2024重庆市一中高三下学期3月月考试题数学含解析

这是一份2024重庆市一中高三下学期3月月考试题数学含解析，共12页。试卷主要包含了作答时，务必将答案写在答题卡上，考试结束后，将答题卡交回，已知命题，命题，则命题是命题的等内容，欢迎下载使用。
数学试题卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．
2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，是的共轭复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，若，则（ ）
A．1B．C．D．
4．要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．某城市居民3月份人均网上购物的次数
B．某品牌新能源汽车最大续航里程
C．检测一批灯泡的使用寿命
D．调查一个班级学生每周的体育锻炼时间
5．已知命题，命题，则命题是命题的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
6．已知圆，直线与圆相离，点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，若四边形的面积最小值为，则（ ）
A．B．
C．或D．或
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
8．已知表示不超过的最大整数，例如，，，定义：若在上恒成立，则称为函数在上的“面积”．函数在上的“面积”之和与下面哪个数最接近？（注①：“面积不重复计算”；②）
A．7.3B．7.7C．8.7D．9.3
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知某地区十二月份的昼夜温差，，该地区某班级十二月份感冒的学生有10人，其中有6位男生，4位女生，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．从这10人中随机抽取2人，其中至少抽到一位女生的概率为
D．从这10人中随机抽取2人，其中女生人数的期望为
10．函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．为偶函数D．的图象关于对称
11．设数列满足（且），是数列的前项和，且，，数列的前项和为，且．则下列结论正确的有（ ）
A．B．数列的前2024项和为
C．当时，取得最小值D．当时，取得最小值
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．若的展开式中的的系数为，则实数______．
13．已知函数，若函数有两个不同零点，则极值点的个数为______．
14．已知在正三棱台中，，，侧棱长为4，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，则长度的最小值为______．
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
在中，角，，所对的边分别为，，，的面积为，且．
（1）求角的大小；
（2）若外接圆的半径为1，边上的高为，求的值．
16．（本小题满分15分）
已知直三棱柱的体积为8，二面角的大小为，且，．
（1）求点到平面的距离；
（2）若点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
17．（本小题满分15分）
已知椭圆与双曲线的离心率的平方和为．
（1）求的值；
（2）过点的直线与椭圆和双曲线分别交于点，，，，在轴上是否存在一点，直线，，，的斜率分别为，，，，使得为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（本小题满分17分）
一个质点在一条直线上“随机游走”，向左走一步和向右走一步的概率均为，试探讨下列问题：
（1）若质点进行了4次“随机游走”，在其中恰有2次向右游走的情况下，求第二次向左游走的概率；
（2）记为次游走中恰有2次向右游走的概率，令．记为不超过次游走的情况下，向右游走2次后停止游走（若向右游走一直不足2次，在游走到次时也停止游走），此时一共游走的次数，的数学期望为．请比较与的大小，并说明理由．
19．（本小题满分17分）
帕德近似（Pade apprximatin）是有理函数逼近的一种方法．已知函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…．又函数，其中．
（1）求实数，，的值；
（2）若函数的图象与轴交于，两点，，且恒成立，求实数的取值范围．
2024年重庆一中高2024届3月月考
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【解析】
1．由题意，可得，所以阴影部分所表示的集合为，故选A．
2．，，所以虚部为，故选B．
3．，由得，，故选A．
4．A，B选项中要调查的总体数量和工作量都较大，适合采用抽查；C选项的检测具有毁损性，适合抽查；D选项要调查的总体数量较小，工作量较小，适合采用普查，故选D．
5．已知，，，故选B．
6．，的最小值为，的最小值为，即圆心到直线的距离为，计算可得或，故选C．
7．易知，，设，，，则在中，，得，，故选A．
8．易知面积之和为：，故选C．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
【解析】
9．易知，A对：，，B对；对于C，，C错；对于D，服从超几何分布，其中，，，，故选ABD．
10．令，，可得，A错；，可得，B正确；，可得，C正确；令，可得，的图象关于对称，D错，故选BC．
11．易知为等差数列，设其公差为，则也为等差数列，则公差为，由，得，则，，A错；，则，故2024项和为，B对；，当时，，当时，，易知时，单增，且，，C对；当时，单增，且，，所以或时，，当时，且单增，D对，故选BCD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
【解析】
12．易知的通项公式为，的系数为，即．
13．令，则，由题意知．即；，令，则，即，有2个极值点．
14．延长正三棱台交于，则为正四面体，为的中心，则，且，，点轨迹是以为圆心，为半往的圆，的最小值为．
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1），
即，
，．
（2）由外接圆的半径为1，得，，
边上的高为，
，，
，，
故．
16．（本小题满分15分）
解：（1）取中点为，连接和，
，，
又平而，，则，
，
令，则，
即①，
，平方得，
叫②，
，
，.
连接交于点，由四边形是矩形，得点为的中点，
则点和点到平面的距离相等．
作于点，
，，又，平面，
平而，又平而，．
平面，平面，，平面，
在中，，则，即点到平面的距离为．
所以，点到平面的距离为．
（2），平面，平面，平面，
，则点到平面的距离为，
设直线与平面所成角为．
则，
．
注明：本题建立空间直角坐标系求解同样给分
17．（本小题满分15分）
解：（1）由已知得，即，，．
（2）由（1）得椭圆与双曲线，
由已知得直线的斜率不为零，设直线的方程为，
，，，，，
则得，
，，，
.
得，
由得，，，．
．
当时，为定值．
故在轴上是存在一点，使得为定值0．
18．（本小题满分17分）
解：（1）设事件表示共有次向右游走，事件表示第二次向左游走，则表示一共向右游走2次，且第二次向左游走，则从剩余的三次选择两次向右游走，故，
表示一共向右游走2次，故，
则．
（2）根据题意可知，
．
若，最后一次必然向右游走，
故，
，记①．
②．
两式相减得，
，．
所以；
，
故．
19．（本小题满分17分）
解：（1），，
则，所以，，
，则，，
由题意知，，，
所以解得，，，
故，，．
（2）函数的定义域为，，
，时，：时，，
在上单调递增，在上单调递减．
函数的图像与种交于两点，，，
，即，
令，则，，
即在，，又，，，使，
即，，
当时，，当时，．
，，．
，，
，，
，，
令，则恒成立．
令，则，
，
令，
则在，，
在，则，
即，在，
当时．．
，故．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
A
D
B
C
A
C
题号
9
10
11
答案
ABD
BC
BCD
题号
12
13
14
答案
2