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重难点突破05 求曲线的轨迹方程(十大题型)-2024年高考数学一轮复习(新教材新高考)
展开2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”,应在老师的指导下,选一些源于课本的变式题,或体现基本概念、基本方法的基本题,通过解题来提高思维能力和解题技巧,加深对所学知识的深入理解。在解题时,要独立思考,一题多思,一题多解,反复玩味,悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后,总有同学抱怨没考好,纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否,不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系,确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”,但更重要的是寻找错因,及时进行总结,三五个字,一两句话都行,言简意赅,切中要害,以利于吸取教训,力求相同的错误不犯第二次。
重难点突破05 求曲线的轨迹方程
目录
一.直接法求动点的轨迹方程
利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下:
(1)建系:建立适当的坐标系
(2)设点:设轨迹上的任一点
(3)列式:列出有限制关系的几何等式
(4)代换:将轨迹所满足的条件用含的代数式表示,如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简
(5)证明(一般省略):证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程(对某些特殊值应另外补充检验).简记为:建设现代化,补充说明.
注:若求动点的轨迹,则不但要求出动点的轨迹方程,还要说明轨迹是什么曲线.
二.定义法求动点的轨迹方程
回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题,我们常常需要把动点和满足焦点标志的定点连起来判断.熟记焦点的特征:(1)关于坐标轴对称的点;(2)标记为的点;(3)圆心;(4)题目提到的定点等等.当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义,把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程.
三.相关点法求动点的轨迹方程
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的,而该点的运动规律已知,(该点坐标满足某已知曲线方程),则可以设出,用表示出相关点的坐标,然后把的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点的轨迹方程.
四.交轨法求动点的轨迹方程
在求动点的轨迹方程时,存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题,这类问题常常可以先解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数得出所求轨迹的方程,该方法经常与参数法并用,和参数法一样,通常选变角、变斜率等为参数.
五.参数方程法求动点的轨迹方程
动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的,可以选参、设参,然后用这个参数表示动点的坐标,即,再消参.
六.点差法求动点的轨迹方程
圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法,其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程,两式相减可得,,,等关系式,由于弦的中点的坐标满足,且直线的斜率为,由此可求得弦中点的轨迹方程.
题型一:直接法
例1.(2023·甘肃平凉·高三统考期中)动点与定点的连线的斜率之积为,则点的轨迹方程是 .
例2.(2023·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习)已知圆:,过动点作圆的切线(为切点),使得,则动点的轨迹方程为 .
例3.(2023·全国·高三专题练习)已知两条直线和,有一动圆与及都相交,并且、被截在圆内的两条弦长分别是26和24,则动圆圆心的轨迹方程是 .
变式1.(2023·全国·高三专题练习)已知平面直角坐标系中有两点,且曲线上的任意一点P都满足.则曲线的轨迹方程为 .
变式2.(2023·全国·高三专题练习)已知平面上的动点到点和的距离之比为,则点的轨迹方程为 .
变式3.(2023·全国·高三专题练习)已知平面上一定点和直线l:x=8,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,且·=0.则动点P的轨迹方程为 ;
题型二:定义法
例4.(2023·全国·高三专题练习)若,,点P到F1,F2的距离之和为10,则点P的轨迹方程是
例5.(2023·浙江·高三校联考阶段练习)已知圆与圆内切,且圆与直线相切,则圆的圆心的轨迹方程为 .
例6.(2023·广东东莞·高三校考阶段练习)已知圆,圆,动圆与圆外切并与圆内切,则圆心的轨迹方程为
变式4.(2023·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中,已知的周长是18,,是轴上关于原点对称的两点,若,动点满足.则动点的轨迹方程为 ;
变式5.(2023·全国·高三对口高考)已知动圆P过点,且与圆外切,则动圆P圆心的轨迹方程为 .
变式6.(2023·全国·高三专题练习)中,A为动点,,且满足,则A点的轨迹方程为 .
变式7.(2023·全国·高三专题练习)一个动圆与圆外切,与圆内切,则这个动圆圆心的轨迹方程为 .
变式8.(2023·全国·高三对口高考)已知,B是圆(F为圆心)上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为 .
变式9.(2023·全国·高三专题练习)已知定点,圆,过R点的直线交圆于M,N两点过R点作直线交SM于Q点,求Q点的轨迹方程;
变式10.(2023·全国·高三专题练习)已知圆,直线,过上的点作圆的两条切线,切点分别为,则弦中点的轨迹方程为 .
变式11.(2023·吉林白山·高三抚松县第一中学校考阶段练习)设O为坐标原点,,点A是直线上一个动点,连接AF并作AF的垂直平分线l,过点A作y轴的垂线交l于点P,则点P的轨迹方程为 .
变式12.(2023·云南·高三校联考阶段练习)已知圆,直线过点且与圆交于点B,C,线段的中点为D,过的中点E且平行于的直线交于点P.
(1)求动点P的轨迹方程;
题型三:相关点法
例7.(2023·全国·高三专题练习)已知点P为椭圆上的任意一点,O为原点,M满足,则点M的轨迹方程为 .
例8.(2023·福建泉州·高三校考开学考试)是圆上的动点,点,则线段的中点的轨迹方程是 .
例9.(2023·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习)已知定点和曲线上的动点,则线段的中点的轨迹方程为 .
变式13.(2023·全国·高考真题)设P为双曲线上一动点,O为坐标原点,M为线段的中点,则点M的轨迹方程为 .
变式14.(2023·全国·高三专题练习)已知的顶点,,顶点A在抛物线上运动,则的重心G的轨迹方程为 .
变式15.(2023·全国·高三专题练习)设过点的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点.若,且,则点P的轨迹方程是 .
变式16.(2023·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中,△ABC满足A(-1,0),B(1,0),,,∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I,存在非零实数,使得,则顶点C的轨迹方程为 .
题型四:交轨法
例10.(2023·贵州铜仁·高三统考期末)已知直线,,当任意的实数m变化时,直线与的交点的轨迹方程是 .
例11.(2023·河南·校联考模拟预测)已知抛物线的焦点到准线的距离为2,直线与抛物线交于两点,过点作抛物线的切线,若交于点,则点的轨迹方程为 .
例12.(2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习)已知A,B分别为椭圆的左、右顶点,点M,N为椭圆上的两个动点,满足线段MN与x轴垂直,则直线MA与NB交点的轨迹方程为 .
变式17.(2023·全国·高三专题练习)已知是椭圆中垂直于长轴的动弦,是椭圆长轴的两个端点,则直线和的交点的轨迹方程为 .
变式18.(2023·全国·高三专题练习)直线在轴上的截距为且交抛物线于、两点,点为抛物线的顶点,过点、分别作抛物线对称轴的平行线与直线交于、两点.分别过点、作抛物线的切线,则两条切线的交点的轨迹方程为 .
变式19.(2023·全国·高三专题练习)已知抛物线C:,焦点为F,过F的直线l交C于A,B两点,分别作抛物线C在A,B处的切线,且两切线交于点P,则点P的轨迹方程为: .
变式20.(2023·全国·高三专题练习)已知点,,,动圆与直线切于点,分别过点且与圆相切的两条直线相交于点,则点的轨迹方程为 .
变式21.(2023·全国·高三专题练习)如图所示,两根杆分别绕着定点A和B(AB=2a)在平面内转动,并且转动时两杆保持互相垂直,则杆的交点P的轨迹方程是 .
变式22.(2023·江西·高三校联考阶段练习)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过三点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过右焦点的直线(斜率不为0)与椭圆交于两点,求直线与直线的交点的轨迹方程.
变式23.(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆C:的离心率为,且经过,经过定点斜率不为0的直线l交C于E,F两点,A,B分别为椭圆C的左,右两顶点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线AE与BF的交点为P,求P点的轨迹方程.
变式24.(2023·山西阳泉·高三统考期末)已知过点的直线交抛物线于两点,为坐标原点.
(1)证明:;
(2)设为抛物线的焦点,直线与直线交于点,直线交抛物线与两点(在轴的同侧),求直线与直线交点的轨迹方程.
变式25.(2023·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考开学考试)直线l在x轴上的截距为且交抛物线于A,B两点,点O为抛物线的顶点,过点A,B分别作抛物线对称轴的平行线与直线交于C,D两点.
(1)当时,求的大小;
(2)试探究直线AD与直线BC的交点是否为定点,若是,请求出该定点并证明;若不是,请说明理由;
(3)分别过点A,B作抛物线的切线,求两条切线的交点的轨迹方程.
变式26.(2023·全国·高三专题练习)已知抛物线过点,直线与抛物线C交于A,B两点.
(1)若,求直线l的方程;
(2)过点作直线和,其中交C于M,N两点,交C于P,Q两点,M,P位于x轴的同侧,Q,N位于x轴的同侧,求直线MP与直线QN交点的轨迹方程.
变式27.(2023·全国·高三专题练习)已知抛物线的内接等边三角形的面积为(其中为坐标原点).
(1)试求抛物线的方程;
(2)已知点两点在抛物线上,是以点为直角顶点的直角三角形.
①求证:直线恒过定点;
②过点作直线的垂线交于点,试求点的轨迹方程,并说明其轨迹是何种曲线.
题型五:参数法
例13.(2023·全国·高三专题练习)方程(t为参数)所表示的圆的圆心轨迹方程是 (结果化为普通方程)
例14.(2023·全国·高三专题练习)已知,,当时,线段的中点轨迹方程为 .
例15.(2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知O为坐标原点,,A是上的动点,连接OA,线段OA交于点B,过A作x轴的垂线交x轴于点C,过B作AC的垂线交AC于点D,则点D的轨迹方程为 .
变式28.(2023·全国·高三专题练习)已知在中,AB=8,以AB的中点为原点O,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,设,,若,则点P的轨迹方程为 .
题型六:点差法
例16.(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆.
(1)过椭圆的左焦点引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程;
(2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程;
(3)求过点且被平分的弦所在直线的方程.
例17.(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆,求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.
例18.(2023·全国·高三专题练习)已知:椭圆,求:
(1)以为中点的弦所在直线的方程;
(2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.
变式29.(2023·全国·高三专题练习)斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是 .
变式30.(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆,一组平行直线的斜率是,当它们与椭圆相交时,这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是 .
变式31.(2023·全国·高三专题练习)直线l与椭圆交于A,B两点,已知直线的斜率为1,则弦AB中点的轨迹方程是 .
变式32.(2023·全国·高三专题练习)椭圆,则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为 .
题型七:立体几何与圆锥曲线的轨迹
例19.(2023·北京·高三强基计划)在正方体中,动点M在底面内运动且满足,则动点M在底面内的轨迹为( )
A.圆的一部分B.椭圆的一部分
C.双曲线一支的一部分D.前三个答案都不对
例20.(2023·全国·高三对口高考)如图,定点A和B都在平面内,定点,C是内异于A和B的动点,且.那么,动点C在平面内的轨迹是( )
A.一条线段,但要去掉两个点B.一个圆,但要去掉两个点
C.一个椭圆,但要去掉两个点D.半圆,但要去掉两个点
例21.(2023·云南保山·统考二模)已知正方体,Q为上底面所在平面内的动点,当直线与的所成角为45°时,点Q的轨迹为( )
A.圆B.直线C.抛物线D.椭圆
变式33.(2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测)在正四棱柱中,,,为中点,为正四棱柱表面上一点,且,则点的轨迹的长为( )
A.B.C.D.
变式34.(2023·全国·学军中学校联考模拟预测)已知空间中两条直线、异面且垂直,平面且,若点到、距离相等,则点在平面内的轨迹为( )
A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线
变式35.(2023·江西赣州·统考二模)在棱长为4的正方体中,点满足,,分别为棱,的中点,点在正方体的表面上运动,满足面,则点的轨迹所构成的周长为( )
A.B.C.D.
题型八:复数与圆锥曲线的轨迹
例22.(2023·辽宁朝阳·统考二模)已知,则复数在复平面内所对应点的轨迹方程为 .
例23.(2023·全国·高三专题练习)设复数满足,在复平面内对应的点为,则在复平面内的轨迹方程为 .
例24.(2023·辽宁锦州·统考模拟预测)已知复数为虚数单位为纯虚数,则在复平面内,对应的点的轨迹为( )
A.圆B.一条线段C.两条直线D.不含端点的4条射线
变式36.(2023·全国·高三专题练习)复平面中有动点Z,Z所对应的复数z满足,则动点Z的轨迹为( )
A.直线B.线段C.两条射线D.圆
变式37.(2023·全国·高三专题练习)已知复数满足,则的轨迹为( )
A.线段B.直线
C.椭圆D.椭圆的一部分
变式38.(2023·全国·高三专题练习)若复数满足,则复数对应的点的轨迹围成图形的面积等于( )
A.B.C.D.
变式39.(2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是( )
A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线
变式40.(2023·辽宁抚顺·高三校联考期末)若复数满足.则复数在复平面内的点的轨迹为( )
A.直线B.椭圆C.圆D.抛物线
题型九:向量与圆锥曲线的轨迹
例25.(2023·全国·高三专题练习)已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则的轨迹一定通过的( )
A.重心B.外心C.内心D.垂心
例26.(2023·全国·高三对口高考)O是平面内一定点,A,B,C是平面内不共线三点,动点P满足,,则P的轨迹一定通过的( )
A.外心B.垂心C.内心D.重心
例27.(2023·全国·高三专题练习)在中,设,那么动点的轨迹必通过的( )
A.垂心B.内心C.重心D.外心
变式41.(2023·江苏·高三统考期末)中,为边上的高且,动点满足,则点的轨迹一定过的( )
A.外心B.内心C.垂心D.重心
变式42.(2023·四川成都·成都市第二十中学校校考一模)在平面内,是两个定点,是动点,若,则点的轨迹为( )
A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线
变式43.(2023·安徽·高三蚌埠二中校联考阶段练习)在中,,,,角A是锐角,O为的外心.若,其中,则点P的轨迹所对应图形的面积是( )
A.B.C.D.
变式44.(2023·全国·高三专题练习)正三角形OAB的边长为1,动点C满足,且,则点C的轨迹是( )
A.线段B.直线C.射线D.圆
变式45.(2023·全国·高三专题练习)已知是平面上的一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则动点的轨迹一定通过的( )
A.重心B.外心C.内心D.垂心
题型十:利用韦达定理求轨迹方程
例28.(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆的离心率为,点在C上.过C的右焦点F的直线交C于M,N两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若动点P满足,求动点P的轨迹方程.
例29.(2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)已知过右焦点的直线交双曲线于两点,曲线的左右顶点分别为,虚轴长与实轴长的比值为.
(1)求曲线的方程;
(2)如图,点关于原点的对称点为点,直线与直线交于点,直线与直线交于点,求的轨迹方程.
例30.(2023·全国·高三专题练习)设椭圆方程为,过点的直线l交椭圆于点A,B,O是坐标原点,点P满足,当l绕点M旋转时,求动点P的轨迹方程;
变式46.(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆C:过点,且椭圆上任意一点到右焦点的距离的最大值为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l与椭圆C交不同于点A的P、Q两点,以线段PQ为直径的圆经过A,过点A作线段PQ的垂线,垂足为H,求点H的轨迹方程.
变式47.(2023·全国·高三专题练习)已知双曲线与直线.
(1)若直线与双曲线C相交于A,B两点,点是线段AB的中点,求直线的方程;
(2)若直线l与双曲线有唯一的公共点M,过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于,两点.当点M运动时,求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
变式48.(2023·全国·高三专题练习)设不同的两点A,B在椭圆上运动,以线段AB为直径的圆过坐标原点O,过O作,M为垂足.求点M的轨迹方程.
变式49.(2023·浙江·杭州市富阳区场口中学高三期末)已知椭圆C的离心率为,其焦点是双曲线的顶点.
(1)写出椭圆C的方程;
(2)直线l:与椭圆C有唯一的公共点M,过点M作直线l的垂线分别交x轴、y轴于,两点,当点M运动时,求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
变式50.(2023·广东·高三阶段练习)已知椭圆的离心率是,其左、右顶点分别是、,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知点、是椭圆上异于、的不同两点,设点是以为直径的圆和以为直径的圆的另一个交点,记线段的中点为,若,求动点的轨迹方程.
变式51.(2023·全国·高三专题练习)已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上,且点A是椭圆短轴的一个端点(点A在y轴正半轴上).
(1)若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC的方程;
(2)若角A为,AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.
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