,
当时,,即函数关于点对称,
函数的定义域为,
对任意,,
所以函数图象都关于点对称,
由于函数与在上均为增函数,
则函数在上也为增函数,
当时,,,,,
作出与图象如下:
由图可知,函数与的图象有6个交点,其中这6个交点满足三对点关于点对称,
因此直线与的图象的所有交点的横坐标之和为.
故答案为:12
16．答案：
解析:作出圆台的轴截面,如图所示:E为切点,DF为圆台的高.
圆台的母线,
所以圆台的高
球的半径,由球O与该圆台体积比为得:
,整里得:
方程两边同除,解得或3(舍去)
故答案为:
17．答案：（1）;
（2）;外接圆的面积为.
解析:（1）向量,,,
,
,,
,,
;
（2）,,成等比数列,
,
,
,即,
,
,,
设外接圆的半径为R,由正弦定理可知:,
,
外接圆的面积为.
18．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析:（1）取AB的中点F,连接.
因为,,则为正三角形,所以.
因为平面平面ABCD,则平面.
因为平面ABCD,则.①
因为四边形ABCD为正方形,E为BC的中点,则
,所以,
从而,
所以.②
又,PF,平面PDF,
结合①②知,平面PDF,所以.
（2）分别取PA,PD的中点G,H,则,.
又,,则,,
所以四边形BGHE为平行四边形,从而.
因为,则.
因为平面平面ABCD,,则平面PAB,
从而,因为,PA,平面PAD,
所以平面PAD,从而平面PAD.
连接AH,则为直线AE与平面PAD所成的角.
设正方形ABCD的边长为1,,则.
从而,.
在中,.
因为当时,单调递增,则,
所以直线AE与平面PAD所成角的余弦值的取值范围是.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
解析:（1）当时,,
当时,①
②
①②可得:,即,
当时,,对上式也成立,
所以
（2）由（1）可得,
所以数列的前项和为,
因为对任意正整数n单调递增,且,
所以,即,得证.
20．答案：（1）
（2）
解析:（1）由题可得的焦点坐标,由于点在抛物线,所以,
点到焦点F的距离为,即,解得(舍去),
所以抛物线C的方程为
（2）由题可得,设,,
由于抛物线方程为,即,则,所以切线的斜率,
由于,所以直线的斜率为,则直线的方程为:,即,
联立,化简得:,则,,
所以,同理
所以,
由于(当且仅当时取等),
所以,故的最小值为
21．答案：（1）①;
②分布列见解析,
（2）
解析:（1）①设事件“摸出的两个球中恰好有一个红球”,
,
②X可取0,1,2,则,其中,1,2.
故X的分布列为
则;
（2）设事件“丁取到红球”,事件“甲,乙,丙三人中至少有1人取出白球”.
当甲,乙,丙三人取得1个白球,则丁取到红球概率为;
当甲,乙,丙三人取得2个白球,则丁取到红球概率为;
当甲,乙,丙三人取得3个白球,则丁取到红球概率为;
当甲,乙,丙三人取得3个红球,则丁取到红球概率为.
则所求概率为.
22．答案：（1）存在
（2）证明见解析
解析:（1）因为,则的定义域为,
进一步化简得:
令,则在上单调递增,
且,所以时,时,
要使得单调递增,则在上恒成立
当时,恒成立
当时,,当时,,不合题意
当时,,当时,,不合题意
综上:.
（2）由（1）可得且,极值点为与1,
所以
令
当时,,单调递增
当时,,单调递减,
所以,即成立.
X
0
1
2
P