重难点突破04 三次函数的图象和性质 （七大题型）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
重难点突破04 三次函数的图象和性质
目录
1、基本性质
设三次函数为：(、、、且)，其基本性质有：
性质1： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①定义域为． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③单调性和图像：
性质2：三次方程的实根个数
由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数
其导函数为二次函数:，
判别式为：△=，设的两根为、，结合函数草图易得：
(1) 若，则恰有一个实根；
(2) 若,且，则恰有一个实根；
(3) 若,且，则有两个不相等的实根；
(4) 若,且，则有三个不相等的实根.
说明:(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）;
(5)有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且;
(6)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且.
性质3：对称性
（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；；
（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2、常用技巧
（1）其导函数为 对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，图象的对称中心在导函数的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；
（2）是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线
对称.
（3）若图象关于直线对称，则图象关于点对称.
（4）已知三次函数的对称中心横坐标为，若存在两个极值点，，则有.
题型一：三次函数的零点问题
例1．（2023·全国·高三专题练习）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，则，
若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，
令，解得或，
且当时，，
当，，
故的极大值为，极小值为，
若要存在3个零点，则，即，解得，
故选：B.
例2．（2023·江苏扬州·高三校考阶段练习）设为实数，函数．
（1）求的极值；
（2）是否存在实数，使得方程恰好有两个实数根?若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1），令，得或．
∵当时，；当时，；当时，．
所以在上递减，在上递增，在上递减，
的极小值为，极大值为．
（2）由（1）知，在上递减，在上递增，在上递减，
而，即函数的极大值大于极小值．
∴当极大值等于0时，极小值小于0，此时曲线与轴恰好有两个交点，即方程恰好有两个实数根，如图1所示．，即．

当极小值等于0时，极大值大于0，此时曲线与轴恰有两个交点，即方程恰好有两个实数根，如图2所示．，即．
综上所述，当或时，方程恰好有两个实数根．
例3．（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数，且在和处取得极值.
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，若有且仅有一个零点，求实数的取值范围.
【解析】（1），
因为在和处取得极值，
所以和是方程＝0的两个根，
则，解得，经检验符合已知条件，
所以；
（2）由题意知，
当或时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
又取足够大的正数时，，取足够小的负数时，，
因此，为使曲线与轴有一个交点，结合的单调性，
得：或，
∴或，
即当或时，使得曲线与轴有一个交点.
变式1．（2023·天津河西·高三天津实验中学校考阶段练习）已知，.
（1）当，求的极值；
（2）当，，设，求不等式的解集；
（3）当时，若函数恰有两个零点，求的值.
【解析】（1），∴，，.
∴在时，取极大值.
在时，取极小值-4.
（2），即，
设，，单调增函数，且，
∴不等式的解集为.
（3），，
. ，单调递增，单调递减，单调递增，
而，所以至多一个零点，（舍去）.
. ，单调增，所以至多一个零点，（舍去）.
. ，单调递增，单调递减，单调递增，
而，，∴在上有一个零点，
所以在上有一个零点，根据在单调递增，单调递减.
∴.
变式2．（2023·河北保定·高三统考阶段练习）已知函数.
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若在上有解，求的取值范围；
（3）设是函数的导函数，是函数的导函数，若函数的零点为，则点恰好就是该函数的对称中心.试求的值.
【解析】（1）因为
所以所求切线的斜率
又因为切点为
所以所求的切线方程为
（2）因为，所以
因为在上有解，
所以不小于在区间上的最小值.
因为时，，
所以的取值范围是.
（3）因为，所以.
令可得，
所以函数的对称中心为，
即如果，则，
所以.
变式3．（2023·山西太原·高三太原市外国语学校校考阶段练习）已知三次函数过点，且函数在点处的切线恰好是直线.
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.
【解析】（1），
由题意可知：；
（2）令，
设，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，
因为函数在区间上有两个零点，
所以直线与函数的图象有两个交点，
故有，即实数的取值范围为.
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)若函数在上单调递增，求的最小值；
(2)若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．
【解析】（1），，
因函数在上单调递增，
所以在恒成立，即，
的最小值为．
（2），
，．
①若，则，在上恒成立，
在上单调递增．，，
当时，函数的图象与轴有且只有一个交点．
②若，则，
有两个不相等的实数根，不妨设为，，．
，．
当变化时，，的取值情况如下表：
， ，
，
同理，
．
因为有且只有一个零点，故，解得．
故当时，函数的图象与轴有且只有一个交点．
综上所述，的取值范围是．
题型二：三次函数的最值、极值问题
例4．（2023·云南·高三统考期末）已知函数，.
（1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；
（2）设.若，在上的最小值为，求的零点.
【解析】（1）∵在上存在单调递增区间，∴在上有解，
又是对称轴为的二次函数，所以在上的最大值大于0，
而的最大值为，∴，
解得：.
（2），
∴，
由得：，，
则在，上单调递减，在上单调递增，
又∵当时，，，
∴在上的最大值点为，最小值为或，
而，
当，即时，，得，
此时，的零点为；
当，即时，，得（舍）.
综上的零点为.
例5．（2023·高三课时练习）已知函数，.
（1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；
（2）设.若，在上的最小值为，求在上取得最大值时，对应的值.
【解析】（1）∵在上存在单调递增区间，
∴在上有解，
即在上成立，
而的最大值为，
∴，
解得：.
（2），
∴，
由得：，，
则在，上单调递减，在上单调递增，
又∵当时，，，
∴在上的最大值点为，最小值为或，
而，
当，即时，，得，
此时，最大值点；
当，即时，，得（舍）.
综上在上的最大值点为.
例6．（2023·江苏常州·高三常州市北郊高级中学校考期中）已知函数f(x)=，其中a>0.
(1)当a=1时，求f(x)的单调增区间；
(2)若曲线y=f(x)在点处的切线与y轴的交点为（0，b），求b+的最小值.
【解析】(1)当a=1时，，
令，得或，
故的增区间为，.
(2)，则，而，
故曲线在的切线方程为：
，
它与轴的交点为，故，
故，其中，
设，则，
当时，；时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故即的最小值为.
变式5．（2023·广东珠海·高三校联考期中）已知函数（a，），其图象在点处的切线方程为．
(1)求a，b的值；
(2)求函数的单调区间和极值；
(3)求函数在区间上的最大值．
【解析】（1），，，
又图象在点处的切线方程为，
所以，解得；
（2）由（1）得，，
或时，，时，，
所以的增区间是和，减区间是，
极大值是，极小值是；
（3）由（2）知在和上递增，在上单调递减，
又，，
所以在上的最大值是，最小值是．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，且．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最大值．
【解析】（1）由得，
，解得
，
曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）由（1），令得或，令得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
又，
函数在区间上的最大值为
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上是增函数，在上是减函数，且的一个根为
（1）求的值；
（2）求证：还有不同于的实根、，且、、成等差数列；
（3）若函数的极大值小于，求的取值范围
【解析】（1），
由题意，可知是极大值点，故.
（2）令，得或,
由的单调性知，
是方程的一个根，
则，
，
方程的根的判别式，
，
又，（）
即不是方程的根
有不同于的根、，
， 、、成等差数列.
（3）根据函数的单调性可知是极大值点,
，于是,
令，
求导，
时，，
在上单调递减，
，
即.
变式8．（2023·浙江宁波·高三效实中学校考期中）已知函数(其中).
（1）求函数的单调区间；
（2）若有两个不同的极值点，，求的取值范围.
【解析】（1）,
①当即时，，在上单调递增；
②当时，，，
在，上单调递增，在上单调递减.
(2)，为()的两根，
，
设()
，
当时，
在上单调递减
，即.
题型三：三次函数的单调性问题
例7．（2023·陕西商洛·高三校考阶段练习）已知三次函数在R上是增函数，则m的取值范围是( )
A．m4B．－4