2024年山东省济宁市曲阜市夫子学校中考数学一模试卷 （含解析）

这是一份2024年山东省济宁市曲阜市夫子学校中考数学一模试卷 （含解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）2024的倒数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
2．（3分）如图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，则该几何体是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．分解因式：a3﹣a＝a（a2﹣1）
D．2a2•4a3＝8a5
4．（3分）不等式组，的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）如图，⊙O中，，连接AB，AC，BC，OB，OC，若∠ACB＝65°，则∠BOC的度数为（ ）
A．130°B．115°C．100°D．150°
6．（3分）2023年全国教育工作会议于1月12日在北京召开，会议重点谈到了要重视学生的“读书问题”，为落实会议精神，某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（ ）
A．3，3B．3，7C．2，7D．7，3
7．（3分）今日，上海疫情防控形势严峻，某工厂计划生产1000套防护服，由于工人加班加点，实际每天比计划多制作20%，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天制作x套防护服，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC的值为（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＜0．以下结论正确的是（ ）
①abc＞0；②点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，当x1＜0＜x2时，y1＜y2；③一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一个解是﹣4；④3a+c＜0．
A．①③B．①②C．③④D．②④
10．（3分）在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（﹣1，0），每一次将△AOB绕着点O顺时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2023的坐标为（ ）
A．（﹣22023，0）B．（22022，0）
C．（﹣22022，22022）D．（﹣22023，﹣22023）
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（3分）石墨烯目前是世界上最薄也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其厚度仅0.00000000035cm，将数据0.00000000035用科学记数法表示为 ．
12．（3分）化简分式的结果是 ．
13．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D，点E，直线DE与交AB交于点F，交AC于点G，CF与BG交于点H，若BC＝2，则HG的长为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象与菱形OABC的边OC，AB分别交于点M，N，且OM＝2MC，OA＝6，∠COA＝60°，则N的横坐标为 ．
15．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝2．将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上点D处，折痕交OA于点C，点E为OB的中点，点P为线段CB上一个动点，连接OP，PE，DP，过点D作DF⊥BC于点F，下列说法：①当点P运动到CB的中点时，四边形COPD为菱形，②，③OP+PE的最小值为，④阴影部分面积为，正确的是 （填序号）．
三、解答题：本大题共7题，满分55分.解答应写出文字说明、证明过程或推演过程.
16．（6分）（1）计算：+（2023﹣π）0﹣+2sin60°．
（2）先化简，再求值：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（x+3）（x+1），其中x为方程x2﹣6x﹣2023＝0的解．
17．（7分）为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ，圆心角β＝ 度；
（2）补全条形统计图；
（3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率．
18．（7分）某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图．
（1）若纪念品在成本价的基础上经过两次涨价，售价为67.5元，求这两次平均增长率为多少？
（2）当销售单价为多少元时，每天的获利最大，最大利润是多少？
（3）物价部门规定该纪念品销售单价不能超过m元，在日销售量y（件）与销售单价x（元/件）保持（1）中函数关系不变的情况下，若要求该纪念品的日销售最大利润是1200元，求m的值．
19．（8分）如图，△ABC中∠ACB＝90°，CD是中线，以CD为直径的⊙O交BC于点E，作EF⊥AB于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若CD＝9，sin∠DCB＝，求EF的长．
20．（8分）阅读新知
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．
即：在数列a1，a2，a3，…，an（n为正整数）中，若，，…，则数列a1，a2，a3，…，an（n为正整数）叫做等比数列．其中a1叫数列的首项，a2叫第二项，…，an叫第n项，q叫做数列的公比．
例如：数列1，2，4，8，16，…是等比数列，公比q＝2．
计算：求等比数列1，3，32，33，…，3100的和．
解：令S＝1+3+32+33+…+3100，则3S＝3+32+33+34+…+3100+3101．
因此3S﹣S＝3101﹣1．所以．
即1+3+32+33+…+3100＝．
学以致用
（1）选择题：下列数列属于等比数列的是
A.1，2，3，4，5
B.2，6，18，21，63
C.56，28，14，7，3.5
D．﹣11，22，﹣33，44，﹣55
（2）填空题：已知数列a1，a2，a3，…，an是公比为4的等比数列，若它的首项a1＝3，则它的第n项an等于 ．
（3）解答题：求等比数列1，5，52，53，…前2024项的和．
21．（9分）如图1，在正方形ABCD中，AE平分∠CAB，交BC于点E，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于点G，交AB的延长线于点F．
（1）求证：BE＝BF；
（2）如图2，连接BG、BD，求证：BG平分∠DBF；
（3）如图3，连接DG交AC于点M，求的值．
22．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2﹣4mx+4m+6（m＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）当m＝﹣6时，直接写出点A，C，D的坐标；
（2）如图1，直线DC交x轴于点E，若，
①求m的值．
②将直线CD向上平移n个单位得到直线L，直线L与抛物线只有一个公共点，求n的值．
（3）如图2，在（2）的条件下，若点Q为OC的中点，连接BQ，动点P在第一象限的抛物线上运动，过点P作x轴的垂线．垂足为H，交BQ于点M，交直线ED于点J，过点M作MN⊥DE，垂足为N．是否存在PM与MN和的最大值？若存在，求出PM与MN和的最大值；若不存在，请说明理由．
2024年山东省济宁市曲阜市夫子学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（3分）2024的倒数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
【分析】根据乘积是1的两数互为倒数解答即可．
【解答】解：2024的倒数是；
故选：C．
2．（3分）如图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，则该几何体是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：A、俯视图是，不符合题意；
B、俯视图是，不符合题意；
C、俯视图是，符合题意；
D、俯视图是，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．分解因式：a3﹣a＝a（a2﹣1）
D．2a2•4a3＝8a5
【分析】A．根据算术平方根的定义，进行计算，然后判断即可；
B．根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；
C．利用提公因式法和平方差公式分解因式，然后判断即可；
D．根据单项式乘单项式法则和同底数幂的乘法法则进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵a3﹣a＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D．∵2a2•4a3＝8a5，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）不等式组，的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
由①得，x＜3；
由②得，x≤1，
故此不等式组的解集为x≤1．
在数轴上表示为：
故选：D．
5．（3分）如图，⊙O中，，连接AB，AC，BC，OB，OC，若∠ACB＝65°，则∠BOC的度数为（ ）
A．130°B．115°C．100°D．150°
【分析】利用等弧所对的圆周角相等可得∠ACB＝∠ABC＝65°，从而利用三角形的内角和定理可得∠A＝50°，然后利用圆周角定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵，
∴∠ACB＝∠ABC＝65°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°，
故选：C．
6．（3分）2023年全国教育工作会议于1月12日在北京召开，会议重点谈到了要重视学生的“读书问题”，为落实会议精神，某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（ ）
A．3，3B．3，7C．2，7D．7，3
【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的一个数或多个数；根据中位数的定义：将数据按照从小到大的顺序排序后，位置在最中间的数值，进行求解即可．
【解答】解：由题意可得：众数是3，
中位数，
故选：A．
7．（3分）今日，上海疫情防控形势严峻，某工厂计划生产1000套防护服，由于工人加班加点，实际每天比计划多制作20%，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天制作x套防护服，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】设原计划每天制作x套防护服，则实际每天制作为（1+20%）x，根据结果比原计划提前2天完成任务，列出方程即可．
【解答】解：设原计划每天制作x套防护服，
可列方程为：﹣＝2，
故选：B．
8．（3分）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D．利用格点先求出AB、BC的长，利用△ABC的面积求出AD的长，再计算∠ABC的正弦值．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
由图知：AB＝＝5，
BC＝＝，
∵S△ABC＝5×5﹣×4×3﹣×5×1﹣×5×2＝，
∴BC•AD＝，
∴AD＝，
在Rt△ABD中，
sin∠ABC＝＝＝，
故选：B．
9．（3分）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＜0．以下结论正确的是（ ）
①abc＞0；②点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，当x1＜0＜x2时，y1＜y2；③一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一个解是﹣4；④3a+c＜0．
A．①③B．①②C．③④D．②④
【分析】①根据开口方向，对称轴，与y轴交点的位置判断a，b，c的正负即可；
②根据图象的性质判断即可；
③根据图象的对称性判断即可；
④根据图象知x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，由b＝2a，即可判断．
【解答】解：∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＜0．
∴a＞0，c＜0，对称轴为直线x＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∴abc＜0，故①错误；
点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x1＜0＜x2时，不能判断y1和y2的大小，故②错误；
∵图象与x轴交于点（2，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴图象与x轴的另一个交点为为（﹣4，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一个解是﹣4，故③正确；
由图象可知当x＝1时，y＜0，
即a+b+c＜0，
∵b＝2a，
∴3a+c＜0，故④正确．
故选：C．
10．（3分）在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（﹣1，0），每一次将△AOB绕着点O顺时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2023的坐标为（ ）
A．（﹣22023，0）B．（22022，0）
C．（﹣22022，22022）D．（﹣22023，﹣22023）
【分析】根据△AOB的旋转方式，发现每转6次则旋转一周，再根据OAi（i为正整数）长度的变化规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为每次绕点O顺时针旋转60°，
所以360°÷60°＝6，
即每旋转6次便转了一周．
又因为2023÷6＝337余1，
所以第2023次旋转后，点A2023在射线OA1上，
即与x轴的负半轴夹角为60°．
因为第1次旋转后，OA1＝2；
第2次旋转后，；
第3次旋转后，；
…，
所以第n次旋转后，；
当n＝2023时，
2n＝22023，
即第2023次旋转后，OA2023＝22023．
又因为OA2023与x轴的负半轴夹角为60°，且在x轴的上方，
所以点A2023的坐标为（）．
故选：C．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（3分）石墨烯目前是世界上最薄也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其厚度仅0.00000000035cm，将数据0.00000000035用科学记数法表示为 3.5×10﹣10 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000000035＝3.5×10﹣10．
故答案为：3.5×10﹣10．
12．（3分）化简分式的结果是 ．
【分析】先通分，再利用分式减法计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝．
故答案为：．
13．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D，点E，直线DE与交AB交于点F，交AC于点G，CF与BG交于点H，若BC＝2，则HG的长为 ．
【分析】由作法得FG垂直平分AC，则FG⊥AC，AG＝CG，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC＝2，则CG＝，利用勾股定理得到BG＝，然后利用平行线分线段成比例定理得到＝，所以GH＝BG．
【解答】解：由作法得FG垂直平分AC，
∴FG⊥AC，AG＝CG，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AC＝BC＝2，
∴CG＝AC＝，
在Rt△BCG中，BG＝＝，
∵FG∥BC，
∴＝＝，
∴HG＝BG＝．
故答案为：．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象与菱形OABC的边OC，AB分别交于点M，N，且OM＝2MC，OA＝6，∠COA＝60°，则N的横坐标为 3+ ．
【分析】分别过点M、N作x轴的垂线，垂足分别为H、G，根据题意求得OM＝4，在Rt△OMH中，OM＝4，∠AOC＝60°，则OH＝2，MH＝2，故点M的坐标为（2，2），利用待定系数法求得k＝4，在Rt△NAG中，设AN＝2a，∠NAG＝60°，则AG＝a，NG＝a，则点N的坐标为（6+a，a），代入反比例函数的解析式，即可得到关于a的方程，解方程求得a的值，进而求得点N的横坐标．
【解答】解：分别过点M、N作x轴的垂线，垂足分别为H、G，
∵四边形OABC是菱形，OA＝6，
∴OC＝OA＝6，
∵OM＝2MC，
∴OM＝×6＝4，
在Rt△OMH中，OM＝4，∠AOC＝60°，则OH＝2，MH＝2，
∴点M的坐标为（2，2），
∵点M在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝，
设AN＝2a，
∵OC∥AB，
∴∠AOC＝∠NAG＝60°，
在Rt△NAG中，设AN＝2a，∠NAG＝60°，则AG＝a，NG＝a，
∴点N的坐标为（6+a，a），
∵点N在反比例函数y＝上，
∴（6+a）•＝4，
解得a＝﹣3+（负值已舍去），
∴6+a＝3+，
∴N的横坐标为3+，
故答案为：3+．
15．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝2．将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上点D处，折痕交OA于点C，点E为OB的中点，点P为线段CB上一个动点，连接OP，PE，DP，过点D作DF⊥BC于点F，下列说法：①当点P运动到CB的中点时，四边形COPD为菱形，②，③OP+PE的最小值为，④阴影部分面积为，正确的是 ①③④ （填序号）．
【分析】连接OF，由折叠性质可知，OB＝BD，OC＝CD，由 30°角所对直角边是斜边的一半，三角形中线性质可判断①②，当D、P、E三点共线时，OP+PE有最小值，即DE的值，可判断③，再用求面积的方法可判断④．
【解答】解：连接OF，
由折叠性质可知，OB＝BD，OC＝CD，
∴OB＝BD＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠OBD＝60°，
∴∠OBC＝∠DBC＝30°，
∴，
∵当点P运动到CB的中点时，
∴，
∴四边形COPD为菱形，故①正确；
∵DF⊥BC，
∴∠CFD＝90°，
由∠OBC＝∠DBC＝30°，∠AOB＝∠CDB＝90°，
∴∠CDF＝30°，
∴，
∴，
∴，故②错误，
∵O与D是关于BC对称，
∴当D、P、E三点共线时，OP+PE有最小值，即DE的值，
∴DE⊥OB，
∴∠DEB＝90°，
∵∠OBD＝60°，
∴∠BDE＝30°，
∴．
在RtDEB中，由勾股定理得 ，故③正确；
同理：，
∴阴影部分面积为 ，故④正确；
故答案为：①③④．
三、解答题：本大题共7题，满分55分.解答应写出文字说明、证明过程或推演过程.
16．（6分）（1）计算：+（2023﹣π）0﹣+2sin60°．
（2）先化简，再求值：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（x+3）（x+1），其中x为方程x2﹣6x﹣2023＝0的解．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把x2﹣6x＝2023代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）+（2023﹣π）0﹣+2sin60°
＝3+1﹣（﹣1）+2×
＝3+1﹣+1+
＝5；
（2）（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（x+3）（x+1）
＝x2﹣2x+1+x2﹣4﹣（x2+4x+3）
＝x2﹣2x+1+x2﹣4﹣x2﹣4x﹣3
＝x2﹣6x﹣6，
∵x2﹣6x﹣2023＝0，
∴x2﹣6x＝2023，
∴当x2﹣6x＝2023时，原式＝2023﹣6＝2017．
17．（7分）为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 50 ，圆心角β＝ 144 度；
（2）补全条形统计图；
（3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率．
【分析】（1）由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量，即可解决问题；
（2）求出成绩优秀的人数，即可解决问题；
（3）由红星中学共有学生人数乘以此次竞赛该校获优异等级的学生人数所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是：10÷20%＝50，
则圆心角β＝360°×＝144°，
故答案为：50，144；
（2）成绩优秀的人数为：50﹣2﹣10﹣20＝18（人），
补全条形统计图如下：
（3）1200×＝480（人），
答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480人；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，
∴恰好抽到A，C两人同时参赛的概率为＝．
18．（7分）某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图．
（1）若纪念品在成本价的基础上经过两次涨价，售价为67.5元，求这两次平均增长率为多少？
（2）当销售单价为多少元时，每天的获利最大，最大利润是多少？
（3）物价部门规定该纪念品销售单价不能超过m元，在日销售量y（件）与销售单价x（元/件）保持（1）中函数关系不变的情况下，若要求该纪念品的日销售最大利润是1200元，求m的值．
【分析】（1）根据题意列出方程计算即可．
（2）根据图中的数据，利用待定系数法得关系式，根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求出最值．
（3）将1200元代入新函数，先求解x的值，再根据最大利润为1250元进行检验即可得到的m．
【解答】解：（1）这两次平均增长率为x，
30（1+x）2＝67.5，
解得：x＝0.5或﹣2.5（舍去）．
∴这两次平均增长率为50%；
（2）设解析式为y＝kx+b，
根据图象可知，点（30，100）、（50，60）在y＝kx+b上，
∴，
解得，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+160；
设每天获利w元，
根据题意得w＝（x﹣30）⋅（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，
∴当x＝55时，w取最大值为1250，
答：当销售单价55元/件时，每天获利最大，最大利润为1250元．
（3）由（2）知，当w最大＝1200时，﹣2（x﹣55）2+1250＝1200，
解得x1＝50，x2＝60，
∴m的值为50，
即m＝50．
19．（8分）如图，△ABC中∠ACB＝90°，CD是中线，以CD为直径的⊙O交BC于点E，作EF⊥AB于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若CD＝9，sin∠DCB＝，求EF的长．
【分析】（1）连接OE，利用同圆的半径相等，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线定义斜边的一半的性质，平行线的判定与性质得到OE∥BD，则OE⊥EF，利用圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用直径所对的圆周角为直角，直角三角形的边角关系定理求得DE，利用勾股定理求得CE，利用等腰三角形的三线合一的性质得到BE，利用三角形的面积公式得到DE•BE＝BD•EF，将已知条件代入运算即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵△ABC中∠ACB＝90°，CD是中线，
∴CD＝BD＝AB，
∴∠DCB＝∠B．
∵OC＝OE，
∴∠DCB＝∠OEC，
∴∠OEC＝∠B，
∴OE∥BD．
∵EF⊥AB，
∴OE⊥EF，
∵OE为⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接DE，如图，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠AED＝90°．
在Rt△CDE中，
∵sin∠DCB＝，
∴DE＝CD＝3．
∴CE＝．
∵DC＝DB，DE⊥BC，
∴BE＝CE＝6．
∵DE•BE＝BD•EF，
∴DE•BE＝BD•EF，
∴3×6＝9EF，
∴EF＝2．
20．（8分）阅读新知
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．
即：在数列a1，a2，a3，…，an（n为正整数）中，若，，…，则数列a1，a2，a3，…，an（n为正整数）叫做等比数列．其中a1叫数列的首项，a2叫第二项，…，an叫第n项，q叫做数列的公比．
例如：数列1，2，4，8，16，…是等比数列，公比q＝2．
计算：求等比数列1，3，32，33，…，3100的和．
解：令S＝1+3+32+33+…+3100，则3S＝3+32+33+34+…+3100+3101．
因此3S﹣S＝3101﹣1．所以．
即1+3+32+33+…+3100＝．
学以致用
（1）选择题：下列数列属于等比数列的是 C
A.1，2，3，4，5
B.2，6，18，21，63
C.56，28，14，7，3.5
D．﹣11，22，﹣33，44，﹣55
（2）填空题：已知数列a1，a2，a3，…，an是公比为4的等比数列，若它的首项a1＝3，则它的第n项an等于 3×4n﹣1 ．
（3）解答题：求等比数列1，5，52，53，…前2024项的和．
【分析】（1）根据题意和等比数列的定义，可以判断哪个选项中的数列是等比数列；
（2）根据题意，可以写出所给数列第n项an的值；
（3）仿照题目的例子，可以求得前2024项的和．
【解答】解：（1）由题意可得，
，故选项A中的数列不是等比数列；
，故选项B中的数列不是等比数列；
，故选项C中的数列是等比数列；
，故选项D中的数列不是等比数列；
故答案为：C；
（2）∵数列a1，a2，a3，…，an是公比为4的等比数列，它的首项a1＝3，
∴它的第n项an＝a1•qn﹣1＝3×4n﹣1，
故答案为：3×4n﹣1；
（3）设S＝1+5+52+53+…+52023，
则5S＝5+52+53+…+52023，
5S﹣S＝52024﹣1，
4S＝52024﹣1，
S＝，
即前2024项的和是．
21．（9分）如图1，在正方形ABCD中，AE平分∠CAB，交BC于点E，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于点G，交AB的延长线于点F．
（1）求证：BE＝BF；
（2）如图2，连接BG、BD，求证：BG平分∠DBF；
（3）如图3，连接DG交AC于点M，求的值．
【分析】（1）由正方形性质得出∠ABC＝90°，AB＝BC，证出∠EAB＝∠FCB，由ASA证得△ABE≌△CBF，即可得出结论；
（2）由正方形性质与角平分线的定义得出∠CAG＝∠FAG＝22.5°，由ASA证得△AGC≌△AGF得出CG＝GF，由直角三角形的性质得出GB＝GC＝GF，求出∠DBG＝∠GBF，即可得出结论；
（3）连接BG，由正方形的性质得出DC＝AB，∠DCA＝∠ACB＝45°，∠DCB＝90°，推出AC＝DC，证出∠DCG＝∠ABG，由SAS证得△DCG≌△ABG得出∠CDG＝∠GAB＝22.5°，推出∠CDG＝∠CAG，证得△DCM∽△ACE，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠EAB+∠AEB＝90°，
∵AG⊥CF，
∴∠FCB+∠CEG＝90°，
∵∠AEB＝∠CEG，
∴∠EAB＝∠FCB，
在△ABE和△CBF中，，
∴△ABE≌△CBF（ASA），
∴BE＝BF；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠CAB＝45°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAG＝∠FAG＝22.5°，
在△AGC和△AGF中，，
∴△AGC≌△AGF（ASA），
∴CG＝GF，
∵∠CBF＝90°，
∴GB＝GC＝GF，
∴∠GBF＝∠GFB＝90°﹣∠FCB＝90°﹣∠GAF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠DBG＝180°﹣∠ABD﹣∠GBF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠DBG＝∠GBF，
∴BG平分∠DBF；
（3）解：连接BG，如图3所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝AB，∠DCA＝∠ACB＝45°，∠DCB＝90°，
∴AC＝DC，
∵∠DCG＝∠DCB+∠BCF＝∠DCB+∠GAF＝90°+22.5°＝112.5°，∠ABG＝180°﹣∠GBF＝180°﹣67.5°＝112.5°，
∴∠DCG＝∠ABG，
在△DCG和△ABG中，，
∴△DCG≌△ABG（SAS），
∴∠CDG＝∠GAB＝22.5°，
∴∠CDG＝∠CAG，
∵∠DCM＝∠ACE＝45°，
∴△DCM∽△ACE，
∴＝＝．
22．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2﹣4mx+4m+6（m＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）当m＝﹣6时，直接写出点A，C，D的坐标；
（2）如图1，直线DC交x轴于点E，若，
①求m的值．
②将直线CD向上平移n个单位得到直线L，直线L与抛物线只有一个公共点，求n的值．
（3）如图2，在（2）的条件下，若点Q为OC的中点，连接BQ，动点P在第一象限的抛物线上运动，过点P作x轴的垂线．垂足为H，交BQ于点M，交直线ED于点J，过点M作MN⊥DE，垂足为N．是否存在PM与MN和的最大值？若存在，求出PM与MN和的最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把m＝﹣6代入抛物线解析式得y＝﹣6x2+24x﹣18，然后问题可求解；
（2）过点D作DF⊥BE于点F，过点C作CG⊥DF于点G，由题意易得顶点D（2，6），C（0，4m+6），则有DG＝﹣4m，CG＝2，然后根据三角函数可求m的值，进而根据待定系数法求解直线DE的解析式，与二次函数联立得一元二次方程，当Δ＝0时，即可求解；
（3）由（2）可知二次函数的解析式为，则有B（5，0），，然后可得直线BQ的解析式为，设，则有，进而可得，则可得，最后根据二次函数的性质可进行求解．
【解答】解：（1）把m＝﹣6代入抛物线y＝mx2﹣4mx+4m+6得y＝﹣6x2+24x﹣18，
令y＝0时，则﹣6x2+24x﹣18＝0，
则x1＝1，x2＝3，
∵点A在点B的左侧，
∴A（1，0），
令x＝0时，则y＝﹣18，即C（0，﹣18），
当时，
则y＝﹣6×4+24×2﹣18＝﹣24+48﹣18＝6，
∴D（2，6），
∴综上，点A（1，0），C（0，﹣18），D（2，6）；
（2）①过点D作DF⊥BE于点F，过点C作CG⊥DF于点G，如图所示：
∴CG∥BE，
∴∠BED＝∠DCG，
∵，
∴，
由y＝mx2﹣4mx+4m+6＝m（x﹣2）2+6可知顶点D（2，6），
令x＝0时，则y＝4m+6，即C（0，4m+6），
∴DF＝6，FG＝4m+6，
∴DG＝DF﹣FG＝﹣4m，CG＝2，
∴，
解得：；
②由①得，
设直线DE的解析式为y＝kx+b，
则有：，
解得：，
∴直线DE的解析式为，
则直线CD向上平移n个单位得到直线L为，
当直线L与抛物线只有一个公 共点时，则，
整理得2x2﹣4x+3n＝0，
Δ＝（﹣4）2﹣24n＝0，
解得：；
（3）存在，理由如下：
由（2）可知：直线DE的解析式为，，，
∴，，
令y＝0时，则，
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴B（5，0），
∵点Q为OC的中点，
∴，
设直线BQ的解析式为y＝k1x+b1，
则有：，
解得：，
∴直线BQ的解析式为，
∵，JH⊥BE，
∴，即，
∴，
∴，
设，即0＜a＜5，则有，
∴，，
∴MN＝MJ•sin∠EJH＝a+1，
∴，
∵，且0＜a＜5，
综上所述，存在，当a＝3时，PM+MN有最大值，最大值即为．
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