2024年重庆市育才中学教育集团中考数学一诊试卷 （含解析）

这是一份2024年重庆市育才中学教育集团中考数学一诊试卷 （含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，解答题，八年级抽取的竞赛成绩统计表等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）﹣2024的倒数是（ ）
A．﹣2024B．2024C．D．
2．（4分）如图，该几何体的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A．（﹣2，﹣4）B．（2，4）C．（2，﹣4）D．（﹣2，﹣6）
4．（4分）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ACD，∠B＝35°，E是CA延长线上一点，则∠BAE的度数是（ ）
A．35°B．60°C．65°D．70°
5．（4分）在解决数学问题时，常常需要建立数学模型．如图，用大小相同的圆点摆成的图案，按照这样的规律摆放，则第9个图案中共有圆点的个数是（ ）
A．80B．81C．82D．83
6．（4分）根据下列条件，不能画出唯一确定的△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝6B．AB＝4，∠B＝45°，∠A＝60°
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°D．∠C＝90°，AB＝8，AC＝4
7．（4分）某品牌新能源汽车2021年的销售量为10万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了21.2万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A．10（1+2x）＝21.2B．10（1+2x）﹣10＝21.2
C．10（1+x）2＝21.2D．10（1+x）2﹣10＝21.2
8．（4分）下列说法不正确的是（ ）
A．矩形的对角线相等且互相平分
B．菱形的对角线互相垂直平分
C．正方形的对角线相等且互相平分
D．平行四边形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形
9．（4分）如图，AB是⊙O的直径且，点C在圆上且∠ABC＝60°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD并过点A作AE⊥CD，垂足为E，则弦AD的长度为（ ）
A．B．C．4D．
10．（4分）已知A＝ax2﹣4x+3，B＝2x2﹣bx﹣3，则下列说法：
①若a＝2，b＝4，则A﹣B＝0；
②若2A+B的值与x的取值无关，则a＝﹣1，b＝﹣4；
③当a＝1，b＝4时，若|2A﹣B|＝6，则或；
④当a＝﹣1，b＝1时，|2A+B﹣4|+|2A+B+3|有最小值为7，则．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
11．（4分）＝ ．
12．（4分）要使（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b）展开式中不含x2项和x3项，则a﹣b＝ ．
13．（4分）如图，在正五边形ABCDE内，以CD为边作等边△CDF，则∠BFC的数为 ．
14．（4分）如图，过y轴正半轴上一点P作x轴的平行线，与反比例函数和的图象分别相交于点A和点B，点C是x轴上一点，连接AC、BC．若△ABC的面积为8，则k的值为 ．
15．（4分）如图，△ABC是等边三角形，O是△ABC的外心，外接圆半径为2，分别以A，B，C为圆心，AO，BO，CO为半径作弧交△ABC的三边于点H，I，D，E，F，G，则阴影部分的面积为 ．
16．（4分）若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程的解是非负整 数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
17．（4分）如图，矩形纸片ABCD，AD＝12，AB＝4，点E在线段BC上，将△ECD沿DE向上翻折，点C的对应点C'落在线段AD上，点M，N分别是线段AD与线段BC上的点，将四边形ABNM沿MN向上翻折，点B恰好落在线段DE的中点B'处．则线段MN的长 ．
18．（4分）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“优数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“最优分解”．例如：数195 “优数”（填：是或不是）；
若把一个“优数”M进行“最优分解”，即M＝A×B，A与B之和记为P（M），A与B差的绝对值记为Q（M），令 ，当G（M）能被8整除时，则满足条件的M的最大值是 ．
三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20-26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或
19．（8分）计算：
（1）4x（x+y）+（x﹣2y）2；
（2）．
20．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．
（1）用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BD、BC于点E、O、F，连接BE、DF；在线段BE的延长线上取一点G，使得EG＝FC，连接CG．（保留作图痕迹，不写作法和结论）
（2）在（1）所作图形中，证明：△BCG是等腰三角形．（补全证明过程）
证明：∵EF平分BD，
∴DO＝BO，
∵AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴ ②，
∵ED∥BF，
∴四边形BFDE为平行四边形，
∵BD垂直EF，
∴平行四边形BFDE为 ③，
∴BE＝BF，
∵EG＝FC，
∴BE+EG＝BF+FC，
即： ④，
∴△BCG是等腰三角形．
21．（10分）笛卡尔说：“数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源”．为提高学生对学习数学的兴趣和培养学生的数学爱好，某校开展了一次趣味数学竞赛，并从七年级和八年级各随机抽取20名学生的数学竞赛成绩，进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，共分成4组，A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70）．部分信息如下：
七年级学生B组的竞赛成绩为：81，83，82，84，82，86，82，86．
八年级被抽取学生的竞赛成绩为：83，61，71，62，66，83，71，86，90，76，92，93，83，75，84，85，77，90，91，81．
七、八年级抽取的竞赛成绩统计表
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ；b＝ ；m＝ ．
（2）根据以上数据分析，你认为哪个年级学生的数学竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级学生共有2000人，请你估计该校学生中数学竞赛成绩不低于90分的有多少人？
22．（10分）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．
（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？
（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？
23．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm．动点P从B出发以1cm/s的速度向C运动，动点Q从C出发以2cm/s的速度向B运动，两点同时出发，当其中一个点到达终点时另一个点立即停止运动，运动时间记为t．把线段AP绕点A逆时针旋转90°得线段AE，连接BE，CE．运动过程中△BCE的面积记为S△BCE且，PQ的长度记为y2．
（1）求出y1、y2的函数关系式，并写出t的取值范围．
（2）在图2的平面直角坐标系中，画出y1、y2的函数图象，并写出函数y2图象的一条性质： ．
（3）结合图象，当y1≥y2时，直接写出t的取值范围．
24．（10分）某动物园熊猫基地D新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于A、B之间的道路正在进行维护，暂时不能通行，游客由入口A进入园区之后可步行到达点C，然后可以选择乘坐空中缆车从C→D，也可选择乘坐观光车从C→B→D．已知点C在点A的北偏东45°方向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向300米处，点D在点B的北偏东60°方向上，且BD＝400米．（参考数据：，，）
（1）求CD的长度（精确到个位）；
（2）已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地D，应选择乘坐空中缆车还是观光车？
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（8，0）、B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C，连接AC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，直线CD交x轴于点D（2，0），点P为线段AC下方抛物线上的一点，过点P作PH∥y轴交直线CD于点H，在直线CD上取点Q，连接PQ，使得HQ＝PQ，求的最大值及此时P点的坐标；
（3）连接BC，把原抛物线沿射线BC方向平移个单位长度，点M是平移后新抛物线上的一点，过点M作MN垂直x轴于点N，连接AM，直接写出所有使得△AMN∽△ABC的点M的横坐标．
26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，△BDE是等边三角形，连接CD、AE．
（1）如图1，当A、B、D三点在同一直线上时，AE、BC交于点P，且AE⊥AC．若PC＝8，求PE的长；
（2）如图2，当B、E、C三点在同一直线上时，F是CD中点，连接AF、EF，求证：AE＝2AF；
（3）如图3，在（2）的条件下，AB＝8，E在直线BC上运动，将△AEF沿EF翻折得到△MEF，连接DM，G是AB上一点，且，O是直线BC上的另一个动点，连接OG，将△BOG沿OG翻折得到△HOG，连接HM，当HM最小时，直接写出此时点D到直线EM的距离．
2024年重庆市育才中学教育集团中考数学一诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．【分析】根据题意利用倒数定义即可得出本题答案．
【解答】解：∵，
故选：C．
2．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看，是一个矩形，矩形中间有一条纵向的虚线．
故选：B．
3．【分析】根据反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，来进行解答即可．
【解答】解：﹣2×（﹣4）＝8，反比例函数k的值是﹣8，故A选项不符合题意；
2×4＝8，反比例函数k的值是﹣8，故B选项不符合题意；
2×（﹣4）＝﹣8，反比例函数k的值是﹣8，故C选项不符合题意；
﹣2×（﹣6）＝12，反比例函数k的值是﹣8，故D选项不符合题意，
故选：C．
4．【分析】由平行线的性质可得∠BCD＝∠B＝35°，∠BAE＝∠DCE，再由角平分线的定义求得∠DCE＝2∠BCD，即可求∠BAE的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝35°，
∴∠BCD＝∠B＝35°，∠BAE＝∠DCE，
∵BC平分∠ACD，
∴∠DCE＝2∠BCD＝70°，
∴∠BAE＝70°．
故选：D．
5．【分析】根据所给图案依次求出前几个图案中圆点的个数，根据发现的规律即可解决问题．
【解答】解：有所给图案可知，
第1个图案中圆点的个数为：2＝12+1；
第2个图案中圆点的个数为：5＝22+1；
第3个图案中圆点的个数为：10＝32+1；
…，
所以第n个图案中圆点的个数为：n2+1．
当n＝9时，
n2+1＝82．
故选：C．
6．【分析】利用全等三角形的判定定理依次判断每个选项即可．
【解答】解：A：三边确定，符合全等三角形判定定理SSS，能画出唯一的△ABC，故不符合题意，
B：已知两个角及其公共边，符合全等三角形判定定理ASA，能画出唯一的△ABC，故不符合题意，
C：已知两边及其中一边的对角，属于“SSA”的情况，不符合全等三角形判定定理，故不能画出唯一的三角形，故本选项符合题意，
D：已知一个直角和一条直角边以及斜边长，符合全等三角形判定定理HL，能画出唯一的△ABC，故不符合题意．
故选：C．
7．【分析】利用该品牌新能源汽车2023年的销售量＝该品牌新能源汽车2021年的销售量×（1+从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率）2，结合2023年的销售量比2021年增加了21.2万辆，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：10（1+x）2﹣10＝21.2．
故选：D．
8．【分析】根据正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，轴对称图形，即可逐一判断．
【解答】解：A．矩形的对角线相等且互相平分，故A正确，不符合题意；
B．菱形的对角线互相垂直平分，故B正确，不符合题意；
C．正方形的对角线相等且互相平分，故C正确，不符合题意；
D．平行四边形不是轴对称图形，矩形、菱形、正方形都是轴对称图形，故D不正确确，符合题意．
故选：D．
9．【分析】由圆周角定理得到∠ACB＝90°，由sinB＝sin60°＝，求出AC＝2，由等腰直角三角形的性质求出AE＝AC＝2，由tanD＝tan60°＝，求出DE＝2，而∠DAE＝90°﹣∠D＝30°，得到AD＝2DE＝4．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝60°，AB＝4，
∴sinB＝sin60°＝＝，
∴AC＝2，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB＝45°，
∵AE⊥CD，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AE＝AC＝2，
∵∠D＝∠B＝60°，
∴tanD＝tan60°＝＝，
∴DE＝2，
∵∠DAE＝90°﹣∠D＝30°，
∴AD＝2DE＝4，
故选：C．
10．【分析】运用整式的加减运算对各个说法进行逐一辨别．
【解答】解：∵A＝ax2﹣4x+3，B＝2x2﹣bx﹣3，
∴当a＝2，b＝4时，
A﹣B＝（2x2﹣4x+3）﹣（2x2﹣4x﹣3）
＝2x2﹣4x+3﹣2x2+4x+3
＝6，
∴说法①不符合题意；
∵2A+B＝2（ax2﹣4x+3）+（2x2﹣bx﹣3）
＝2ax2﹣8x+6+2x2﹣bx﹣3
＝（2a+2）x2﹣（8+b）x+3，
∴当其值与x的取值无关时，
2a+2＝0，8+b＝0，
解得a＝﹣1，b＝﹣8，
∴说法②不符合题意；
∵|2A﹣B|＝|2（ax2﹣4x+3）﹣（2x2﹣bx﹣3）|
＝|2ax2﹣8x+6﹣2x2+bx+3|
＝|（2a﹣2）x2+（﹣8+b）x+9|，
∴当a＝1，b＝4时，
|2A﹣B|＝|（2×1﹣2）x2+（﹣8+4）x+9|
＝|﹣4x+9|
＝6，
∴﹣4x+9＝6或﹣4x+9＝﹣6，
解得或，
∴说法③符合题意；
∵当a＝﹣1，b＝1时，
|2A+B﹣4|+|2A+B+3|
＝|2（ax2﹣4x+3）+（2x2﹣bx﹣3）﹣4|+|2（ax2﹣4x+3）+（2x2﹣bx﹣3）+3|
＝|2ax2﹣8x+6+2x2﹣bx﹣3﹣4|+|2ax2﹣8x+6+2x2﹣bx﹣3+3|
＝|（2a+2）x2﹣（8+b）x﹣1|+|（2a+2）x2﹣（8+b）x+6|
＝|[2×（﹣1）+2]x2﹣（8+1）x﹣1|+|[2×（﹣1）+2]x2﹣（8+1）x+6|
＝|﹣9x﹣1|+|﹣9x+6|，
当﹣9x﹣1≤0且﹣9x+6≥0，即﹣≤x≤时，
|2A+B﹣4|+|2A+B+3|有最小值为7，
∴说法④符合题意，
故选：C．
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
11．【分析】首先计算负整数指数幂、开平方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解
＝3+5﹣3×
＝8﹣1.5
＝6.5．
故答案为：6.5．
12．【分析】利用多项式乘多项式法则先计算（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b），再根据积的展开式中不含x2项和x3项求出a、b的值，最后计算a﹣b．
【解答】解：（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b）
＝2x4﹣x3+bx2﹣2ax3+ax2﹣abx+12x2﹣6x+6b
＝2x4﹣（2a+1）x3+（a+b+12）x2﹣（ab+6）x+6b．
∵（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b）展开式中不含x2项和x3项，
∴﹣（2a+1）＝0，且a+b+12＝0．
∴a＝﹣，b＝﹣．
∴a﹣b＝﹣﹣（﹣）
＝﹣+
＝11．
故答案为：11．
13．【分析】根据等边三角形的性质和多边形的内角和解答即可．
【解答】解：∵△CDF是等边三角形，
∴∠DCF＝60°，
∵∠BCD＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠BCF＝108°﹣60°＝48°，
∵BC＝CF，
∴∠BFC＝（180°﹣48°）÷2＝66°．
故答案为：66°．
14．【分析】连接OA、OB，AB∥x轴，则S△ABC＝S△ABO＝S△AOP+S△BOP＝8，反比例函数y＝﹣得S△AOP＝，则S△BOP＝8﹣＝，根据k的几何意义得k＝2×＝9即可．
【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵AB∥x轴，
∴S△ABC＝S△ABO＝S△AOP+S△BOP＝8，
∵反比例函数y＝﹣，
∴S△AOP＝，
∴S△BOP＝8﹣＝，
∴k＝2×＝9．
故答案为：9．
15．【分析】连接OA、OB、OC，则OA＝OB＝OC＝2，由等边三角形的性质得∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝120°，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，则∠OCA＝∠OCB＝∠OAB＝30°，延长CO交AB于点P，则CP⊥AB，所以OP＝OA＝，则CP＝3，AP＝BP＝3，所以AB＝6，即可由S阴影＝S扇形CFG+S扇形AHI+S扇形BDE﹣S△ABC，求得S阴影＝6π﹣9，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OA、OB、OC，则OA＝OB＝OC＝2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝×360°＝120°，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠OCA＝∠OCB＝∠OAB＝×（180°﹣120°）＝30°，
∴CO平分∠ACB，
延长CO交AB于点P，则CP⊥AB，
∴∠OPA＝90°，
∴OP＝OA＝，
∴CP＝OC+OP＝3，AP＝BP＝＝3，
∴AB＝2AP＝6，
∵S阴影＝S扇形CFG+S扇形AHI+S扇形BDE﹣S△ABC，
∴S阴影＝3×﹣×6×3＝6π﹣9，
故答案为：6π﹣9．
16．【分析】由一元一次不等式组有解求出a的范围，解分式方程得到y＝，由分式方程有非负整数，且分式方程的分母不等于0．即可得到a的值．
【解答】解：由x+1＞，得：x＞﹣2，
由x+a＜3，得x＜3﹣a，
∵一元一次不等式组有解，
∴3﹣a＞﹣2，
∴a＜5，
分式方程去分母得：y﹣a+y﹣2＝1，
∴y＝，
∵分式方程的解是非负整数，且y≠2，a＜5，
∴a＝﹣3或3或a＝﹣1，
∴所有满足条件的整数a的值之和为﹣3+3﹣1＝﹣1．
故答案为：﹣1．
17．【分析】作B'F⊥BC于F，连接BB'交MN于G，连接BM，此时根据正方形的性质可得CF＝EF＝B'F＝＝2，BF＝10，应用勾股定理计算得出BB'＝2再根据由折叠的性质得BN＝B'N，在Rt△B'NF中根据勾股定理求得B'N长度，最后根据S△BMN＝＝，计算求得MN的长度即可．
【解答】解：如图，作B'F⊥BC于F，连接BB'交MN于G，连接BM，
由题意可知，四边形CDC'E，是正方形，△B'EF是等腰直角三角形，
∴CF＝EF＝B'F＝＝2，BF＝BC﹣CF＝12﹣2＝10，
在Rt△BB'F中，BB'＝＝，
设BN＝B'N＝x，则NF＝BC﹣BN﹣CF＝10﹣x，
在Rt△B'NF中，B'N2＝NF2+B'F2，
即x2＝（10﹣x）2+22，
解得：x＝，
∴BN＝，
由折叠的性质可知：BG＝B'G＝＝，BB'⊥MN，
∵S△BMN＝＝，
∴MN＝＝＝，
故答案为：．
18．【分析】先将195分解因数，再判断即可得出答案；
设两位数A的个位数字为n，十位数字为m，则两位数B的个位数字为8﹣n，十位数字为m（0＜m≤9，0＜n＜8，且m，n为正整数），得出A＝10m+n，B＝10m+8﹣n，进而得出P（M）＝20m+8，Q（M）＝2n﹣8，进而得出G（M）＝＝＝，再判断出n＝5或6或7，最后分三种情况利用G（M）能被8整除，求出m的值，即可求出答案．
【解答】解：∵195＝13×15，
∴195是”优数”；
故答案为：是；
设两位数A的个位数字为n，十位数字为m，
则两位数B的个位数字为8﹣n，十位数字为m（0＜m≤9，0＜n＜8，且m，n为正整数），
则A＝＝10m+n，B＝＝10m+8﹣n，
∴P（M）＝A+B＝10m+n+10m+8﹣n＝20m+8，
Q（M）＝|A﹣B|＝|10m+n﹣10m﹣8+n|＝|2n﹣8|，
令A≥B，则n≥8﹣n，
∴n≥4，
即4≤n＜8且n为整数，
∴Q（M）＝2n﹣8，
∴G（M）＝＝＝，
∵4≤n＜8，且n为整数，
∴n＝5或6或7，
（1）当n＝5时，G（M）＝10m+4，此数的个位数字必为4，
∵0＜m≤9，
∴0＜10m+4≤94，
∵G（M）能被8整除，
∴10m+4＝24或64，
∴m＝2或m＝6，
（2）当n＝6时，G（M）＝5m+2，此数的个位数字为2或7，
∵0＜m≤9，
∴0＜5m+2≤47，
∵G（M）能被8整除，
∴5m+2能被8整除，
∴5m+2＝32，
∴m＝6，
（3）当n＝7时，G（M）＝，
∵0＜m≤9，
∴0＜10m+4≤94，
∵G（M）能被8整除，
∴10m+4能被24整除，
而10m+4的个位数字为4，
∴10m+4＝24或64或94，
∴m＝2或m＝6（不符合要求）或m＝9（不符合要求），
∵要M最大，则A×B最大，
而两位数A，B的十位数字是m，
所以m最大，
∴当m＝6，n＝6时，A＝66，B＝62，
∴M＝A×B＝66×62＝4092；
∴当m＝6，n＝5时，A＝65，B＝63，
∴M＝A×B＝65×63＝4095，
故答案为：4095．
三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20-26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或
19．【分析】（1）先根据单项式乘多项式的法则、完全平方公式分别计算出各数，再合并同类项即可；
（2）先算括号里面的，再算除法即可．
【解答】解：（1）4x（x+y）+（x﹣2y）2
＝4x2+4xy+x2+4y2﹣4xy
＝5x2+4y2；
（2）
＝•
＝•
＝a+1．
20．【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图，再以点E为圆心，FC的长为半径画弧，交BE的延长线于点G，连接BE，DF，CG即可．
（2）根据全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定可得答案．
【解答】（1）解：如图所示．
（2）证明：∵EF平分BD，
∴DO＝BO，
∵AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴DE＝BF．
∵ED∥BF，
∴四边形BFDE为平行四边形．
∵BD垂直EF，
∴平行四边形BFDE为菱形，
∴BE＝BF．
∵EG＝FC，
∴BE+EG＝BF+FC，
即：BG＝BC，
∴△BCG是等腰三角形．
故答案为：①∠DOE＝∠BOF；②DE＝BF；③菱形；④BG＝BC．
21．【分析】（1）分别根据中位数、众数的意义求解即可求出a、b，用“B组”的人数除以20可得m的值；
（2）从平均数、中位数、众数的角度比较得出结论；
（3）用总人数乘七、八年级不低于90分人数所占百分比即可．
【解答】解：（1）由题意可知，把被抽取七年级20名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为84，86，故中位数a＝＝85；
在被抽取的八年级20名学生的数学竞赛成绩中，8（3分）出现的次数最多，故众数b＝83；
m%＝8÷20＝40%，故m＝40．
故答案为：85，83，40；
（2）七年级成绩较好，理由：因为七年级学生成绩的中位数比八年级的高，所以七年级成绩较好；
（3）2000×＝450（人），
答：该校学生中数学竞赛成绩不低于9（0分）的大约有450人．
22．【分析】（1）设购买杂酱面x份，牛肉面y份，利用总价＝单价×数量，结合该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买牛肉面m份，则购买杂酱面（1+50%）m份，利用单价＝总价÷数量，结合每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，可得出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买杂酱面x份，牛肉面y份，
根据题意得：，
解得：．
答：购买杂酱面80份，牛肉面90份；
（2）设购买牛肉面m份，则购买杂酱面（1+50%）m份，
根据题意得：﹣＝6，
解得：m＝60，
经检验，m＝60是所列方程的解，且符合题意．
答：购买牛肉面60份．
23．【分析】（1）设法用t表示出△BCE边BC上的高，即可求出y1的函数关系式；根据线段的和差关系，分情况即可列出y2的函数关系式；t的取值范围由Q到达终点确定即可；
（2）根据画函数图象的一般方法画出图象即可，y2图象的性质可从增减性方面考虑；
（3）先求出y1和y2的交点，再根据图象的位置直接写出t的范围即可．
【解答】解：（1）由题意，得BP＝t，CQ＝2t，0≤t≤6，
过点E作EF⊥BC于点F，作EG⊥AB，交BA的延长线于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠G＝∠ABP，∠BAP+∠APB＝90°，
∵线段AP绕点A逆时针旋转90°得线段AE，
∴AE＝AP，∠EAP＝90°，
∴∠EAG+∠BAP＝90°，
∴∠APB＝∠EAG，
在△ABP和△EGA中，
∴△ABP≌△EGA（AAS），
∴BP＝GA＝t，
∵∠G＝∠ABF＝∠EFB＝90°，
∴四边形BGEF是矩形，
∴EF＝GB＝GA+AB＝t+6，
∴＝，
∴y1＝t+6（0≤t≤6）；
点P，Q相遇时，即t+2t＝12，
解得t＝4，
当0≤t≤4时，
∵PQ＝BC﹣BP﹣CQ＝12﹣t﹣2t＝﹣3t+12，
∴y2＝﹣3t+12，
当4＜t≤6时，
∵PQ＝BP+CQ﹣BC＝t+2t﹣12＝3t﹣12，
∴y2＝3t﹣12，
∴
（2）当t＝0时，y1＝6，
当t＝6时，y1＝12，
∴y1的图象是过点（0，6），（6，12）的线段，如图2．
当t＝0时，y2＝12，
当t＝4时，y2＝0，
当t＝6时，y2＝6，
∴y2的图象是过点（0，12），（4，0）的线段和过点（4，0），（6，6）的线段，如图2．
函数y2图象的一条性质：答案不唯一，比如：①当0≤t≤4时，y2随t的增大而减小；②当4＜t≤6时，y2随t的增大而增大．（写出一条即可）
故答案为：当0≤t≤4时，y2随t的增大而减小；
（3）当0≤t≤4时，令y1＝y2，
即t+6＝﹣3t+12，
解得t＝，
由图象可知，当y1≥y2时，≤t≤6，
故答案为：≤t≤6．
24．【分析】（1））作CM⊥AB于M，BN⊥CD于N，推出四边形MBNC是矩形，得到CM＝BN，CN＝MB，求出BN＝BD＝×400＝200（米），由锐角的正切定义求出DN的长，由△AMC是等腰直角三角形，得到AM＝CM＝BN，求出MB的长，即可解决问题；
（2）分别求出乘坐空中缆车，观光车所用的时间，即可判断．
【解答】解：（1）作CM⊥AB于M，BN⊥CD于N，
∵CD∥AB，
∴四边形MBNC是矩形，
∴CM＝BN，CN＝MB，
∵∠DBN＝60°，
∴BN＝BD＝×400＝200（米），
∵tan∠NBD＝＝，
∴DN＝200（米），
∵∠CAM＝45°，
∴△AMC是等腰直角三角形，
∴AM＝CM＝200（米），
∴MB＝AB﹣AM＝100（米），
∴CD＝CN+ND＝100+200≈446（米）；
（2）由勾股定理得到BC＝＝100（米），
∴BC+BD＝400+100≈623.6（米），
∴乘坐观光车的时间是623.6÷320≈1.95（分钟），乘坐空中缆车的时间是446÷200＝2.23（分钟），
∴应选择乘坐观光车．
25．【分析】（1）把A（8，0），B（﹣2，0）代入抛物线即可求解；
（2）作QE⊥PH于点E，证明△PQE∽△CDO，用含m的式子表示PQ＝PE，利用二次函数的性质解决最值问题；
（3）求出平移后的函数解析式，分四种情况求解．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（8，0），B（﹣2，0），
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）作QE⊥PH于点E，
∵HQ＝PQ，
∴PH＝2PE，
当x＝0时，，
∴C（0，﹣4），
∴CD＝，
∵PH∥y轴，
∴∠DCO＝∠QHP，
∵HQ＝PQ，
∴∠QPH＝∠QHP，
∴∠QPH＝∠DCO，
∵∠PEO＝∠COD＝90°，
∴△PQE∽△CDO，
∴，
∴，
∴PQ＝PE，
设直线CD的解析式y＝kx﹣4，
把D（2，0）代入，得0＝2k﹣4，
解得k＝2，
∴y＝2x﹣4，
设，则H（m，2m﹣4），
∴，
∴PE＝＝，
∴＝＝＝，
∴当m＝7时，取得最大值，
∴点P的坐标为；
（3）∵A（8，0），B（﹣2，0），C（0，﹣4），
∴AB＝10，，，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵抛物线沿射线BC方向平移个单位长度，
∴抛物线向右平移了2个单位长度，向下平移了4个单位长度，
∵，
∴平移后的解析式为，
∴B（﹣2，0），C（0，﹣4），
∵△AMN∽△ABC，
∴，∠MAN＝∠BAC，
∴，
∴AN＝2MN，
设，则N（n，0），MN＝，
∵A（8，0），
∴AN＝|8﹣n|，
∴，
∴，
解得，
综上所述，点M的横坐标为12或0或或．
26．【分析】（1）解Rt△PAC求得AP，计算得出AP＝BP，然后解Rt△BPE求得PE；
（2）延长AF至G，是FG＝AF，连接DG，EG，设DG与AB交于H，证明△AFC≌△GFD，进而证明得出△ABE≌△GDE，进一步得出结论；
（3）作AP⊥BC于P，取AC点Q，连接PQ，QM，先证得点M在过点Q且与AC垂直的直线上l运动，点H在以点G为圆心，2为半径的圆上运动，过点G作l的垂线段GM′，交圆G于H，当点M运动到点M′时，此时HM最小，解直角梯形AGM′Q，求得AM′的值，进而求得PE′，BE′，作D′T⊥E′M′，解Rt△D′TE′，进一步求得结果．
【解答】（1）解：在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，△BDE是等边三角形，A、B、D三点在同一直线上，AE、BC交于点P，
∴∠ACB＝∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∵AE⊥AC，
∴∠EAC＝90°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝120°﹣90°＝30°，
∴∠ABE＝60°，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝∠BAE＝30°，
∴∠PBE＝∠ABE﹣∠ABC＝30°，AP＝BP，
在Rt△PAC中，PC＝8，∠ACB＝30°，
∴AP＝PC＝4，
∴BP＝4，
在Rt△BPE中，∠PBE＝30°，BP＝4，
∴PE＝BP＝2；
（2）证明：如图2，B、E、C三点在同一直线上，F是CD中点，
延长AF至G，是FG＝AF，连接DG，EG，设DG与AB交于H，
∵CF＝DF，∠AFC＝∠CFD，
∴△AFC≌△GFD（SAS），
∴DG＝AC，∠FDG＝∠ACF，
∴AC∥DG，
∴∠AHG＝180°﹣∠BAC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BHD＝∠AHG＝60°，
∵AB＝AC，
∴AB＝DG，
∵△BDE是等边三角形，
∴DE＝BE，∠BED＝60°，
∴∠BHD＝∠BED＝60°，
∵∠ADO＝∠BOE，
∴∠EDG＝∠ABE，
在△ABE和△GDE中，
，
∴△ABE≌△GDE（SAS），
∴AE＝EG，∠AEB＝∠DEG，
∴∠AEB﹣∠AED＝∠DEG﹣∠AED，
即：∠BED＝∠AEG＝60°，
∴△AEG是等边三角形，
∴∠AEG＝60°，EF⊥AG，
∴∠AEF＝∠AEG＝30°，
∴AE＝2AF；
（3）解：如图3，E在直线BC上运动，将△AEF沿EF翻折得到△MEF，连接DM，G是AB上一点，O是直线BC上的另一个动点，连接OG，将△BOG沿OG翻折得到△HOG，连接HM，
作AP⊥BC于P，取AC点Q，连接PQ，QM，
∴PQ＝AQ＝AC，
∵∠ACB＝30°，
∴AP＝AC，
∴AP＝PQ＝AQ，
∴∠PAQ＝60°，
由（2）得，
△AEM是等边三角形，
∴∠EAM＝60°，AE＝AM，
∴∠AEM＝∠PAQ，
∴∠AEM﹣∠PAM＝∠PAQ﹣∠PAM，
即：∠EAP＝∠MAQ，
∴△EAP≌△MAQ（SAS），
∴∠AQM＝∠APE＝90°，
∴点M在过点Q且与AC垂直的直线上l运动，
∵GH＝BG＝AB＝2，
∴点H在以点G为圆心，2为半径的⊙G上运动，
作GM′⊥直线l于M′，当点M在M′处时，交圆G于H，HM最小，
作AR⊥GM′于R，
∵∠AQM＝∠GM′Q＝90°，
∴AC∥GM′，
∴∠AGR＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴AR＝AG•sin60°＝6×＝3，
∴QM′＝AR＝3，
∴AM′＝＝＝，
∴AE′＝，
在Rt△APE′中，AP＝4，AE′＝，
∴PE′＝3，
∵BP＝AB•cs∠ABC＝8×＝4，
∴D′E′＝BE′＝BP﹣PE′＝4﹣3＝，
作D′T⊥E′M′于T，
∵∠BE′T＝∠M′E′C，
∠D′E′B＝∠AE′M′＝60°，
∴∠D′E′T＝∠AE′P，
∴sin∠D'E'T＝sin∠AE'P＝＝，
∴D'T＝D'E•sin∠D'E'T＝×＝，
∴此时点D到直线EM的距离为：．
年级
七年级
八年级
平均数
80
80
中位数
a
83
众数
82
b