重难点突破06 双变量问题（六大题型）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
重难点突破06 双变量问题
目录
破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
题型一：双变量单调问题
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，证明：对任意，，．
例2．（2023·安徽·校联考三模）设，函数.
（Ⅰ）讨论函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线与直线平行，且对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围.
例3．（2023·福建漳州·高二福建省漳州第一中学校考期末）已知函数
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若时，任意的，总有，求实数
的取值范围.
变式1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，，且．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
变式2．（2023·天津南开·高三南开大学附属中学校考开学考试）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明；
(3)若对任意的不等正数，总有，求实数的取值范围．
题型二：双变量不等式:转化为单变量问题
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）已知，若存在两个极值点，且，求的取值范围.
例5．（2023·新疆·高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习）已知函数
(1)若，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
(2)当时，讨论f（x）的单调性；
(3)设f（x）存在两个极值点且，若求证：.
例6．（2023·山东东营·高二东营市第一中学校考开学考试）已知函数（为常数）
(1)讨论的单调性
(2)若函数存在两个极值点，且，求的范围.
变式3．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数，其中．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若存在两个极值点的取值范围为，求的取值范围．
变式4．（2023·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数存在两个极值点，记,求的取值范围.
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，，且，求的取值范围．
变式6．（2023·吉林长春·高二长春市实验中学校考期中）设函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，
①求a的取值范围；
②证明：．
题型三：双变量不等式:极值和差商积问题
例7．（2023·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知，函数.
(1)当时，求的单调区间和极值；
(2)若有两个不同的极值点，.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：（……为自然对数的底数）.
例8．（2023·内蒙古·高三霍林郭勒市第一中学统考阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个极值点，证明：．
例9．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若存在两个极值点、，求实数的取值范围，并证明：．
变式7．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）已知函数，.
(1)当时，讨论方程解的个数；
(2)当时，有两个极值点，，且，若，证明：
（i）；
（ii）.
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
（1）讨论函数的单调区间；
（2）设，是函数的两个极值点，证明：恒成立．
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若有两个极值点，求证：.
题型四：双变量不等式:中点型
例10．（2023·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数．
（1）已知为的极值点，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，若对于任意，都存在，使得，证明：．
例11．（2023·湖北武汉·统考一模）已知函数 .
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设，证明：当时， ；
（Ⅲ）设是的两个零点，证明 .
例12．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知函数且.
（1）讨论函数的单调性;
（2）当时，若函数的图象与轴交于，两点，设线段中点的横坐标为，证明:.
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段中点的横坐标为，证明：.
变式11．（2023·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数图象上不重合的两点.证明：.（是直线的斜率）
变式12．（2023·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）已知函数（）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，若函数的两个极值点，（）恰为函数的两个零点，且的取值范围是，求实数的取值范围．
题型五：双变量不等式:剪刀模型
例13．（2023·天津和平·耀华中学校考模拟预测）已知函数在点(，)处的切线方程为．
(1)求a、b；
(2)设曲线y＝f(x)与x轴负半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝h(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)≥h(x)；
(3)若关于的方程有两个实数根、，且，证明：．
例14．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知函数在点处的切线方程为．
（1）求，；
（2）函数图像与轴负半轴的交点为，且在点处的切线方程为，函数，，求的最小值；
（3）关于的方程有两个实数根，，且，证明：．
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，是的极值点．
(1)求的值；
(2)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线．求证：曲线上的点都不在直线的上方；
(3)若关于的方程有两个不等实根，，求证：．
变式13．（2023·安徽·校联考二模）已知函数，其中是自然对数的底数.
(1)设曲线与轴正半轴相交于点，曲线在点处的切线为，求证：曲线上的点都不在直线的上方；
(2)若关于的方程（为正实数）有两个不等实根，求证：.
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，在点处的切线方程记为，令．
(1)设函数的图象与轴正半轴相交于，在点处的切线为，证明：曲线上的点都不在直线的上方；
(2)关于的方程为正实数）有两个实根，，求证：．
题型六：双变量不等式:主元法
例16．（2023·江苏盐城·高三盐城中学校联考开学考试）已知函数．
(1)求函数的单调区间和最小值；
(2)当时，求证：（其中为自然对数的底数）；
(3)若，求证：．
例17．（2023·河南信阳·高二校联考阶段练习）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的最小值，并证明：当时，．（其中e为自然对数的底数）
例18．（2023·山西晋中·高二校考阶段练习）已知函数（其中为自然对数的底数）．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若，求证：，．
变式15．（2023·广东广州·高三广州大学附属中学校考阶段练习）已知函数（其中且为常数，为自然对数的底数，．
(1)若函数的极值点只有一个，求实数的取值范围；
(2)当时，若（其中恒成立，求的最小值的最大值．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）设函数.
(1)求的极值；
(2)设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若，证明：.
变式17．（2023·广东珠海·高一珠海市第二中学校考期中）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)设函数，若存在，使得，求实数的取值范围；
(3)若对任意的，关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.