第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（六大题型）（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲义（新教材新高考）

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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第02讲空间点、直线、平面之间的位置关系
目录
知识点一．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据
推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据
（2）此推论是判定若干平面重合的依据
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据
（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
知识点二．直线与直线的位置关系
知识点三．直线与平面的位置关系：有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
知识点四．平面与平面的位置关系：有平行、相交两种情况．
知识点五．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”
例1．（2023·山西大同·高一校考期中）如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：

(1)，，，四点共面；
(2)与的交点在直线上．
例2．（2023·陕西西安·高一校考期中）（1）已知直线，直线与，都相交，求证：过，，有且只有一个平面；
（2）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且.求证：直线，，相交于一点.

例3．（2023·河南信阳·高一校联考期中）如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.

(1)证明：四点共面；
(2)设，证明：A，O，D三点共线.
变式1．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且.求证：
(1)E､F､G､H四点共面；
(2)EG与HF的交点在直线AC上.
变式2．（2023·云南楚雄·高一统考期中）如图，在正四棱台中，E，F，G，H分别为棱，，AB，BC的中点．

(1)证明E，F，G，H四点共面；
(2)证明GE，FH，相交于一点．
变式3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点．
(1)求证：三线交于点P；
(2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线．
【解题方法总结】
共面、共线、共点问题的证明
（1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内．
（2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
（3）证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
题型二：截面问题
例4．（2023·全国·高三对口高考）如图，正方体的棱长为，动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设，则当时，函数的值域为（ ）

A．B．C．D．
例5．（2023·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为线段上的动点（不含端点），

①异面直线与AF所成角可以为
②当G为中点时，存在点E，F使直线与平面AEF平行
③当E，F为中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为
④存在点G，使点C与点G到平面AEF的距离相等
则上述结论正确的是（ ）
A．①③B．②④C．②③D．①④
例6．（2023·河南·模拟预测）在正方体中，M，N分别为AD，的中点，过M，N，三点的平面截正方体所得的截面形状为（ ）
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
变式4．（2023·河南·模拟预测）在正方体中，分别为，的中点，则下列结论正确的个数为（ ）
①平面 ；②；③直线与所成角的余弦值为
④过三点的平面截正方体所得的截面为梯形
A．1B．2C．3D．4
变式5．（2023·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，对于如下命题：①异面直线与所成角的余弦值为；②点P为正方形内一点，当平面时，DP的最小值为；③过点，E，F的平面截正方体所得的截面周长为；④当三棱锥的所有顶点都在球O的表面上时，球O的体积为．则正确的命题个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式6．（2023·河南新乡·统考三模）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过三点的截面把正方体分成两部分，则这两部分中大的体积与小的体积的比值为（ ）
A．B．C．D．
变式7．（2023·新疆·校联考二模）已知在直三棱柱中，E，F分别为，的中点，，，，，如图所示，若过A、E、F三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
变式8．（2023·新疆阿克苏·校考一模）已知，，是正方体的棱，，的中点，则平面截正方体所得的截面是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
变式9．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期中）在棱长为3的正方体中，点Р是侧面上的点，且点Р到棱与到棱AD的距离均为1，用过点Р且与垂直的平面去截该正方体，则截面在正方体底面ABCD的投影多边形的面积是（ ）
A．B．5C．D．8
【解题方法总结】
（1）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．
（2）作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
题型三：异面直线的判定
例7．（2023·全国·高三对口高考）两条直线分别和异面直线都相交，则直线的位置关系是（ ）
A．一定是异面直线B．一定是相交直线
C．可能是平行直线D．可能是异面直线，也可能是相交直线
例8．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列命题中假命题为（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．直线始终与直线异面
D．直线始终与直线异面
例9．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）在底面半径为1的圆柱中，过旋转轴作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB=2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则（ ）
A．AE=CF，AC与EF是共面直线
B．，AC与EF是共面直线
C．AE=CF，AC与EF是异面直线
D．，AC与EF是异面直线
变式10．（2023·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知正方体中，，，分别是棱，，的中点，是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ）
A．B．C．D．
变式11．（2023·上海·高三校联考阶段练习）如图所示，正三棱柱的所有棱长均为1，点P、M、N分别为棱、AB、的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（ ）
A．直线与直线CP可能相交B．直线与直线CP始终异面
C．直线与直线CP可能垂直D．直线与直线BP不可能垂直
变式12．（2023·吉林长春·高三长春市第六中学校考期末）如图，在底面为正方形的棱台中，、、、分别为棱，，，的中点，对空间任意两点、，若线段与线段、都不相交，则称点与点可视，下列选项中与点可视的为（ ）
A．B．C．D．
【解题方法总结】
判定空间两条直线是异面直线的方法如下：
（1）直接法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过B点的直线是异面直线．
（2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面．
题型四：异面直线所成的角
例10．（2023·全国·高三专题练习）如图,在正方体中,点E,F分别是棱AD,的中点,则异面直线与BF所成角的大小为 ．
例11．（2023·高三课时练习）已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的大小为 ．
例12．（2023·新疆喀什·高三统考期中）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是 .
（1）直线与直线相交；
（2）直线与直线平行；
（3）直线与直线是异面直线；
（4）直线与直线成角.
变式13．（2023·全国·高三专题练习）如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一小块，八个顶点共截去八小块，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线与所成角的大小是
变式14．（2023·全国·高三对口高考）线段的两端分别在直二面角的两个面内，且与这两个面都成角，则直线与所成的角等于 ．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）如图，等腰梯形沿对角线翻折，得到空间四边形，若，则直线与所成角的大小可能为 .（写出一个值即可）
【解题方法总结】
（1）点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体（长方体、正方体）模型来判断，常借助正方体为模型．
（2）求异面直线所成的角的三个步骤
一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
题型五：平面的基本性质
例13．（多选题）（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）已知，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若A，B，C是平面内不共线三点，，，则
C．若且，则直线
D．若直线，直线，则a与b为异面直线
例14．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）有下列命题：
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
其中正确命题是（ ）
A．①B．②C．③D．④
例15．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题， 在空间中仍然成立的有（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线必平行
B．垂直于同一条直线的两条直线必平行
C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
变式16．（多选题）（2023·重庆沙坪坝·高三重庆市第七中学校校考阶段练习）下列命题中错误的是（ ）
A．空间三点可以确定一个平面
B．三角形一定是平面图形
C．若A，，，既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合
D．四条边都相等的四边形是平面图形
变式17．（多选题）（2023·全国·模拟预测）如图，点，，，分别是正方体中棱，，，的中点，则（ ）
A．B．
C．直线，是异面直线D．直线，是相交直线
变式18．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．线段上存在点E、F使得B．平面ABCD
C．的面积与的面积相等D．三棱锥A-BEF的体积为定值
题型六：等角定理
例16．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）在棱长均相等的四面体中，为棱不含端点上的动点，过点A的平面与平面平行若平面与平面，平面的交线分别为，，则，所成角的正弦值的最大值为 ．
例17．（2023·全国·高三专题练习）过正方体的顶点在空间作直线，使与平面和直线所成的角都等于，则这样的直线共有 条．
例18．（2023·高三课时练习）若空间两个角与的两边对应平行，当时，则 ．
变式19．（2023·全国·高三专题练习）设和的两边分别平行，若，则的大小为 .
变式20．（2023·全国·高三专题练习）空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是 .
变式21．（2023·江西吉安·高一校联考期末）已知空间中两个角，且，若，则 .
变式22．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期末）已知空间中两个角，，且角与角的两边分别平行，若，则 ．
【解题方法总结】
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
1．（2022•上海）如图正方体中，、、、分别为棱、、、的中点，联结，．空间任意两点、，若线段上不存在点在线段、上，则称两点可视，则下列选项中与点可视的为
A．点B．点C．点D．点
2．（2023•上海）如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是
A．B．C．D．
3．（2021•乙卷）在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为
A．B．C．D．
考点要求
考题统计
考情分析
（1）借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．
（2）了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．
2023年上海卷第15题，5分
2022年上海卷第15题，5分
2022年I卷第9题，5分
2021年乙卷（文）第10题，5分
本节内容是高考命题的热点，重点关注异面直线的判定和成角问题、空间点线面的位置关系问题．对于空间几何体的点、线、面 的位置关系，除了题目难度逐步提升，还增加了截面问题，对考生的空间想象能力要求有所提升，需要考生有更强大的逻辑推理能力．
位置关系
相交（共面）
平行（共面）
异面
图形
符号
a∥b
公共点个数
1
0
0
特征
两条相交直线确定一个平面
两条平行直线确定一个平面
两条异面直线不同在如何一个平面内
位置关系
包含（面内线）
相交（面外线）
平行（面外线）
图形
符号
∥
公共点个数
无数个
1
0
位置关系
平行
相交（但不垂直）
垂直
图形
符号
∥
，
公共点个数
0
无数个公共点且都在唯一的一条直线上
无数个公共点且都在唯一的一条直线上