第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性（练习）-2024年高考数学一轮复习练习（新教材新高考）

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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知偶函数的图象关于点中心对称，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】偶函数的图象关于点中心对称，
则，且，故，
，故函数为周期为的函数，
.
故选：C
2．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，，则，
同理，当时，，则，
且，可知函数为奇函数；
当时，，则，
令，则，
所以在单调递增，即，即，
所以在单调递增，且为奇函数，所以在上单调递增.
则，
即，即，
可得，且，所以，解得，
所以解集为.
故选:A
3．（2023·河南·模拟预测）已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则（ ）
A．0B．C．1D．
【答案】A
【解析】因为是定义在R上的奇函数，且满足，
所以，，
则，即，
则，
即是以为周期的周期函数，又，当时，，
所以.
故选：A
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知是定义在上的函数，且为奇函数，为偶函数，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由为奇函数，得，即，
又由为偶函数，得，即，
于是，即，因此的周期为8，
又当时，，则在上单调递增，
由，得的图象关于点成中心对称，则函数在上单调递增，
因此函数在上单调递增，由，得的图象关于直线对称，
，，，
，显然，即有，即，
所以a，b，c的大小关系为.
故选：D
5．（2023·辽宁丹东·统考二模）设函数由关系式确定，函数，则（ ）
A．为增函数B．为奇函数
C．值域为D．函数没有正零点
【答案】D
【解析】由题意，
在函数中，，
可知画以下曲线：
，，．
这些曲线合并组成图象，是两段以为渐近线的双曲线和一段圆弧构成．
因为作图象在轴右侧部分包括点关于x轴对称，
得到曲线，再作关于坐标原点对称，去掉点得到曲线，与合并组成图象．
由图象可知，不是奇函数，不是增函数，值域为R．
当时，图象与图象没有公共点，从而函数没有正零点．
故选：D.
6．（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知函数都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，则（ ）
A．-4052B．-4050C．-1012D．-1010
【答案】A
【解析】因为是偶函数，所以,由知，，所以，则f（x）为偶函数.
由是奇函数可知，，所以，则，则，
所以，所以，则，所以，则4为f（x）的一个周期.
由得，，则，所以，
由得，，即，所以,
由，得，又1，所以；
在中，令，得，所以.
.
故选：A.
7．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数，都是定义在R上的函数，是奇函数，是偶函数，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为是偶函数，所以．由知，，
所以，则为偶函数．由是奇函数可知，，
所以，则，则，
所以，所以，则，
所以，则4为的一个周期．
由得，，则，
所以，由得，，即，
所以．由，得，又1，
所以；在中，令，得，
所以．
.
故选：A．
8．（2023·江西九江·统考三模）已知定义在R上的函数在上单调递增，是奇函数，的图像关于直线对称，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
【答案】C
【解析】是奇函数，
，即的图象关于点对称，
又在上单调递增，
在上单调递增，即在上单调递增.
由，可得，
由图像关于直线对称可知为偶函数，
∴在上单调递减，
，
，
是周期函数，最小正周期为4，
∵，，
∴在上的单调性和在上的单调性相同，
在上单调递减.
故选：C.
9．（多选题）（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知非常数函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，为偶函数，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】因为非常数函数及其导函数的定义域均为R，
若为奇函数，则，则函数关于点成中心对称，且，故选项A错误；
因为，令，则，故选项B正确；
因为，即两边同时求导，则有，所以函数关于直线对称，
因为函数为偶函数，所以，即，
两边同时求导，则有，所以关于成中心对称，
则导函数的周期为，所以，故选项C正确；
因为函数关于直线对称，且，所以，故选项D正确，
故选：BCD.
10．（多选题）（2023·辽宁抚顺·校联考二模）已知函数，且满足，则实数的取值可能为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】AD
【解析】令，则，因为，
所以为奇函数.又因为，所以根据单调性的性质可得为增函数.
因为，所以，等价于，即，
所以，即，解得或，
所以实数的取值范围为.
故选：AD
11．（多选题）（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．在上最大值为2
B．有两个零点
C．的图像关于点对称
D．存在实数，使的图像关于原点对称
【答案】AC
【解析】对于，，
在上单调递增，
，故正确；
对于的零点个数即方程的实根个数，
即方程的实根个数，即与图像的交点个数.
在同一坐标系中画出与图像如图所示：
两个函数图像只有一个交点，故B错误；
对于，若的图像关于点对称，
则有对任意恒成立.
恒成立，
的图像关于点对称，故正确；
对于，若存在实数使的图像关于原点对称，则为奇函数.
令对任意恒成立，
即恒成立，
即对任意恒成立，
则，上述方程组无解，故错误.
故选：AC.
12．（多选题）（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数的定义域为，且的图象关于直线对称，，又，则（ ）
A．为偶函数B．的图象关于点中心对称
C．是奇函数D．
【答案】AD
【解析】由的图象关于直线对称，
可得，即，
令，则，即，故为偶函数，A正确；
又因为，令等价于，
则①，令等价于，②，
②减①可得：，故的周期为4，
又，所以③，
令等价于，则④，因为为偶函数，
③减④可得：，故是偶函数，故C不正确；
令中，可得，
解得：，故B不正确；
令中，可得，
因为，则，
令中，可得，
因为，则，由，
因为的周期为4，且，
则，
，故D正确.
故选：AD.
13．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为_________．
【答案】
【解析】令，
因为，所以函数为奇函数，
由函数都是增函数，可得为增函数，
，
则不等式，
即为，即，
即，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
14．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知定义在上的函数满足，为奇函数，则_________．
【答案】
【解析】为定义域为的奇函数，，解得：；
由得：，
是周期为的周期函数，.
故答案为：.
15．（2023·河南·校联考模拟预测）定义在上的函数满足，则______．
【答案】1012
【解析】由，
则，
所以，即，
所以是以4为周期的周期函数．
令，得，所以，
令，则，所以，
所以．
故答案为：1012．
16．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】因为，定义域为，
由，可知函数为偶函数，
函数图象关于轴对称，又由，
令，由可知函数为奇函数，
又由，（当且仅当时取等号），
可得函数单调递增，且当时，
由一次函数在区间单调递增且函数值恒为正，可知函数在区间单调递增，
又由函数为偶函数，可得函数的增区间为，减区间为，
不等式可化为，
必有，平方后整理为，解得或，
即实数的取值范围为.
故答案为：
17．（2023·全国·高三专题练习）已知的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性．
【解析】由，将代入，得，
由的周期为4，得，
所以，故为偶函数．
18．（2023·全国·高三专题练习）利用定义证明函数在区间上为减函数.
【解析】任取且，
则，
因为且，可得，
所以，即，即，
所以函数是上的减函数.
19．（2023·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性.
(1)，
(2)
【解析】（1）先看函数的定义域，要满足
所以x的取值范围为：.
可以发现，定义域是关于原点对称的，接着用定义判断奇偶性，
因为，所以原函数为偶函数.
（2）对于函数，先看函数定义域，
因为，所以的定义域为，显然关于原点对称，
设函数，则有，所以，
所以原函数为偶函数.
20．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）求下列情况下的值
(1)若函数是偶函数, 求的值．
(2)已知 是奇函数, 且当时,,若, 求的值．
【解析】（1）因为 ,
故 ,
因为为偶函数,
故,
所以,
整理得到,
故;
（2）因为是奇函数,
且当时,
,
因为,
,
所以,
化简可得,
解得: .
21．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，，都有，且．
(1)求f；
(2)证明是周期函数；
(3)记，求．
【解析】（1）因为对任意的，都有，
所以，
又，
，，
∴.
（2）设关于直线对称，故，
即，又是偶函数，
所以，
∴，将上式中以代换，
得，
则是R上的周期函数，且2是它的一个周期．
（3）由（1）知，
∵
，
又，∴.
∵的一个周期是2，
∴，因此．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．
(1)证明：；
(2)求的解析式；
(3)求在[4，9]上的解析式．
【解析】（1）证明：∵f (x)是以为周期的周期函数，∴，
又∵是奇函数，∴，∴
（2）当时，由题意可设，
由，得，∴，
∴.
（3）根据（2）中所求，可知；又在上是奇函数，故，
故当时，设，则，解得.
故当时，.
又在上是奇函数，故当时，.
综上，则时，.
因为时，.
所以当时，，所以；
当时，，所以，
综上所述，.
1．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D.
2．（2021·全国·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
3．（2021·全国·统考高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
4．（2021·全国·统考高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
5．（2020·山东·统考高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数
【答案】C
【解析】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，
等价于对于任意两个不相等的实数，总有.
所以函数一定是增函数.
故选：C
6．（2020·海南·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
7．（2020·全国·统考高考真题）设函数,则（ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【解析】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，
所以函数为奇函数．
又因为函数在上单调递增，在上单调递增，
而在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递增．
故选：A．
8．（2020·全国·统考高考真题）设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
9．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
10．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则_____，______．
【答案】 ； ．
【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
11．（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时，；③是奇函数．
【答案】（答案不唯一，均满足）
【解析】取，则，满足①，
，时有，满足②，
的定义域为，
又，故是奇函数，满足③.
故答案为：（答案不唯一，均满足）
12．（2021·全国·统考高考真题）已知函数是偶函数，则______.
【答案】1
【解析】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1