重庆市康德卷2024年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷（三）数学试题及答案

这是一份重庆市康德卷2024年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷（三）数学试题及答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数，则（ ）
A．B．C．D．
3．设，若向量，，满足，，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．若椭圆：与双曲线：的离心率之和为，则（ ）
A．2B．C．D．1
6．设圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线的距离为，则实数（ ）
A．2B．4C．26D．41
7．设且，命题甲：为等比数列；命题乙：；则命题甲是命题乙的（ ）
A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．若，且，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若成等差数列（公差不为零）的一组样本数据，，……，，的平均数为，标准差为，中位数为；数据，……，，的平均数为，标准差为，中位数为，则（ ）
A．B．C．D．
10．放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量随时间的衰变公式，表示物质的初始数量，是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知，右表给出了铀的三种同位素τ的取值：若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为，，，则（ ）
A．B．与成正比例关系
C．D．
11．在平行六面体中，已知，，若，，，则（ ）
A．的最小值为B．的最大值为
C．的最大值为D．的最大值为
三、填空题
12．已知正四棱锥的底面边长为2，过棱上点作平行于底面的截面若截面边长为1，则截得的四棱锥的体积为 ．
13．若，则关于的方程的解的个数是 ．
14．已知点，是双曲线：的左、右焦点，点在的右支上，连接作且与轴交于点，若则的渐近线方程为 ．
四、解答题
15．在中，角，，对应的边长为，，，且.
(1)求角；
(2)若，，求，.
16．如图，在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，点，，，分别在侧棱，，，上，且，，，
(1)证明：，，，四点共面；
(2)如果，，为的中点，求二面角的正弦值．
17．已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：当时，
18．设动点每次沿数轴的正方向移动，且第次移动1个单位的概率为，移动2个单位的概率为已知表示动点在数轴上第次移动后表示的数，在第一次移动前动点在数轴的原点处．
(1)若，，求的概率；
(2)若每次移动2个单位的概率都是移动1个单位的概率的2倍．
①求的概率；
②求动点能移动到自然数处的概率
19．在平面直角坐标系中，动点到点的距离是点到直线的距离的2倍，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)若直线分别与，，第一象限的交于点，，，过作斜率为，的直线，且分别与交于点，，若，的面积分别为，，证明：
物质
τ的量纲单位
τ的值
铀234
万年
35.58
铀235
亿年
10.2
铀238
亿年
64.75
参考答案：
1．B
【分析】根据集合求解和,求解
【详解】根据题意,，
则.
故选：B
2．A
【分析】
根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的乘方计算可得.
【详解】因为，
所以.
故选：A
3．C
【分析】
根据题意，结合向量的基本概念，向量的共线定理，以及向量的数量积的运算法则，逐项判定，即可求解.
【详解】由向量，满足，，且，，
对于A中，若，则，又，
若均为非零向量，则，显然与矛盾，所以A不正确；
对于B中，若，则存在实数使，可得，又，
若均为非零向量，则，显然与矛盾，所以B不正确；
对于C中，因为向量，满足，，且，
则
，所以，所以C正确；
对于D中，由，
所以不一定成立，所以D不正确.
故选：C.
4．B
【分析】
根据复合函数单调性的规则以及函数在上有意义列不等式求解即可.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以，解得.
故选：B.
5．A
【分析】
分别求出椭圆和双曲线的离心率，由两者的离心率之和为，解方程即可得出答案.
【详解】椭圆：的离心率为，
双曲线：的离心率为，
所以，解得：.
故选：A.
6．C
【分析】
首先得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离为，即可求出的值，再由直线不过第三象限求出的取值范围，即可得解.
【详解】因为圆的圆心为，半径，
因为圆上恰有三点到直线的距离为，
所以圆心到直线的距离，解得或，
又直线不过第三象限，则，解得，
所以.
故选：C
7．D
【分析】
根据题意，由等比数列的定义结合等比中项的公式代入计算，即可判断.
【详解】若为等比数列，则满足，即，
所以，故充分性不成立，
当时，数列满足，但此时为等比数列不成立，
故必要性不成立，
所以为等比数列是的既不充分也不必要条件.
故选：D
8．D
【分析】根据两角和与差求解的余弦公式求解，进而求出，求出，利用二倍角求出
【详解】由，则,
由，
所以，则，
则，
故.
故选：D
9．ABCD
【分析】
根据平均数、标准差和中位数的定义和计算公式求解即可.
【详解】等差数列（公差不为零）的一组样本数据，，……，，
所以，，
所以，
由等差数列的性质可得，所以，故A正确；
，，故B，C正确；
由标准差的定义知，数据，，……，与平均数距离更远，
所以，故D正确.
故选：ABCD.
10．BD
【分析】
A选项，根据半衰期的定义得到，从而得到方程，求出；B选项，由A选项得到结论；C选项，由B选项可得C错误；D选项，计算出，作商得到D正确.
【详解】A选项，由题意得，
又，故，两边取对数得，，
，A错误；
B选项，由A可知，与成正比例关系，B正确；
C选项，由B可知，与成正比例关系，由于铀234的值小于铀235的值，
故，C错误；
D选项，，
，
故，D正确.
故选：BD
11．AC
【分析】
先根据空间向量转化得，再结合基本不等式判断即可.
【详解】
如图：，，，，
则由题意，同理，，
所以，
又，，，
所以，
得，当且仅当即时等号成立，故A正确，
又，故，
，
故，当且仅当时等号成立，故C正确，
因，，最后等号成立条件为，
所以，故B错误，
，
所以，得，当且仅当时等号成立，故D错误，
故选：AC
12．
【分析】据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案.
【详解】正四棱锥的底面边长为2，截面的边长为1，
所以为对应边上的中点，由所以，
连接交于点，连接，由正四棱锥的性质知面
所以，
所以正四棱锥的体积为.
故答案为：.

13．3
【分析】根据题意可知，在同一坐标系下分别画出和的图象，找出两函数图象交点个数即可.
【详解】由，知，，
因为，所以，
在同一坐标系下分别画出和的图象，由图象可得和共有3个交点，
即方程有3个根.
故答案为：3.
14．
【分析】不妨设点在第一象限，设，根据和求出点的坐标，再代入双曲线方程即可得解.
【详解】不妨设点在第一象限，设，，
由，得，
所以，所以，
因为，所以，即，
所以，解得（舍去），所以，
又因为点在上，所以，即，
所以，所以，
所以的渐近线方程为.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：求双曲线的渐近线方程的方法：
（1）定义法：直接利用、求得比值，则焦点在轴上时，渐近线方程为，焦点在轴上时，渐近线方程为；
（2）构造齐次式：利用已知条件结合，构建的关系式（或先构建的关系式），再根据焦点位置写出渐近线方程即可.
15．(1)
(2)或，
【分析】
（1）由已知将原式变形，利用正弦定理将角的正弦转化为边，再结合余弦定理求解即可；
（2）利用正弦定理将角的正弦转化为边，求解关于边的一元二次方程，得到，的关系，再结合余弦定理求，即可得.
【详解】（1）
依题意得，
所以，
所以，即，
所以，
因为，所以；
（2）可化为，
即，
所以，
因为，所以，
即，则，即，
解得或，即或，.
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）利用线线平行证明共面即可.
（2）建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法处理即可.
【详解】（1）
由题意，在中，，∴，
在中，，∴，∵，
∴，∴，，，四点共面；
（2）
在中，∵，∴，同理，
∴，∴以为原点，以，，为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，
设二面角的平面角，则，即，
易知，
设面的法向量，易知，，
可得，令，
解得，，故平面的法向量，
设平面的法向量，可得，，
故有，令，解得，，
故平面的法向量，
∴，∴．
17．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据题意，求导可得，然后分与讨论，即可得到结果；
（2）根据题意，由（1）可得的最小值为，构造函数，转化为的最小值大于等于零，即可证明.
【详解】（1）
依题意，，
当时，，
当时，由得，由得，
即当时函数在是减函数；
当时在是减函数，在是减函数；
（2）
由（1）知当时，的最小值为，
，
设，
则，
∴函数在是减函数，在是减函数，
即的最小值为，即，
∴，即的最小值，
∴．
18．(1)
(2)① ；②
【分析】
（1）利用独立事件的概率公式可得结果.
（2）利用独立事件的概率公式及独立重复实验概率公式，结合等比数列通项公式及累加法求通项可得结果.
【详解】（1）因为，，，
所以，
即概率为；
（2）
由题意得，∴，，
（i）因为，即在次移动中恰有次移动2个单位，
所以，
（ii）由题意得，，且，
所以，即，
则数列是等比数列，公比，而，
所以
=
所以．
【点睛】
关键点点睛：本题关键是通过独立事件概率得出，利用数列构造法及累加法求出结果.
19．(1).
(2)证明见解析.
【分析】
（1）由动点到点的距离是点到直线的距离的2倍建立方程，化简可得.
（2）设出直线方程（要讨论斜率是否存在），联立，消元后得到韦达定理代入直线，斜率之和为的方程，得到直线恒过定点，得到，，进而得到点，到直线的距离之比，由三角形面积公式即可得到、之关系.
【详解】（1）
设动点，则，
化简得的方程为.
（2）

由题意得点、、，，的斜率为，，
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
代入得，
设，，
则，，
，，
∴，，即，
∴，
整理得，
所以，
即，显然直线不过点，即，
∴，则直线：，恒过点，
当直线斜率不存在时，则，，
由直线，斜率之和为2，解得，，不合题意．
则直线恒过点，
∴，，
设点，到直线的距离分别为，，
则，而，，
∴，
∴，得证.
【点睛】
关键点点睛：本题关键是找到直线过定点，由点，到定点的距离之比即为，的高之比，从而得到两个同底的三角形面积关系.