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2024年陕西省西安市临潼区中考数学一模试卷 （含解析）
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这是一份2024年陕西省西安市临潼区中考数学一模试卷 （含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣7的倒数是（ ）
A．7B．C．﹣7D．﹣
2．（3分）三角形ABC绕BC旋转一周得到的几何体为（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如图，已知直线l1∥l2，若∠1＝∠2＝35°，则∠3的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
4．（3分）计算＝（ ）
A．﹣x6y3B．﹣x6y3C．x5y4D．x5y4
5．（3分）在平面直角坐标系中，将直线沿x轴向左平移5个单位长度后，得到一条新的直线，该新直线与y轴的交点坐标是（ ）
A．B．（0，﹣3）C．D．（0，7）
6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，∠CDA＝∠CAB．若BC＝4，tanB＝，则AD的长度为（ ）
A．B．C．D．4
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝8，．则BE的长为（ ）
A．B．C．2D．
8．（3分）如表是部分二次函数y＝ax2+bx﹣5的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程ax2+bx﹣5＝0的一个根在（ ）范围之间．
A．1～1.1B．1.1～1.2C．1.2～1.3D．1.3～1.4
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）比较大小：3 （填写“＜”或“＞”）．
10．（3分）因式分解：3a2﹣12＝ ．
11．（3分）若多边形的一个内角等于144°，且每个内角的度数相等，则这个多边形的边数是 ．
12．（3分）已知点A（﹣3，m），B（﹣2，n）都在反比例函数上，且m＞n，则k的取值范围是 ．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为 ．
三、解答题（共13小题，共计81分，解答应写出过程）
14．（5分）计算：||+﹣（）0．
15．（5分）解不等式组：．
16．（5分）解分式方程：．
17．（5分）在三角形ABC中，∠C＝90°，请用尺规作图的方法，以AB为对角线作一个矩形（保留作图痕迹，不写作法）．
18．（5分）如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，分别过点A，B向过点C的直线l作垂线，垂足分别为M，N．
求证：△AMC≌△CNB．
19．（5分）陕西是联合国粮农组织认定的世界苹果最佳优生区，是全球集中连片种植苹果最大区域，某苹果园现有一批苹果，计划租用A、B两种型号的货车将苹果运往外地销售，已知满载时，用3辆A型车和2辆B型车一次可运苹果13吨；用4辆A型车和3辆B型车一次可运苹果18吨．求1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运苹果多少吨？
20．（5分）小秦观察学校外的某个十字路口，每辆汽车来到十字路口后，都有三种选择，分别为左转，右转或直行，如果每种选择可能性的大小一致．
（1）请直接写出经过十字路口的一辆汽车向右转的概率为 ；
（2）若两辆汽车同时经过这个十字路口，请用画树状图或列表的方法，求两辆车行驶方向一致的概率．
21．（6分）2023年我省继续推进实施教育数字化战略行动，随着信息化教学的普及，越来越多的教学场景都引入了投影仪，用以辅助教学．如图，是某教室投影仪安装的截面图．D为天花板上投影仪吊臂的安装点，点A为投影仪（投影仪大小忽略不计），投影仪的光线夹角∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，吊臂AD＝0.5m，投影屏幕的高BC＝1.6m，AD⊥DE，DE⊥EF．求屏幕下边沿C点离教室顶部DE的高度．（结果保留一位小数，参考数据
22．（7分）2023年前10月，陕西省新能源汽车产量已达82.9万辆，同比增长40.5%，并且全省新能源汽车的“版图”仍在加速扩张中，如图是小明在观察自家购买的某型号新能源纯电动汽车充满电后行驶里程，绘制的蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象，根据图象回答下列问题：
（1）当0≤x≤150时，求汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶的路程；
（2）求当汽车已行驶170千米时，蓄电池的剩余电量．
23．（7分）某学校七年级体育期末测试已经结束，现从七年级随机抽取部分学生的体育期末测试成绩进行统计分析（成绩得分用x表示，共分成4个等级，A：60≥x≥54为优秀，B：53.9≥x≥45为良好，C：44.9≥x≥30为合格，D：x≤29.9为不合格），绘制了如下所示的统计图，请根据统计图信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；本次共调查了 名学生；
（2）在扇形统计图中，m＝ ，本次调查的学生体育成绩中位数位于等级 ；
（3）若该校共有800名七年级学生，请估计体育期末成绩为合格及以上的学生人数．
24．（8分）已知：如图，AB是⊙O直径，直线l经过⊙O的上一点C，过点A作直线l的垂线，垂足为点D，AC平分∠DAB．
（1）求证：直线l与⊙O相切；
（2）若∠DAB＝60°，CD＝3，求⊙O的半径．
25．（8分）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA、OB关于y轴对称．OC＝1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．
（1）直接写出点A点和C的坐标，并求抛物线的表达式；
（2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离．
26．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，连接对角线BD，E，F分别为BC，AB边上一动点，已知AB＝2，且∠EDF＝60°．
（1）如图1，当CE＝AF时，则有DE DF（选填“＞”，“＜”或“＝”）；
（2）如图2，移动∠EDF，当CE≠AF时，（1）中的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）某校开辟了一块菱形“校园农场”ABCD，已知该农场的一条边AB长2米，且∠C＝60°，为了方便同学们随时观测农场内所种植物的生长情况，学校在“校园农场”的点D处设立了一个可旋转的监控摄像头，已知监控的可视角度为60°，且监控在旋转过程中可视角度的边界会落在CB，BA边所在的直线上，如图3，某一时刻，监控可视角度的边界交直线AB于点F，交直线BC于点E，若连接EF，则监控的视野范围为△DEF，设△DEF的面积为y，CE＝x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
2024年陕西省西安市临潼区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）﹣7的倒数是（ ）
A．7B．C．﹣7D．﹣
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
【解答】解：﹣7的倒数是﹣，
故选：D．
2．（3分）三角形ABC绕BC旋转一周得到的几何体为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由图形旋转的特点即可求解．
【解答】解：由图形的旋转性质，可知△ABC旋转后的图形为C，
故选：C．
3．（3分）如图，已知直线l1∥l2，若∠1＝∠2＝35°，则∠3的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】由平行线的性质推出∠3＝∠4，由三角形外角的性质求出∠4＝∠1+∠2＝70°，即可得到∠3＝70°．
【解答】解：∵直线l1∥l2，
∴∠3＝∠4，
∵∠4＝∠1+∠2＝35°+35°＝70°，
∴∠3＝70°．
故选：C．
4．（3分）计算＝（ ）
A．﹣x6y3B．﹣x6y3C．x5y4D．x5y4
【分析】积的乘方，等于积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，由此计算即可．
【解答】解：，
故选：B．
5．（3分）在平面直角坐标系中，将直线沿x轴向左平移5个单位长度后，得到一条新的直线，该新直线与y轴的交点坐标是（ ）
A．B．（0，﹣3）C．D．（0，7）
【分析】直接根据“左加右减”的原则得到平移后的直线的解析式，再把y＝0代入所得的解析式解答即可．
【解答】解：将直线y＝﹣x+2沿y轴向左平移5个单位后，得到y＝﹣（x+5）+2＝﹣x﹣，
把x＝0代入y＝﹣x﹣得，y＝﹣，
解得x＝﹣1，
所以该直线与x轴的交点坐标是（0，﹣），
故选：C．
6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，∠CDA＝∠CAB．若BC＝4，tanB＝，则AD的长度为（ ）
A．B．C．D．4
【分析】由勾股定理可求AB的长，通过证明△ACD∽△BCA，可得，即可求解．
【解答】解：∵BC＝4，tanB＝＝，
∴AC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵∠CDA＝∠CAB，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴，
∴，
∴AD＝，
故选：C．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝8，．则BE的长为（ ）
A．B．C．2D．
【分析】连接OC，如图，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠BOC，则∠BOC＝∠BOD，所以＝，再根据垂径定理得到AB⊥CD，CE＝DE＝CD＝4，设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝8﹣r，利用勾股定理得42+（8﹣r）2＝r2，解方程求出r，然后计算AB﹣AE即可．
【解答】解：连接OC，如图
∵∠BAC＝∠BOC，
而∠BAC＝∠BOD，
∴∠BOC＝∠BOD，
∴＝，
∴AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝4，
设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝8﹣r，
在Rt△OCE中，42+（8﹣r）2＝r2，
解得r＝5，
∴BE＝AB﹣AE＝2×5﹣8＝2．
故选：C．
8．（3分）如表是部分二次函数y＝ax2+bx﹣5的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程ax2+bx﹣5＝0的一个根在（ ）范围之间．
A．1～1.1B．1.1～1.2C．1.2～1.3D．1.3～1.4
【分析】利用二次函数和一元二次方程的关系．
【解答】解：观察表格可知：当x＝1.1时，y＝﹣0.49；当x＝1.2时，y＝0.04，
∴方程ax2+bx﹣5＝0的一个根在范围是1.1＜x＜1.2．
故选：B．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）比较大小：3 ＞ （填写“＜”或“＞”）．
【分析】将3转化为，然后比较被开方数即可得到答案．
【解答】解：∵3＝，且9＞7，
∴3＞，
故答案为：＞．
10．（3分）因式分解：3a2﹣12＝ 3（a+2）（a﹣2） ．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：3a2﹣12
＝3（a2﹣4）
＝3（a+2）（a﹣2），
故答案为：3（a+2）（a﹣2）．
11．（3分）若多边形的一个内角等于144°，且每个内角的度数相等，则这个多边形的边数是 10 ．
【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360°，利用360°除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：∵内角等于144°，
∴外角是180°﹣144°＝36°，
∵360°÷36°＝10，
∴这个多边形的边数是10．
故答案为：10．
12．（3分）已知点A（﹣3，m），B（﹣2，n）都在反比例函数上，且m＞n，则k的取值范围是 k＞1 ．
【分析】根据反比例函数的增减性可判断k﹣1的正负性，从而得到k的取值范围．
【解答】解：∵A（﹣3，m），B（﹣2，n）都在反比例函数图象上，
∴点A、点B在双曲线同一分支上，
又∵﹣3＜﹣2，且m＞n，
∴y随x的增大而减小，
∴k﹣1＞0，
∴k＞1．
故答案为：k＞1．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为 3 ．
【分析】在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的长，设A点关于BD的对称点A′，连接A′D，可证明△ADA′为等边三角形，当PQ⊥AD时，则PQ最小，所以当A′Q⊥AD时AP+PQ最小，从而可求得AP+PQ的最小值等于DE的长，可得出答案..
【解答】解：
设BE＝x，则DE＝3x，
∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，
∴△ABE∽△DAE，
∴AE2＝BE•DE，即AE2＝3x2，
∴AE＝x，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2＝AE2+DE2，即62＝（x）2+（3x）2，解得x＝，
∴AE＝3，DE＝3，
如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′，
则A′A＝2AE＝6＝AD，AD＝A′D＝6，
∴△AA′D是等边三角形，
∵PA＝PA′，
∴当A′、P、Q三点在一条线上时，A′P+PQ最小，
又垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P+PQ最小，
∴AP+PQ＝A′P+PQ＝A′Q＝DE＝3．
故答案为：3．
三、解答题（共13小题，共计81分，解答应写出过程）
14．（5分）计算：||+﹣（）0．
【分析】先计算零次幂、绝对值和立方根，再计算加减．
【解答】解：||+﹣（）0．
＝2﹣﹣3﹣1
＝﹣2﹣．
15．（5分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3（x+2）≥2x+5，得：x≥﹣1，
解不等式2x﹣＜1，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3．
16．（5分）解分式方程：．
【分析】观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程的两边同乘（x﹣2），得
1﹣x+2（x﹣2）＝﹣1，
解得：x＝2．
检验：把x＝2代入（x﹣2）＝0，即x＝2不是原分式方程的解．
故原方程无解．
17．（5分）在三角形ABC中，∠C＝90°，请用尺规作图的方法，以AB为对角线作一个矩形（保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分即可作出以AB为对角线的矩形．
【解答】解：如图，四边形ACBD即为所求的矩形．
18．（5分）如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，分别过点A，B向过点C的直线l作垂线，垂足分别为M，N．
求证：△AMC≌△CNB．
【分析】由垂直的定义得到∠AMC＝∠BNC＝90°，由三角形外角的性质推出∠ACM＝∠CBN，由AAS即可证明△AMC≌△CNB．
【解答】证明：∵AM⊥l，BN⊥l，
∴∠AMC＝∠BNC＝90°，
∵∠ACM+∠ACB＝∠CBN+∠BNC，∠ACB＝∠BNC＝90°，
∴∠ACM＝∠CBN，
在△AMC和△CNB中，
，
∴△AMC≌△CNB（AAS）．
19．（5分）陕西是联合国粮农组织认定的世界苹果最佳优生区，是全球集中连片种植苹果最大区域，某苹果园现有一批苹果，计划租用A、B两种型号的货车将苹果运往外地销售，已知满载时，用3辆A型车和2辆B型车一次可运苹果13吨；用4辆A型车和3辆B型车一次可运苹果18吨．求1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运苹果多少吨？
【分析】设1辆A型车满载时一次运苹果x吨，1辆B型车满载时一次运苹果y吨，由题意：满载时，用3辆A型车和2辆B型车一次可运苹果13吨；用4辆A型车和3辆B型车一次可运苹果18吨．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设1辆A型车满载时一次运苹果x吨，1辆B型车满载时一次运苹果y吨，
依题意，得：，
解得：，
答：1辆A型车满载时一次运苹果3吨，1辆B型车满载时一次运苹果2吨．
20．（5分）小秦观察学校外的某个十字路口，每辆汽车来到十字路口后，都有三种选择，分别为左转，右转或直行，如果每种选择可能性的大小一致．
（1）请直接写出经过十字路口的一辆汽车向右转的概率为 ；
（2）若两辆汽车同时经过这个十字路口，请用画树状图或列表的方法，求两辆车行驶方向一致的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及两辆车行驶方向一致的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，经过十字路口的一辆汽车向右转的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两辆车行驶方向一致的结果有3种，
∴两辆车行驶方向一致的概率为＝．
21．（6分）2023年我省继续推进实施教育数字化战略行动，随着信息化教学的普及，越来越多的教学场景都引入了投影仪，用以辅助教学．如图，是某教室投影仪安装的截面图．D为天花板上投影仪吊臂的安装点，点A为投影仪（投影仪大小忽略不计），投影仪的光线夹角∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，吊臂AD＝0.5m，投影屏幕的高BC＝1.6m，AD⊥DE，DE⊥EF．求屏幕下边沿C点离教室顶部DE的高度．（结果保留一位小数，参考数据
【分析】过点A作AP⊥EF，垂足为P，想办法求出PC的长即可解决问题．
【解答】解：过B作BH⊥AC于H，过A作AP⊥EF于P，
∴PE＝AD＝0.5m，
在Rt△BCH中，BC＝1.6m，∠ACB＝30°，
∴BH＝BC＝0.8（m），HC＝BC＝，
在Rt△ABH中，∠BAH＝45°，
∴AH＝BH＝0.8（m），
∴AC＝（+）m，
∴PC＝AC＝（+）m，
∴CE＝PE+CP＝0.5+65+25≈2.4（m）．
答：屏幕下边沿C离教室顶部的距离约为2.4m．
22．（7分）2023年前10月，陕西省新能源汽车产量已达82.9万辆，同比增长40.5%，并且全省新能源汽车的“版图”仍在加速扩张中，如图是小明在观察自家购买的某型号新能源纯电动汽车充满电后行驶里程，绘制的蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象，根据图象回答下列问题：
（1）当0≤x≤150时，求汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶的路程；
（2）求当汽车已行驶170千米时，蓄电池的剩余电量．
【分析】（1）根据图象信息蓄电池剩余电量为35千瓦时，汽车已行驶了150千米，据此计算即可；
（2）根据待定系数法求出一次函数解析式，将x＝170代入解析式计算出y值即可．
【解答】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时，汽车已行驶了150千米，
1千瓦时用电量能行驶的路程为（千米）．
答：汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶的路程为5千米．
（2）设y＝kx+b，把点（150，35），（200，10）代入得：
，解得，
∴y＝﹣0.5x+110，
当x＝170时，y＝﹣0.5×170+110＝25．
答：当汽车已行驶170千米时，蓄电池的剩余电量为25千瓦时．
23．（7分）某学校七年级体育期末测试已经结束，现从七年级随机抽取部分学生的体育期末测试成绩进行统计分析（成绩得分用x表示，共分成4个等级，A：60≥x≥54为优秀，B：53.9≥x≥45为良好，C：44.9≥x≥30为合格，D：x≤29.9为不合格），绘制了如下所示的统计图，请根据统计图信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；本次共调查了 50 名学生；
（2）在扇形统计图中，m＝ 12 ，本次调查的学生体育成绩中位数位于等级 C ；
（3）若该校共有800名七年级学生，请估计体育期末成绩为合格及以上的学生人数．
【分析】（1）由D等级人数及其所占百分比可得总人数，再求出C等级人数即可补全图形；
（2）C等级人数除以总人数可得m的值，再根据中位数的定义求解即可；
（3）总人数乘以样本中A、B、C等级人数和所占比例即可．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为20÷40%＝50（名），
则C等级人数为50﹣（10+14+20）＝6（名），
补全图形如下：
故答案为：50；
（2）在扇形统计图中，m%＝×100%＝12%，即m＝12，
本次调查的学生体育成绩中位数是第25、26个数据的平均数，
而这两个数据均落在C等级，
所以本次调查的学生体育成绩中位数落在C等级，
故答案为：12，C；
（3）800×＝480（名），
答：估计体育期末成绩为合格及以上的学生约有480名．
24．（8分）已知：如图，AB是⊙O直径，直线l经过⊙O的上一点C，过点A作直线l的垂线，垂足为点D，AC平分∠DAB．
（1）求证：直线l与⊙O相切；
（2）若∠DAB＝60°，CD＝3，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，根据角平分线的定义得到∠DAC＝∠BAC，根据等腰三角形的性质得到∠OCA＝∠BAC，等量代换得到∠DAC＝∠OCA，证明OC∥AD，根据平行线的性质得到OC⊥l，根据切线的判定定理证明结论；
（2）过点O作OE⊥AC于E，根据垂径定理得到AE＝EC＝AC，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥l，
∴OC⊥l，
∵OC为⊙O的半径，
∴直线l与⊙O相切；
（2）解：过点O作OE⊥AC于E，
则AE＝EC＝AC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠DAC＝∠BAC＝30°，
在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，CD＝3，
则AC＝2CD＝6，
∴AE＝3，
∴OA＝＝＝2，
∴⊙O的半径2．
25．（8分）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA、OB关于y轴对称．OC＝1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．
（1）直接写出点A点和C的坐标，并求抛物线的表达式；
（2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离．
【分析】（1）待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）写出直线OA解析式，求出与抛物线的交点坐标F，根据抛物线的对称性计算出点E坐标，利用横坐标之差计算线段EF长．
【解答】解：（1）点A的坐标为（2，0.6）、点C的坐标为（0，1），
设抛物线的表达式为：y＝ax2+c，
则，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣0.1x2+1；
（2）由（1）得，y＝﹣0.1x2+1①，
设直线OA解析式为y＝kx，
将A（2，0.6）坐标代入得，0.6＝2k，
解得k＝0.3，
∴直线OA的表达式为：y＝0.3x②，
联立①②得：0.3x＝﹣0.1x2+1，
解得：x1＝2（舍去），x2＝﹣5，
即点F（﹣5，﹣1.5），
则EF＝5×2＝10．
26．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，连接对角线BD，E，F分别为BC，AB边上一动点，已知AB＝2，且∠EDF＝60°．
（1）如图1，当CE＝AF时，则有DE ＝ DF（选填“＞”，“＜”或“＝”）；
（2）如图2，移动∠EDF，当CE≠AF时，（1）中的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）某校开辟了一块菱形“校园农场”ABCD，已知该农场的一条边AB长2米，且∠C＝60°，为了方便同学们随时观测农场内所种植物的生长情况，学校在“校园农场”的点D处设立了一个可旋转的监控摄像头，已知监控的可视角度为60°，且监控在旋转过程中可视角度的边界会落在CB，BA边所在的直线上，如图3，某一时刻，监控可视角度的边界交直线AB于点F，交直线BC于点E，若连接EF，则监控的视野范围为△DEF，设△DEF的面积为y，CE＝x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
【分析】（1）根据菱形的性质，利用SAS证明△DAF≌△DCE，得DE＝DF；
（2）连接DB，由菱形的性质得△ABD是等边三角形，得AD＝BD，∠ADB＝60°，再利用ASA证明△ADF≌△BDE，得DE＝DF；
（3）证明△ADF≌△BDE（SAS），得出S△ADF＝S△BDE，证出y＝，由二次函数的性质可得出答案．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠A＝∠C，
∵CE＝AF，
∴△DAF≌△DCE（SAS），
∴DE＝DF；
故答案为：＝；
（2）成立，理由如下：
如图，连接DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
又∵∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，∠ADB＝60°，
∴∠DBE＝∠DAF＝60°，
∵∠EDF＝60°，
∴∠ADB＝∠EDF＝60°，
∴∠ADF＝∠BDE，
∴△ADF≌△BDE（ASA），
∴DE＝DF；
（3）如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
又∵∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，∠ADB＝60°，
同理可得∠DBC＝60°，
∴∠DBE＝∠DAF＝120°，
∵∠EDF＝∠ADB＝60°，
∴∠ADF＝∠BDE，
∴△ADF≌△BDE（SAS），
∴S△ADF＝S△BDE，AF＝BE，
∴CE＝BF＝x，
∵S△DEF+S△BDE＝S△ADF+S△ABD+S△BEF，
∴y＝S△DEF＝S△BEF+S△ABD，
过点F作FM⊥BE于点M，
∵CE＝BF＝x，∠FBE＝60°，
∴FM＝，
∴S△BEF＝＝＝，
∵△ABD是等边三角形，
∴＝，
∴y＝，
∵y＝，
∴x＝1时，y有最小值，最小值为．
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
﹣1
﹣0.49
0.04
0.59
1.16
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
﹣1
﹣0.49
0.04
0.59
1.16
左转
右转
直行
左转
（左转，左转）
（左转，右转）
（左转，直行）
右转
（右转，左转）
（右转，右转）
（右转，直行）
直行
（直行，左转）
（直行，右转）
（直行，直行）
1．（3分）﹣7的倒数是（ ）
A．7B．C．﹣7D．﹣
2．（3分）三角形ABC绕BC旋转一周得到的几何体为（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如图，已知直线l1∥l2，若∠1＝∠2＝35°，则∠3的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
4．（3分）计算＝（ ）
A．﹣x6y3B．﹣x6y3C．x5y4D．x5y4
5．（3分）在平面直角坐标系中，将直线沿x轴向左平移5个单位长度后，得到一条新的直线，该新直线与y轴的交点坐标是（ ）
A．B．（0，﹣3）C．D．（0，7）
6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，∠CDA＝∠CAB．若BC＝4，tanB＝，则AD的长度为（ ）
A．B．C．D．4
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝8，．则BE的长为（ ）
A．B．C．2D．
8．（3分）如表是部分二次函数y＝ax2+bx﹣5的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程ax2+bx﹣5＝0的一个根在（ ）范围之间．
A．1～1.1B．1.1～1.2C．1.2～1.3D．1.3～1.4
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）比较大小：3 （填写“＜”或“＞”）．
10．（3分）因式分解：3a2﹣12＝ ．
11．（3分）若多边形的一个内角等于144°，且每个内角的度数相等，则这个多边形的边数是 ．
12．（3分）已知点A（﹣3，m），B（﹣2，n）都在反比例函数上，且m＞n，则k的取值范围是 ．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为 ．
三、解答题（共13小题，共计81分，解答应写出过程）
14．（5分）计算：||+﹣（）0．
15．（5分）解不等式组：．
16．（5分）解分式方程：．
17．（5分）在三角形ABC中，∠C＝90°，请用尺规作图的方法，以AB为对角线作一个矩形（保留作图痕迹，不写作法）．
18．（5分）如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，分别过点A，B向过点C的直线l作垂线，垂足分别为M，N．
求证：△AMC≌△CNB．
19．（5分）陕西是联合国粮农组织认定的世界苹果最佳优生区，是全球集中连片种植苹果最大区域，某苹果园现有一批苹果，计划租用A、B两种型号的货车将苹果运往外地销售，已知满载时，用3辆A型车和2辆B型车一次可运苹果13吨；用4辆A型车和3辆B型车一次可运苹果18吨．求1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运苹果多少吨？
20．（5分）小秦观察学校外的某个十字路口，每辆汽车来到十字路口后，都有三种选择，分别为左转，右转或直行，如果每种选择可能性的大小一致．
（1）请直接写出经过十字路口的一辆汽车向右转的概率为 ；
（2）若两辆汽车同时经过这个十字路口，请用画树状图或列表的方法，求两辆车行驶方向一致的概率．
21．（6分）2023年我省继续推进实施教育数字化战略行动，随着信息化教学的普及，越来越多的教学场景都引入了投影仪，用以辅助教学．如图，是某教室投影仪安装的截面图．D为天花板上投影仪吊臂的安装点，点A为投影仪（投影仪大小忽略不计），投影仪的光线夹角∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，吊臂AD＝0.5m，投影屏幕的高BC＝1.6m，AD⊥DE，DE⊥EF．求屏幕下边沿C点离教室顶部DE的高度．（结果保留一位小数，参考数据
22．（7分）2023年前10月，陕西省新能源汽车产量已达82.9万辆，同比增长40.5%，并且全省新能源汽车的“版图”仍在加速扩张中，如图是小明在观察自家购买的某型号新能源纯电动汽车充满电后行驶里程，绘制的蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象，根据图象回答下列问题：
（1）当0≤x≤150时，求汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶的路程；
（2）求当汽车已行驶170千米时，蓄电池的剩余电量．
23．（7分）某学校七年级体育期末测试已经结束，现从七年级随机抽取部分学生的体育期末测试成绩进行统计分析（成绩得分用x表示，共分成4个等级，A：60≥x≥54为优秀，B：53.9≥x≥45为良好，C：44.9≥x≥30为合格，D：x≤29.9为不合格），绘制了如下所示的统计图，请根据统计图信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；本次共调查了 名学生；
（2）在扇形统计图中，m＝ ，本次调查的学生体育成绩中位数位于等级 ；
（3）若该校共有800名七年级学生，请估计体育期末成绩为合格及以上的学生人数．
24．（8分）已知：如图，AB是⊙O直径，直线l经过⊙O的上一点C，过点A作直线l的垂线，垂足为点D，AC平分∠DAB．
（1）求证：直线l与⊙O相切；
（2）若∠DAB＝60°，CD＝3，求⊙O的半径．
25．（8分）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA、OB关于y轴对称．OC＝1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．
（1）直接写出点A点和C的坐标，并求抛物线的表达式；
（2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离．
26．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，连接对角线BD，E，F分别为BC，AB边上一动点，已知AB＝2，且∠EDF＝60°．
（1）如图1，当CE＝AF时，则有DE DF（选填“＞”，“＜”或“＝”）；
（2）如图2，移动∠EDF，当CE≠AF时，（1）中的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）某校开辟了一块菱形“校园农场”ABCD，已知该农场的一条边AB长2米，且∠C＝60°，为了方便同学们随时观测农场内所种植物的生长情况，学校在“校园农场”的点D处设立了一个可旋转的监控摄像头，已知监控的可视角度为60°，且监控在旋转过程中可视角度的边界会落在CB，BA边所在的直线上，如图3，某一时刻，监控可视角度的边界交直线AB于点F，交直线BC于点E，若连接EF，则监控的视野范围为△DEF，设△DEF的面积为y，CE＝x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
2024年陕西省西安市临潼区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）﹣7的倒数是（ ）
A．7B．C．﹣7D．﹣
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
【解答】解：﹣7的倒数是﹣，
故选：D．
2．（3分）三角形ABC绕BC旋转一周得到的几何体为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由图形旋转的特点即可求解．
【解答】解：由图形的旋转性质，可知△ABC旋转后的图形为C，
故选：C．
3．（3分）如图，已知直线l1∥l2，若∠1＝∠2＝35°，则∠3的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】由平行线的性质推出∠3＝∠4，由三角形外角的性质求出∠4＝∠1+∠2＝70°，即可得到∠3＝70°．
【解答】解：∵直线l1∥l2，
∴∠3＝∠4，
∵∠4＝∠1+∠2＝35°+35°＝70°，
∴∠3＝70°．
故选：C．
4．（3分）计算＝（ ）
A．﹣x6y3B．﹣x6y3C．x5y4D．x5y4
【分析】积的乘方，等于积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，由此计算即可．
【解答】解：，
故选：B．
5．（3分）在平面直角坐标系中，将直线沿x轴向左平移5个单位长度后，得到一条新的直线，该新直线与y轴的交点坐标是（ ）
A．B．（0，﹣3）C．D．（0，7）
【分析】直接根据“左加右减”的原则得到平移后的直线的解析式，再把y＝0代入所得的解析式解答即可．
【解答】解：将直线y＝﹣x+2沿y轴向左平移5个单位后，得到y＝﹣（x+5）+2＝﹣x﹣，
把x＝0代入y＝﹣x﹣得，y＝﹣，
解得x＝﹣1，
所以该直线与x轴的交点坐标是（0，﹣），
故选：C．
6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，∠CDA＝∠CAB．若BC＝4，tanB＝，则AD的长度为（ ）
A．B．C．D．4
【分析】由勾股定理可求AB的长，通过证明△ACD∽△BCA，可得，即可求解．
【解答】解：∵BC＝4，tanB＝＝，
∴AC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵∠CDA＝∠CAB，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴，
∴，
∴AD＝，
故选：C．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝8，．则BE的长为（ ）
A．B．C．2D．
【分析】连接OC，如图，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠BOC，则∠BOC＝∠BOD，所以＝，再根据垂径定理得到AB⊥CD，CE＝DE＝CD＝4，设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝8﹣r，利用勾股定理得42+（8﹣r）2＝r2，解方程求出r，然后计算AB﹣AE即可．
【解答】解：连接OC，如图
∵∠BAC＝∠BOC，
而∠BAC＝∠BOD，
∴∠BOC＝∠BOD，
∴＝，
∴AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝4，
设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝8﹣r，
在Rt△OCE中，42+（8﹣r）2＝r2，
解得r＝5，
∴BE＝AB﹣AE＝2×5﹣8＝2．
故选：C．
8．（3分）如表是部分二次函数y＝ax2+bx﹣5的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程ax2+bx﹣5＝0的一个根在（ ）范围之间．
A．1～1.1B．1.1～1.2C．1.2～1.3D．1.3～1.4
【分析】利用二次函数和一元二次方程的关系．
【解答】解：观察表格可知：当x＝1.1时，y＝﹣0.49；当x＝1.2时，y＝0.04，
∴方程ax2+bx﹣5＝0的一个根在范围是1.1＜x＜1.2．
故选：B．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）比较大小：3 ＞ （填写“＜”或“＞”）．
【分析】将3转化为，然后比较被开方数即可得到答案．
【解答】解：∵3＝，且9＞7，
∴3＞，
故答案为：＞．
10．（3分）因式分解：3a2﹣12＝ 3（a+2）（a﹣2） ．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：3a2﹣12
＝3（a2﹣4）
＝3（a+2）（a﹣2），
故答案为：3（a+2）（a﹣2）．
11．（3分）若多边形的一个内角等于144°，且每个内角的度数相等，则这个多边形的边数是 10 ．
【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360°，利用360°除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：∵内角等于144°，
∴外角是180°﹣144°＝36°，
∵360°÷36°＝10，
∴这个多边形的边数是10．
故答案为：10．
12．（3分）已知点A（﹣3，m），B（﹣2，n）都在反比例函数上，且m＞n，则k的取值范围是 k＞1 ．
【分析】根据反比例函数的增减性可判断k﹣1的正负性，从而得到k的取值范围．
【解答】解：∵A（﹣3，m），B（﹣2，n）都在反比例函数图象上，
∴点A、点B在双曲线同一分支上，
又∵﹣3＜﹣2，且m＞n，
∴y随x的增大而减小，
∴k﹣1＞0，
∴k＞1．
故答案为：k＞1．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为 3 ．
【分析】在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的长，设A点关于BD的对称点A′，连接A′D，可证明△ADA′为等边三角形，当PQ⊥AD时，则PQ最小，所以当A′Q⊥AD时AP+PQ最小，从而可求得AP+PQ的最小值等于DE的长，可得出答案..
【解答】解：
设BE＝x，则DE＝3x，
∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，
∴△ABE∽△DAE，
∴AE2＝BE•DE，即AE2＝3x2，
∴AE＝x，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2＝AE2+DE2，即62＝（x）2+（3x）2，解得x＝，
∴AE＝3，DE＝3，
如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′，
则A′A＝2AE＝6＝AD，AD＝A′D＝6，
∴△AA′D是等边三角形，
∵PA＝PA′，
∴当A′、P、Q三点在一条线上时，A′P+PQ最小，
又垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P+PQ最小，
∴AP+PQ＝A′P+PQ＝A′Q＝DE＝3．
故答案为：3．
三、解答题（共13小题，共计81分，解答应写出过程）
14．（5分）计算：||+﹣（）0．
【分析】先计算零次幂、绝对值和立方根，再计算加减．
【解答】解：||+﹣（）0．
＝2﹣﹣3﹣1
＝﹣2﹣．
15．（5分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3（x+2）≥2x+5，得：x≥﹣1，
解不等式2x﹣＜1，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3．
16．（5分）解分式方程：．
【分析】观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程的两边同乘（x﹣2），得
1﹣x+2（x﹣2）＝﹣1，
解得：x＝2．
检验：把x＝2代入（x﹣2）＝0，即x＝2不是原分式方程的解．
故原方程无解．
17．（5分）在三角形ABC中，∠C＝90°，请用尺规作图的方法，以AB为对角线作一个矩形（保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分即可作出以AB为对角线的矩形．
【解答】解：如图，四边形ACBD即为所求的矩形．
18．（5分）如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，分别过点A，B向过点C的直线l作垂线，垂足分别为M，N．
求证：△AMC≌△CNB．
【分析】由垂直的定义得到∠AMC＝∠BNC＝90°，由三角形外角的性质推出∠ACM＝∠CBN，由AAS即可证明△AMC≌△CNB．
【解答】证明：∵AM⊥l，BN⊥l，
∴∠AMC＝∠BNC＝90°，
∵∠ACM+∠ACB＝∠CBN+∠BNC，∠ACB＝∠BNC＝90°，
∴∠ACM＝∠CBN，
在△AMC和△CNB中，
，
∴△AMC≌△CNB（AAS）．
19．（5分）陕西是联合国粮农组织认定的世界苹果最佳优生区，是全球集中连片种植苹果最大区域，某苹果园现有一批苹果，计划租用A、B两种型号的货车将苹果运往外地销售，已知满载时，用3辆A型车和2辆B型车一次可运苹果13吨；用4辆A型车和3辆B型车一次可运苹果18吨．求1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运苹果多少吨？
【分析】设1辆A型车满载时一次运苹果x吨，1辆B型车满载时一次运苹果y吨，由题意：满载时，用3辆A型车和2辆B型车一次可运苹果13吨；用4辆A型车和3辆B型车一次可运苹果18吨．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设1辆A型车满载时一次运苹果x吨，1辆B型车满载时一次运苹果y吨，
依题意，得：，
解得：，
答：1辆A型车满载时一次运苹果3吨，1辆B型车满载时一次运苹果2吨．
20．（5分）小秦观察学校外的某个十字路口，每辆汽车来到十字路口后，都有三种选择，分别为左转，右转或直行，如果每种选择可能性的大小一致．
（1）请直接写出经过十字路口的一辆汽车向右转的概率为 ；
（2）若两辆汽车同时经过这个十字路口，请用画树状图或列表的方法，求两辆车行驶方向一致的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及两辆车行驶方向一致的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，经过十字路口的一辆汽车向右转的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两辆车行驶方向一致的结果有3种，
∴两辆车行驶方向一致的概率为＝．
21．（6分）2023年我省继续推进实施教育数字化战略行动，随着信息化教学的普及，越来越多的教学场景都引入了投影仪，用以辅助教学．如图，是某教室投影仪安装的截面图．D为天花板上投影仪吊臂的安装点，点A为投影仪（投影仪大小忽略不计），投影仪的光线夹角∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，吊臂AD＝0.5m，投影屏幕的高BC＝1.6m，AD⊥DE，DE⊥EF．求屏幕下边沿C点离教室顶部DE的高度．（结果保留一位小数，参考数据
【分析】过点A作AP⊥EF，垂足为P，想办法求出PC的长即可解决问题．
【解答】解：过B作BH⊥AC于H，过A作AP⊥EF于P，
∴PE＝AD＝0.5m，
在Rt△BCH中，BC＝1.6m，∠ACB＝30°，
∴BH＝BC＝0.8（m），HC＝BC＝，
在Rt△ABH中，∠BAH＝45°，
∴AH＝BH＝0.8（m），
∴AC＝（+）m，
∴PC＝AC＝（+）m，
∴CE＝PE+CP＝0.5+65+25≈2.4（m）．
答：屏幕下边沿C离教室顶部的距离约为2.4m．
22．（7分）2023年前10月，陕西省新能源汽车产量已达82.9万辆，同比增长40.5%，并且全省新能源汽车的“版图”仍在加速扩张中，如图是小明在观察自家购买的某型号新能源纯电动汽车充满电后行驶里程，绘制的蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象，根据图象回答下列问题：
（1）当0≤x≤150时，求汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶的路程；
（2）求当汽车已行驶170千米时，蓄电池的剩余电量．
【分析】（1）根据图象信息蓄电池剩余电量为35千瓦时，汽车已行驶了150千米，据此计算即可；
（2）根据待定系数法求出一次函数解析式，将x＝170代入解析式计算出y值即可．
【解答】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时，汽车已行驶了150千米，
1千瓦时用电量能行驶的路程为（千米）．
答：汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶的路程为5千米．
（2）设y＝kx+b，把点（150，35），（200，10）代入得：
，解得，
∴y＝﹣0.5x+110，
当x＝170时，y＝﹣0.5×170+110＝25．
答：当汽车已行驶170千米时，蓄电池的剩余电量为25千瓦时．
23．（7分）某学校七年级体育期末测试已经结束，现从七年级随机抽取部分学生的体育期末测试成绩进行统计分析（成绩得分用x表示，共分成4个等级，A：60≥x≥54为优秀，B：53.9≥x≥45为良好，C：44.9≥x≥30为合格，D：x≤29.9为不合格），绘制了如下所示的统计图，请根据统计图信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；本次共调查了 50 名学生；
（2）在扇形统计图中，m＝ 12 ，本次调查的学生体育成绩中位数位于等级 C ；
（3）若该校共有800名七年级学生，请估计体育期末成绩为合格及以上的学生人数．
【分析】（1）由D等级人数及其所占百分比可得总人数，再求出C等级人数即可补全图形；
（2）C等级人数除以总人数可得m的值，再根据中位数的定义求解即可；
（3）总人数乘以样本中A、B、C等级人数和所占比例即可．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为20÷40%＝50（名），
则C等级人数为50﹣（10+14+20）＝6（名），
补全图形如下：
故答案为：50；
（2）在扇形统计图中，m%＝×100%＝12%，即m＝12，
本次调查的学生体育成绩中位数是第25、26个数据的平均数，
而这两个数据均落在C等级，
所以本次调查的学生体育成绩中位数落在C等级，
故答案为：12，C；
（3）800×＝480（名），
答：估计体育期末成绩为合格及以上的学生约有480名．
24．（8分）已知：如图，AB是⊙O直径，直线l经过⊙O的上一点C，过点A作直线l的垂线，垂足为点D，AC平分∠DAB．
（1）求证：直线l与⊙O相切；
（2）若∠DAB＝60°，CD＝3，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，根据角平分线的定义得到∠DAC＝∠BAC，根据等腰三角形的性质得到∠OCA＝∠BAC，等量代换得到∠DAC＝∠OCA，证明OC∥AD，根据平行线的性质得到OC⊥l，根据切线的判定定理证明结论；
（2）过点O作OE⊥AC于E，根据垂径定理得到AE＝EC＝AC，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥l，
∴OC⊥l，
∵OC为⊙O的半径，
∴直线l与⊙O相切；
（2）解：过点O作OE⊥AC于E，
则AE＝EC＝AC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠DAC＝∠BAC＝30°，
在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，CD＝3，
则AC＝2CD＝6，
∴AE＝3，
∴OA＝＝＝2，
∴⊙O的半径2．
25．（8分）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA、OB关于y轴对称．OC＝1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．
（1）直接写出点A点和C的坐标，并求抛物线的表达式；
（2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离．
【分析】（1）待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）写出直线OA解析式，求出与抛物线的交点坐标F，根据抛物线的对称性计算出点E坐标，利用横坐标之差计算线段EF长．
【解答】解：（1）点A的坐标为（2，0.6）、点C的坐标为（0，1），
设抛物线的表达式为：y＝ax2+c，
则，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣0.1x2+1；
（2）由（1）得，y＝﹣0.1x2+1①，
设直线OA解析式为y＝kx，
将A（2，0.6）坐标代入得，0.6＝2k，
解得k＝0.3，
∴直线OA的表达式为：y＝0.3x②，
联立①②得：0.3x＝﹣0.1x2+1，
解得：x1＝2（舍去），x2＝﹣5，
即点F（﹣5，﹣1.5），
则EF＝5×2＝10．
26．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，连接对角线BD，E，F分别为BC，AB边上一动点，已知AB＝2，且∠EDF＝60°．
（1）如图1，当CE＝AF时，则有DE ＝ DF（选填“＞”，“＜”或“＝”）；
（2）如图2，移动∠EDF，当CE≠AF时，（1）中的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）某校开辟了一块菱形“校园农场”ABCD，已知该农场的一条边AB长2米，且∠C＝60°，为了方便同学们随时观测农场内所种植物的生长情况，学校在“校园农场”的点D处设立了一个可旋转的监控摄像头，已知监控的可视角度为60°，且监控在旋转过程中可视角度的边界会落在CB，BA边所在的直线上，如图3，某一时刻，监控可视角度的边界交直线AB于点F，交直线BC于点E，若连接EF，则监控的视野范围为△DEF，设△DEF的面积为y，CE＝x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
【分析】（1）根据菱形的性质，利用SAS证明△DAF≌△DCE，得DE＝DF；
（2）连接DB，由菱形的性质得△ABD是等边三角形，得AD＝BD，∠ADB＝60°，再利用ASA证明△ADF≌△BDE，得DE＝DF；
（3）证明△ADF≌△BDE（SAS），得出S△ADF＝S△BDE，证出y＝，由二次函数的性质可得出答案．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠A＝∠C，
∵CE＝AF，
∴△DAF≌△DCE（SAS），
∴DE＝DF；
故答案为：＝；
（2）成立，理由如下：
如图，连接DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
又∵∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，∠ADB＝60°，
∴∠DBE＝∠DAF＝60°，
∵∠EDF＝60°，
∴∠ADB＝∠EDF＝60°，
∴∠ADF＝∠BDE，
∴△ADF≌△BDE（ASA），
∴DE＝DF；
（3）如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
又∵∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，∠ADB＝60°，
同理可得∠DBC＝60°，
∴∠DBE＝∠DAF＝120°，
∵∠EDF＝∠ADB＝60°，
∴∠ADF＝∠BDE，
∴△ADF≌△BDE（SAS），
∴S△ADF＝S△BDE，AF＝BE，
∴CE＝BF＝x，
∵S△DEF+S△BDE＝S△ADF+S△ABD+S△BEF，
∴y＝S△DEF＝S△BEF+S△ABD，
过点F作FM⊥BE于点M，
∵CE＝BF＝x，∠FBE＝60°，
∴FM＝，
∴S△BEF＝＝＝，
∵△ABD是等边三角形，
∴＝，
∴y＝，
∵y＝，
∴x＝1时，y有最小值，最小值为．
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
﹣1
﹣0.49
0.04
0.59
1.16
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
﹣1
﹣0.49
0.04
0.59
1.16
左转
右转
直行
左转
（左转，左转）
（左转，右转）
（左转，直行）
右转
（右转，左转）
（右转，右转）
（右转，直行）
直行
（直行，左转）
（直行，右转）
（直行，直行）
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