第02讲 两条直线的位置关系（练习）-2024年高考数学一轮复习练习（新教材新高考）

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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第02讲 两条直线的位置关系
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设点满足，则“”是“为定值”的（ ）.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若为定值，
即点到直线两条直线距离之和为定值，
显然，这两条直线平行，如图，
所以当点在与这两条直线平行的直线上时，此时直线满足且，
即，且，为定值，
所以“”是“为定值”的必要不充分条件.
故选：B
2．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）若直线与之间的距离为，则a的值为（ ）
A．4B．C．4或D．8或
【答案】C
【解析】将直线化为，
则直线与直线之间的距离，
根据题意可得：，即，解得或，
所以a的值为或.
故选：C
3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）若，复数与在复平面内对应的点分别为，则（ ）
A．2B．C．3D．4
【答案】A
【解析】由，
所以，
所以，
故与在复平面内对应的点分别为，
所以，
故选：A.
4．（2023·人大附中校考三模）若两条直线，与圆的四个交点能构成正方形，则（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【解析】由题设知：，要使，，，四点且构成正方形，
∴正方形的边长等于直线、的距离，则，
若圆的半径为r，，即，则，
由正方形的性质知：，
∴，即有.
故选：B.
5．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知圆，从圆心C射出的光线被直线反射后，反射光线恰好与圆C相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【解析】圆，圆心为，
设圆心关于直线的对称点为，
则，解得，即，
设反射光线所在的直线斜率为k，则反射光线所在的直线方程为，
因为反射光线恰好与圆C相切，所以，
整理得，解得或.
故选：C．
6．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）直线，直线，给出下列命题：
①，使得； ②，使得；
③，与都相交； ④，使得原点到的距离为.
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①④
【答案】C
【解析】对于①，若，则，该方程组无解，①错；
对于②，若，则，解得，②对；
对于③，当时，直线的方程为，即，此时，、重合，③错；
对于④，直线的方程为，
若，使得原点到的距离为，则，整理可得，
，方程有解，④对.
故选：C.
7．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形的三个顶点坐标为，，，则的“好点”的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于A，设，
则，
所以点不是的“好点”；
对于B，设，
则，
，
所以，
所以点是的“好点”；
对于C，设，
则，
所以点不是的“好点”；
对于D，设，
则，
所以点不是的“好点”.
故选：B.
8．（2023·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测）已知点分别为直线上的动点，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，由
且点，为直线上的动点，则即为点到直线的距离，
所以，则，
故选:C
9．（多选题）（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）设直线系，下列命题中的真命题有（ ）
A．中所有直线均经过一个定点
B．存在定点不在中的任一条直线上
C．对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上
D．中的直线所能围成的正三角形面积都相等
【答案】BC
【解析】由题知，
点到中每条直线的距离，
即为圆的全体切线组成的集合，
从而中存在平行的直线，所以A错误；
又因为点不存在任何直线上，所以B正确；
对任意，存在正边形使其内切圆为圆，故C正确；
中的直线能组成两种大小不同的正三角形，故D错误.
故选：BC
10．（多选题）（2023·江苏南通·海安高级中学校考二模）已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是( )
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】当直线的斜率不存在时，直线l的方程为，此时点到直线的距离为5，点到直线的距离为1，此时不成立；
当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即，
∵点到直线的距离相等，
，解得，或，
当时，直线的方程为，整理得，
当时，直线的方程为，整理得
综上，直线的方程可能为或
故选：BC．
11．（多选题）（2023·河北·统考模拟预测）（多选）曲线在点处的切线与其平行直线的距离为，则直线的方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】由题设，y′＝e2x(2cs 3x－3sin 3x)，
∴y′|x=0＝2，则所求的切线方程为y＝2x＋1，
设直线l的方程为y＝2x＋b，则，解得b＝6或－4.
∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
故选：AB
12．（多选题）（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）已知直线l1：，l2：，l3：，l4：.则（ ）
A．存在实数α，使l1l2，
B．存在实数α，使l2l3；
C．对任意实数α，都有l1⊥l4
D．存在点到四条直线距离相等
【答案】ACD
【解析】当时，，故选项A正确；
，所以与不平行，故选项B错误；
恒成立，，故选项C正确；
坐标原点到四条直线距离均为1，故选项D正确.
故选：ACD.
13．（多选题）（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）著名科学家笛卡儿根据他所研究的一簇花瓣和叶形曲线特征，列出了的方程式，这就是现代数学中有名的“笛卡儿叶线”（或者叫“叶形线”），数学家还为它取了一个诗意的名字——茉莉花瓣曲线．已知曲线G：，则（ ）
A．曲线G关于直线y＝x对称
B．曲线G与直线x－y＋1＝0在第一象限没有公共点
C．曲线G与直线x＋y－6＝0有唯一公共点
D．曲线G上任意一点均满足x＋y＞－2
【答案】ACD
【解析】对于A，将代入，有都成立，
即曲线关于直线对称，故A对；
对于B，将代入曲线得，即，
令，且，
则，由，解得，
在上，递减，在上，递增，
又，而，
所以在上有两个零点，故B错；
对于C，将代入曲线得，
即，所以，
即曲线与直线有唯一公共点，故C对；
对于D，设，代入曲线得，
即，
当，即时，代入得，矛盾，故，
所以，即，
解得，又，所以，故D对.
故选：ACD.
14．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）已知数列是等差数列，，，，是互不相同的正整数，且，若在平面直角坐标系中有点，，，，则下列选项成立的有（ ）
A．B．
C．直线与直线的斜率相等D．直线与直线的斜率不相等
【答案】ABC
【解析】由题设，且，又是等差数列，若公差为，
，又，
所以，A正确；
由，，
又，故，B正确；
由，，故直线与直线的斜率相等，C正确；
同理，，故直线与直线的斜率相等，D错误.
故选：ABC
15．（2023·全国·模拟预测）点到曲线在处的切线l的距离为 .
【答案】
【解析】，当时，，所以切点坐标为.
求导得，则切线的斜率为3，
所以切线方程为，即，
所以点到切线l的距离为.
故答案为：.
16．（2023·河北·统考模拟预测）已知直线和两点，若直线上存在一点使得最小，则点的坐标为 .
【答案】
【解析】首先设点关于的对称点，
则，解得：，即
根据对称性可知，，当点三点共线时，等号成立，此时最小，即点是直线与的交点，
，直线，
联立，解得：，即此时
故答案为：
17．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知是曲线在处的切线,若点到的距离为1,则实数 .
【答案】
【解析】解:由题知,
所以,
因为是曲线在处的切线,
所以当时,,且,
所以,
因为点到的距离为1,
所以,
解得:.
故答案为:
18．（2023·广东韶关·统考一模）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知是直线上的动点，当与（为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为 .
【答案】6
【解析】因为点是直线：上的动点，要使最小，则，此时，
所以，由方程组，解得，，
所以，，两点之间的切比雪夫距离为6.
故答案为：6.
19．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知两条直线，，若，则直线与之间的距离 ．
【答案】/
【解析】因为，则，解得，所以，直线的方程为，
因此，直线与之间的距离.
故答案为：.
20．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在中，的内角平分线方程为，，，则角的正切值为 ．
【答案】
【解析】由题意得，根据角平分线的性质，关于的对称点一定在直线上，
设关于的对称点为，记，则是中垂线，于是，解得，
故，又，故直线方程为，于是和的交点为的坐标，
由，则，故，
则，.
故答案为：
21．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知函数，直线：，若直线与的图象交于点，与直线交于点，则，之间的最短距离是 .
【答案】
【解析】
因为函数，直线：，
若直线与的图象交于点，与直线交于点，
直线的斜率为1，直线：的斜率为，
所以两直线垂直，
所以函数图象上的点A到直线的最短距离，
即为之间的最短距离
由题意可得，.
令，解得（舍去）.
因为，取点，
所以点A到直线的距离，
则，之间的最短距离是.
故答案为：
22．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】均为单位向量且，不妨设，，且，
，，
，
的几何意义表示的是点到和两点的距离之和的2倍，
点在单位圆内，点在单位圆外，
则点到和两点的距离之和的最小值即为和两点间距离，
所求最小值为.
故答案为：.
23．（2023·全国·高三对口高考）已知点，在直线和轴上各找一点和，使的周长最小，并求出和两点的坐标．
【解析】由题可得，设点关于直线的对称点，
则，解得，即，
点关于轴的对称点，则直线的方程为，即.
当、分别为直线与直线、轴的交点时，的周长最小.
令，得到直线与轴的交点.
由，解得，所以直线与直线的交点为.
故点，即为所求.
24．（2023·全国·高三对口高考）已知中，，边上的高线方程为，角A平分线方程为，求，边所在直线方程．
【解析】因为边上的高线所在直线的方程为，
则，．边所在直线方程为．
即．
的平分线所在直线方程为，则与关于轴对称，设．
又点在直线上，，．，
点的坐标为．
直线方程为：．即，
又与关于轴对称，
所以直线的方程为，
所以直线的方程为：，直线的方程为：．
1．（2022•上海）若关于，的方程组有无穷多解，则实数的值为 ．
【答案】4．
【解析】根据题意，若关于，的方程组有无穷多解，
则直线和重合，则有，即，解可得，
当时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，
当时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，
故．
故答案为：4
2．（2020•上海）已知直线，，若，则与的距离为 ．
【答案】
【解析】直线，，
当时，，解得；
当时与重合，不满足题意；
当时，此时，；
则与的距离为．
故答案为：．
3．（2018•全国）坐标原点关于直线的对称点的坐标为 ．
【答案】
【解析】设坐标原点关于直线的对称点的坐标为，
则，
解得，，
坐标原点关于直线的对称点的坐标为．
故答案为：．
4．（2016•上海）已知平行直线，，则，的距离 ．
【答案】
【解析】平行直线，，则，的距离：．
故答案为：．
5．（2015•全国）点关于直线的对称点为 ．
【答案】
【解析】设点关于直线的对称点为，
则，
解得，，
点关于直线的对称点为．
故答案为：．
6．（2014•四川）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点．则的最大值是 ．
【答案】5
【解析】由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过定点，
注意到动直线和动直线始终垂直，又是两条直线的交点，
则有，．
故（当且仅当时取“”
故答案为：5
7．（2014•上海）点到直线的距离是 ．
【答案】
【解析】点到直线的距离：
．
故答案为：．