第04讲+数列的通项公式（练习）-2024年高考数学一轮复习练习（新教材新高考）

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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第04讲 数列的通项公式
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正项数列的前n项和为，满足，则（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【答案】B
【解析】由题意，，，
两式相减，得，
．
，．
当时，，，
是首项为1，公差为1的等差数列．
．
故选：B
2．（2023·北京朝阳·二模）已知数列的前n项和是，则（ ）
A．9B．16C．31D．33
【答案】B
【解析】设数列的前n项和为，则，
则.
故选:B.
3．（2023·四川内江·校考模拟预测）已知数列1，，，，3，，…，，…，则7是这个数列的（ ）
A．第21项B．第23项C．第25项D．第27项
【答案】C
【解析】因为数列的第项为，而，
所以7是题中数列的第25项．
故选：C
4．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知数列的前n项和为，若，，（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得，
所以，所以，
因为，
所以是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以，
所以．
故选：D
5．（2023·山西·校联考模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层球的个数构成一个数列，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由相邻层球的个数差，可知，，
所以当时，，
将代入得，符合
所以，
对于A项，当时，，故A项错误；
对于B项，当时，，故B项错误；
对于C项，因为，
所以，
，
所以，故C项错误；
对于D项，，故D项正确.
故选：D.
6．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知数列的前项和为，若满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，，，得，
当时，，，，
，又，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，.
故选：C
7．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是各项均为正数的数列的前项和，，，若对恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．16C．D．32
【答案】D
【解析】，
数列是首项为、公比为2的等比数列，
，解得或（舍），
，即恒成立，
，当且仅当即时取等号，.
故选：.
8．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）在数列中，，则的前项和的最大值为（ ）
A．64B．53C．42D．25
【答案】B
【解析】由,得,
令,所以,则,
所以数列是以为首项,2为公比的等比数列,
所以,即,即,
由,
将以上个等式两边相加得,
所以,
经检验满足上式，故
当时,,即单调递增,当时,,即单调递减,
因为,
所以的前项和的最大值为，
故选：B
9．（多选题）（2023·广东韶关·校考模拟预测）已知数列的通项公式为，则下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】对于A，6是偶数，则，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，，
，D错误.
故选：BC.
10．（多选题）（2023·辽宁大连·统考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】由题意得，
，
以上n个式子累加可得
，
又满足上式，所以，故A错误；
则，
得，故B正确；
有，故C正确；
由，
得，
故D正确.
故选：BCD.
11．（多选题）（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的前n项和为
B．数列的通项公式为
C．数列不是递增数列
D．数列为递增数列
【答案】CD
【解析】，则，即，
故是首项为，公差为的等差数列，故，即，
，.
对选项A：，错误；
对选项B：，错误；
对选项C：，，故数列不是递增数列，正确；
对选项D：，故数列为递增数列，正确；
故选：CD.
12．（多选题）（2023·全国·模拟预测）设是数列的前项和．下面几个条件中，能推出是等差数列的为（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】ABD
【解析】对于A，当时，且，
两式相减可得，即．
所以是恒为0的数列，即是公差为0的等差数列，故A正确；
对于B，当时，且，
两式相减可得，即，
所以，即是常数列，是公差为0的等差数列，故B正确；
对于C，如果，令可得，
当时，且，
两式相减可得，
如果，则，这并不能推出是等差数列，
例如：考虑如下定义的数列：1，1，2，2，3，3，，则其通项公式可写成，．
则，
．
即数列1，1，2，2，3，3，满足对任意正整数成立，但它并不是等差数列，故C错误；
对于D，当时，且，
两式相减可得，
所以，即，
故，即是公差为的等差数列，故D正确；
故选：ABD．
13．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）数列的前n项和为，且，则“”是“”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一种）
【答案】充分不必要
【解析】当时，，
当时，，
当时，，
因为满足上式，
所以，
所以，，
所以成立，
由可得，
，
，
所以此时满足，但不一定，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要
14．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列满足，，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【解析】，两边同除得：
，
所以，即，
化简得，∵，∴．
故答案为：.
15．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）数列满足，则数列的通项公式为 .
【答案】
【解析】由题意 …①， ， …②，
②①得： ，
则当时，，
当，不适合上式.
；
故答案为： .
16．（2023·重庆·统考模拟预测）已知数列的前n项和满足，则 ．
【答案】
【解析】数列的前n项和满足，即，
当时，，即有，
当时，，即，因此数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
故答案为：
17．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）若数列的前项的和为，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值.
【解析】（1）因为，且，，
所以，解得，所以，
当时，所以，
即，
当时也成立，所以；
（2）由（1）可得，
所以
.
18．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）数列中，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明.
【解析】（1）因为，即，
所以当时，，
将以上各式相加，得，则，
当时也符合上式，故.
（2）由题意.
所以
19．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若，求数列的前项和.
【解析】（1）因为，
当时，，
当时，，
所以，
即，
又因为，满足上式，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
则.
（2）因为，
所以.
20．（2023·广东佛山·校考模拟预测）如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.
(1)请写出一个速增数列的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；
(2)若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数的最大值.
【解析】（1）取，
则，，
因为，所以，
所以数列是“递增数列”.
（2）当时，
，
因为数列为“速增数列”，
所以，且，
所以，
即 ，
当时，，
当 时，，
故正整数的最大值为63 .
21．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知数列的前项和为，且满足，数列是首项为1，公差为2的等差数列．
(1)分别求出数列的通项公式；
(2)设数列，求出数列的前项和．
【解析】（1）当时，，得，
当时，，所以，
所以，即，因为，
所以，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以.
因为数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，则，
（2）由（1）知，，，
所以，
所以，
，
所以，
所以，
化简得.
22．（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知数列的前n项和为.
(1)若，，证明：；
(2)在（1）的条件下，若，数列的前n项和为，求证
【解析】（1）因为，，
所以，，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，
，
当时，，，
当时，满足上式，
所以，所以成立.
（2）由（1）知，
，
所以，
则，
所以，
所以成立.
1．（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
【解析】
（1）设等差数列的公差为，
，为的前项和，，，
则，即，解得，
故；
（2）证明：由（1）可知，，
，
当为偶数时，，
，
，
当为奇数时，，，
，
故原式得证．
2．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和．
（1）若，，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求．
【解析】
（1），，
根据题意可得，
，
，又，
解得，，
，；
（2）为等差数列，为等差数列，且，
根据等差数列的通项公式的特点，可设，则，且；
或设，则，且，
①当，，时，
则，
，，又，
解得；
②当，，时，
则，
，，又，
此时无解，
综合可得．
3．（2023•全国）已知为等比数列，其前项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和．
【解析】（1）为等比数列，其前项和为，，．
，，
则，两式作商得，即，
得，，
则，．
（2），
当时，，
即是公比为的等比数列，首项，
则．
4．（2022•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【解析】（1）已知，是公差为的等差数列，
所以，整理得，①，
故当时，，②，
①②得：，
故，
化简得：，，，，；
所以，
故（首项符合通项）．
所以．
证明：（2）由于，
所以，
所以．
5．（2022•天津）设是等差数列，是等比数列，且．
（1）求与的通项公式；
（2）设的前项和为，求证：；
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
，
，，
解得，
，．
（2）证明：，
要证明，
即证明，
即证明，
即证明，
由数列的通项公式和前项和的关系得：，
．
6．（2021•乙卷）设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前项和．证明：．
【解析】（1），，成等差数列，，
是首项为1的等比数列，设其公比为，
则，，
，
．
（2）证明：由（1）知，，
，
，①
，②
①②得，，
，
，
．
7．（2021•新高考Ⅱ）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求使成立的的最小值．
【解析】
（Ⅰ）数列是公差不为0的等差数列的前项和，若，．
根据等差数列的性质，，故，
根据可得，
整理得，可得不合题意），
故．
（Ⅱ），，
，
，即，
整理可得，
当或时，成立，
由于为正整数，
故的最小正值为7．
8．（2021•新高考Ⅰ）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和．
【解析】（1）因为，，
所以，，，
所以，，
，，
所以数列是以为首项，以3为公差的等差数列，
所以．
另由题意可得，，
其中，，
于是，．
（2）由（1）可得，，
则，，
当时，也适合上式，
所以，，
所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，
则的前20项和为．
9．（2021•乙卷）记为数列的前项和，为数列的前项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求的通项公式．
【解析】（1）证明：当时，，
由，解得，
当时，，代入，
消去，可得，所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列．
（2）由题意，得，
由（1），可得，
由，可得，
当时，，显然不满足该式，
所以．
10．（2021•浙江）已知数列的前项和为，，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，记的前项和为，若对任意恒成立，
求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由 可得，
两式作差，可得：，
，
很明显，，
所以数列 是以为首项，为公比的等比数列，
其通项公式为：．
（Ⅱ）由，得，
，
，
两式作差可得：
，
则．
据此可得 恒成立，即 恒成立．
时不等式成立；
时，，由于时，故；
时，，而，故：；
综上可得，．
11．（2020•海南）已知公比大于1的等比数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）求．
【解析】（1）设等比数列的公比为，
则，
，，
．
（2）令，则，
所以，
所以数列是等比数列，公比为，首项为8，
，
．