湖南省株洲市二中2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省株洲市二中2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合,,则( )
A.B.C.D.
2．为了得到的图象,只要将函数的图象( )
A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度
3．已知,且,,且,,,下列运算正确的是( )
A.B.
C.D.
4．设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,若,,则( )
A.B.C.D.
5．已知,,则( )
A.B.C.D.
6．已知函数的值域为R,则实数a的取值范围为( )
A.B.
C.D.
7．已知,是方程的两根,有以下四个命题:
甲:;
乙:;
丙:;
丁:.
如果其中只有一个假命题,则该命题是( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
8．已知,,,则以下关于a,b,c的大小关系正确的是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.某扇形的半径为2,圆心角的弧度数为,则该扇形的面积为
B.已知函数,若,则
C.“”是“”的必要不充分条件
D.函数只有一个零点
10．若x,,且,则( )
A.B.C.D.
11．已知函数,若函数的部分图象如图所示,函数,则下列结论不正确的是( )
A.将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象
B.函数的图象关于点对称
C.函数在区间上的单调递减区间为
D.若函数为偶函数,则的最小值为
三、填空题
12．若幂函数在上是增函数,则________.
13．已知,均为锐角,且,,则的值为________.
14．在锐角中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则的最小值为________.
四、解答题
15．已知是定义在上的奇函数,,当时的解析式为.
（1）写出在上的解析式;
（2）求在上的最值.
16．已知函数(且),.
（1）求使成立的x的值;
（2）若,求实数m的取值范围.
17．已知函数(,)的最小正周期为,且的图象过点.
（1）求的单调递增区间;
（2）若,求的对称中心.
18．如图所示,有一条“L”形河道,其中上方河道宽,右侧河道宽,河道均足够长.现过点D修建一条栈道AB,开辟出直角三角形区域(图中)养殖观赏鱼,且.点H在线段AB上,且.线段OH将养殖区域分为两部分,其中OH上方养殖金鱼,OH下方养殖锦鲤.
（1）养殖区域面积最小时,求值,并求出最小面积;
（2）若游客可以在栈道AH上投喂金鱼,在河岸OB与栈道HB上投喂锦鲤,且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度,求的取值范围.
19．设,函数,.
（1）讨论函数的零点个数;
（2）若函数有两个零点,,试证明:.
参考答案
1．答案：B
解析：由已知,
故选:B.
2．答案：A
解析：因,将函数的图象向右平移个单位长度即得函数的图像.
故选:A.
3．答案：C
解析：对于A项,根据对数的运算可知,,故A错误;
对于B项,根据对数的运算可知,,故B错误;
对于C项,根据换底公式可知,,故C正确;
对于D项,根据对数的运算可知,,故D错误.
故选:C.
4．答案：B
解析：,两边平方得,
,
,
又M是线段BC的中点,
.
故选:B.
5．答案：C
解析：由,,
两式平方后相加可得,,
即,得,
所以,故.
故选:C.
6．答案：C
解析：根据题意得,
（1）若两段在各自区间上单调递减,则:
;
解得;
（2）若两段在各自区间上单调递增,则:
;
解得;
综上得,a的取值范围是
故选C.
7．答案：B
解析：因为,是方程的两根,所以,,
则甲:;
丙:.
若乙､丁都是真命题,
则,,所以,,
两个假命题,与题意不符,所以乙､丁一真一假,
假设丁是假命题,由丙和甲得,,所以,
即,所以,与乙不符,假设不成立;
假设乙是假命题,由丙和甲得,又,所以,
即与丙相符,假设成立;故假命题是乙,
故选:B.
8．答案：D
解析：由,令,则在定义域内单调性递增,且,
由零点存在性定理可得,
,
又,因此,
,可得,
,,
,
,,,
.
故选:D
9．答案：AC
解析：因为扇形的半径为2,圆心角的弧度数为,
由扇形的面积公式可得,故A正确;
函数,则,
令,则为奇函数,
则,则,
即,所以,故B错误;
由可得,由可得,即,
则是的必要不充分条件,
所以“”是“”的必要不充分条件,故C正确;
令,可得,
即,显然,所以方程有两个不同实根,
所以函数有两个零点,故D错误;
故选:AC.
10．答案：ABC
解析：A:由题设,当且仅当,时取等号,对;
B:由题设,当且仅当,时取等号,
所以,对;
C:,
当且仅当时取等号,对;
D:,当且仅当,时取等号,错.
故选:ABC
11．答案：CD
解析：根据图像的最大值为3,且,故,
,故或(舍),,故,
即,,
对选项A:,
向左平移得到,正确;
对选项B:当时,,故关于点对称,正确;
对选项C:,,,错误;
对选项D:为偶函数,则,,
解得,,当时,有最小值为,错误.
故选:CD.
12．答案：.
解析：幂函数在上是增函数,
,解得.
故答案为.
13．答案：.
解析：,均为锐角,,,
,,
,
,
可解得:.
故答案为.
14．答案：12
解析：由题意知,在锐角中,,
,
等式两边同时除以,得,
又,
所以,
得,且,
所以,
令,则,
故
,
当且仅当即时等号成立,此时,
所以的最小值为12.
故答案为:12
15．答案：（1）
（2）最大值为0,最小值为
解析：（1）因为是定义在上的奇函数,所以,即,
由,得,由,解得,
则当时,函数解析式为
设,则,,
即当时,
（2）当时,
,
所以当,即时,的最大值为0,
当,即时,的最小值为.
16．答案：（1）或
（2）
解析：（1）因为,则,解得,
所以,得,
即,解得或.
（2）由（1）知是上的增函数,
又,则,解得.
故实数m的取值范围是.
17．答案：（1）,
（2）,
解析：（1）由题意知,,所以,
由函数图象过点,得,
由,解得,所以.
令,,得,,
所以函数的单调递增区间为,;
（2）由（1）知,
,
令,,解得,,
即函数的对称中心为,.
18．答案：（1）,
（2）
解析：（1）过D作DM,DN垂直于OA,OB,垂足分别为M,N,
则,,,,
养殖观赏鱼的面积,
由可得,则,当且仅当即时取等号,故时,最小.
（2）由,可得,
则,,,由题意,
则,
则,结合,则.
19．答案：（1）答案见解析
（2）证明见解析
解析：（1）,
令,即,
当时,令,所以,
则即,
所以当或时,即或时,无解;
当时,即时,仅有一解;
当即时,有两解,
综上,或时,无零点;时,有一个零点;时,有两个零点.
（2）若有两个零点,,
令,,则,为两解,
则,则,则,
由可得,,
则,
所以,所以,
由可得,
所以,则,
由在递减,可得,
所以,所以
令,则
要证成立,
即证:;
即证:,因为显然成立,故原式成立.