第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲义（新教材新高考）

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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法
目录
1、一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且
（1）当时，二次函数图象开口向上．
（2） = 1 \* GB3 ①若，解集为．
= 2 \* GB3 ②若，解集为．
= 3 \* GB3 ③若，解集为．
（2） 当时，二次函数图象开口向下．
= 1 \* GB3 ①若，解集为
= 2 \* GB3 ②若，解集为
2、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
3、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【解题方法总结】
1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为．
2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为．
3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
4、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
【典例例题】
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
【解题总结】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集
例1．（2023·上海金山·统考二模）若实数满足不等式，则的取值范围是__________.
例2．（2023·高三课时练习）不等式的解集为______．
例3．（2023·高三课时练习）函数的定义域为______．
例4．（2023·高三课时练习）不等式的解集为______．
题型二：含参数一元二次不等式的解法
【解题总结】
1、数形结合处理．
2、含参时注意分类讨论．
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例7．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．
例8．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
【解题总结】
1、一定要牢记二次函数的基本性质．
2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．B．不等式的解集为
C．D．不等式的解集为
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是( )
A．B．
C．D．
例11．（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
例12．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）已知关于x的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．若关于x的不等式的解集为，则
D．若关于x的不等式的解集为，且，则
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．－2B．1C．2D．8
题型四：其他不等式解法
【解题总结】
1、分式不等式化为二次或高次不等式处理．
2、根式不等式绝对值不等式平方处理．
例14．（2023·北京海淀·统考一模）不等式的解集为_________．
例15．（2023·全国·高三专题练习）不等式的 的解集是______
例16．（2023·上海·高三专题练习）若不等式，则x的取值范围是____________．
例17．（2023·上海浦东新·统考三模）不等式的解集是__________．
例18．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知集合，则___________．
题型五：二次函数根的分布问题
【解题总结】
解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向．
例19．（2023·全国·高三专题练习）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为__．
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．
例21．（2023·全国·高三专题练习）若方程有两个不相等的实根，则可取的最大整数值是______.
例22．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围为________.
题型六：一元二次不等式恒成立问题
【解题总结】
恒成立问题求参数的范围的解题策略
（1）弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论．
例23．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．
例24．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则a的取值范围是____________．
例25．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是______.
例26．（2023·全国·高三专题练习）若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是______．
例27．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是_____.
1．（2020·山东·统考高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·全国·统考高考真题）已知集合则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2018·全国·高考真题）已知集合，则
A．B．
C．D．
考点要求
考题统计
考情分析
（1）会从实际情景中抽象出一元二次不等式．
（2）结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式．
（3）了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
2020年I卷第1题，5分
从近几年高考命题来看，三个 “二次” 的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中．