重难点突破12 双切线问题的探究（六大题型）-2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）

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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
重难点突破12 双切线问题的探究
目录
双切线问题，就是过一点做圆锥曲线的两条切线的问题，解决这一类问题我们通常用同构法.
解题思路：
①根据曲线外一点设出切线方程．
②和曲线方程联立，求出判别式．
③整理出关于双切线斜率的同构方程．
④写出关于的韦达定理，并解题．
题型一：定值问题
例1．（2023·河南·高三竞赛）已知抛物线C：与直线l：没有公共点，P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A、B为切点.
（1）证明：直线AB恒过定点Q；
（2）若点P与Q的连线与抛物线C交于M、N两点，证明：.
【解析】（1）设点.则.
由，得.所以.
于是，抛物线C在点A处的切线方程为
．
设点.则.
设点.同理，.
从而，，即
.
因此，直线AB恒过定点Q（k，1）.
（2）设.
与抛物线方程联立，消去y得
.
设点.则
①
要证，即证，则只需证明
，即
. ②
由方程组①知
.
故式②成立.从而，结论成立.
例2．（2023·高二单元测试）已知抛物线C：的焦点F与椭圆的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B．

(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程；
(2)设直线MA，MB的斜率分别为，，证明：为定值．
【解析】（1）因为，所以，
所以，可得椭圆的右焦点为，
可得抛物线C的焦点为，∴，
所以抛物线C的标准方程为，准线方程为；
（2）由于点M是抛物线C的准线上任意一点，故可设，
因为直线MA，MB的分别与抛物线C相切于点A，B点可知直线MA，MB的斜率存在，
且不为0，
设过点的直线方程为，
联立，消去得：，
其判别式，令，得，
由韦达定理知，，故为定值－1．
例3．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知坐标原点为，抛物线为与双曲线在第一象限的交点为，为双曲线的上焦点，且的面积为3．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，切线，分别交轴于，，求与的面积之比．
【解析】（1）双曲线的上焦点为，设，，
由已知得：，则，
代入双曲线方程可得，解得或（舍去），所以，
又因为在抛物线上，所以，解得，故抛物线的方程为．
（2）设点，，对求导得，
则切线的方程为，
由整理得，
令，则，即，同理可求得．
将代入直线可得：，
同理可求得直线的方程：，
所以，的直线方程．
联立消去得，
则韦达定理：，
则弦长，
点到直线的距离，
所以，
又，
故．
变式1．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）已知抛物线（为常数，）.点是抛物线上不同于原点的任意一点.
(1)若直线与只有一个公共点，求；
(2)设为的准线上一点，过作的两条切线，切点为，且直线，与轴分别交于，两点.
①证明：
②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）将直线与抛物线联立，
消去可得，由题意可知该方程只有一个实数根，
所以，又点在抛物线上，即；
可得，解得
（2）①易知抛物线的准线方程为；
不妨设，切点，如下图所示：
将求导可得，
则切线的斜率，切线的方程为，
又，的方程可化为；
同理可得的方程可化为；
又两切线交于点，所以，
因此可得是方程的两根，因此；
所以；
因此
②设直线和的倾斜角为，直线的倾斜角为，
所以；
又；；
；
所以
，
将代入可得
，
则可得，即；
又，所以，
可得，则为定值.
变式2．（2023·河南信阳·信阳高中校考三模）已知抛物线上一点到焦点的距离为3.

(1)求，的值；
(2)设为直线上除，两点外的任意一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点，和，，试判断，，，四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）根据抛物线的定义，到准线的距离为3，
∴，∴；
∴抛物线的焦点坐标为，∴，∴；
（2）设，过点的直线方程设为，
由得，，
若直线，的斜率分别为，，设，，，的纵坐标分别为，，，，
∴，，
∵到的距离，∴，
∴，，
∴，
∴，，，四点纵坐标之积为定值，且定值为64.
题型二：斜率问题
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PF1F2的周长是8+2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设圆T:(x-2)2+y2=,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.
【解析】试题分析：
（1）由椭圆的离心率为可得a=4b，c=b，然后根据△PF1F2的周长可得b=1，a=4，从而可得椭圆的方程．（2）由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率，设其方程为y=kx+1，由直线与圆相切可得32k2+36k+5=0，从而得到，．然后分别求出两切线与椭圆交点的横坐标和，最后根据斜率公式求解即可．
试题解析：
(1)由题意得e=，
∴a=4b，
∴c=b．
∵△PF1F2的周长是8+2，
∴2a+2c=8+2，
∴b=1,
∴a=4．
∴椭圆C的方程为+y2=1．
(2)由（1）得椭圆的上顶点为M(0,1)，
又由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率，设其方程为l：y=kx+1，
∵直线y=kx+1与圆T相切，
∴，
整理得32k2+36k+5=0，
∴
由消去y整理得(1+16)x2+32k1x=0，
∴．
同理可得,
∴．
故直线EF的斜率为．
例5．（2023·全国·高三专题练习）设点为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．
（Ⅰ）若点为，求直线的方程；
（Ⅱ）若点为圆上的点，记两切线，的斜率分别为，，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）设直线PA方程为，直线PB方程为，
由，可得，
因为PA与抛物线相切，所以，取，则，
即A（1，1）．同理可得B（1，-1）．所以AB：．
（Ⅱ）设，则直线PA方程为，直线PB方程为．
由可得．
因为直线PA与抛物线相切，所以△=．
同理可得，所以时方程的两根．
所以，．则=..
又因为，则，
所以===
=.
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，，是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，且的周长是．
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在斜率为1的直线与椭圆交于，两点，使得以为直径圆过原点，若存在写出直线方程；
(3)设圆，过椭圆的上顶点作圆的两条切线交椭圆于、两点，当圆心在轴上移动且时，求的斜率的取值范围．
【解析】（1）令椭圆半焦距为c，因，即，又，则有，，
因△的周长是，即，解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）设直线L方程是，，，由消去y得：，
，即，则，
弦的中点，，
以为直径的圆的方程是，因此圆过原点，
则有，解得，显然满足，
所以存在符合条件的直线，其方程为.
（3）由（1）知，椭圆的上顶点为在圆T外，显然过点M的圆T的切线斜率存在，
设过点与圆相切的直线方程为，于是得，即，
设切线ME，MF的斜率分别为，有，
由消去y得，，于是得点E的横坐标，
同理得点F的横坐标，直线EF的斜率：
，
显然函数在上单调递增，则有，
所以斜率的取值范围为.
变式3．（2023·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考阶段练习）已知圆，圆心在抛物线上，圆过原点且与的准线相切．
(1)求抛物线的方程；
(2)点，点（与不重合）在直线上运动，过点作抛物线的两条切线，切点分别为．求证：．
【解析】（1）∵圆与抛物线准线相切，
∴，又圆过和原点，
∴，∴，
解得.
∴抛物线的方程为；
（2）设，，方程为，
∴，
∴抛物线在点处的切线的斜率，
∴切线的方程为，
即，
化简得：，
又因过点，故可得，
即，
同理可得，
∴为方程的两根，
∴，，
∴
，
∴.
变式4．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知是抛物线上一点，过作圆的两条切线（切点为），交抛物线分别点且当时，.
(1)求抛物线的方程;
(2)判断直线的斜率是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由.
【解析】（1）如图，
易知，
即.
∵ ∴，即.
代入得 ，
∴抛物线.
（2）法1: 易知，直线的倾斜角互补，斜率相反，
设直线，直线，
则，
即.
依题意 ，有，即.
用代替得，
∴直线的斜率为.
综上知，直线的斜率为定值.
法2：易知，直线的倾斜角互补，斜率相反，
设，则由得：
，化简得.
∴直线的斜率为 .
综上知，直线的斜率为定值.
变式5．（2023·湖南岳阳·统考模拟预测）已知、分别为椭圆的左、右焦点，M为上的一点.
(1)若点M的坐标为，求的面积；
(2)若点M的坐标为，且直线与交于不同的两点A、B，求证：为定值，并求出该定值；
(3)如图，设点M的坐标为，过坐标原点O作圆（其中r为定值，且）的两条切线，分别交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为，.如果为定值，求的取值范围，以及取得最大值时圆M的方程.
【解析】（1）由已知条件得，因为，则，又，
因此的面积为.
（2）设，由，得，
，又，，
，
于是
，
即为定值.
（3）因为直线:与相切，则，即，
同理，由直线:与相切，可得，
于是、是关于的方程的两实根，
注意到，且，故，
因为定值，故不妨设（定值），
于是有，即.
依题意可知，变化，而、均为定值，即有，解得，，
设，，由得，同理，
所以
，当且仅当时取等号，
因此，解得，所以的范围为，
当或时，直线关于坐标轴对称，此时圆心M为椭圆顶点，
所以圆M的方程为或.
题型三：交点弦过定点问题
例7．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为2的正方形（记为Q）．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点P在直线上，过点P作以原点为圆心短半轴长为半径圆O的两条切线，切点为M，N，求证：直线恒过定点．
【解析】（1）依题意，设椭圆C的方程为，焦距为，
由题设条件知，，，
故椭圆C的方程为．
（2）设点是直线上任意一点，
由题可知点P，M，O，N在以为直径的圆上，
此圆方程为 ①
又圆O的方程为， ②
①－②可得直线方程为：，则直线恒过定点．
例8．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，P(4,4)是C上的一点.
(1)若直线PF交C于另外一点A，求；
(2)若圆：，过P作圆E的两条切线，分别交C于M，N两点，证明：直线MN过定点.
【解析】（1）由题设，则，故，则，
又直线过抛物线焦点，则直线，
联立直线与抛物线并整理得：，故，即，
所以，
结合抛物线定义知：.
（2）设，，则（斜率存在且不为0）：，
所以为，则①，
由，则，所以，
而，与圆相切，则，整理得：，
同理可得：，
所以为的两个不同根，
故，，代入①，有，
所以，即，可得，
所以直线过定点.
例9．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知动圆恒过定点，圆心到直线的距离为．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，证明：直线恒过定点．
【解析】（1）设，则，
因为，即，
当，即时，则，整理得；
当，即时，则，
整理得，不成立；
综上所述：点的轨迹的方程.
（2）由（1）可知：曲线：，即，则，
设，
可知切线的斜率为，所以切线：，
则，整理得，
同理由切线可得：，
可知：为方程的两根，则，
可得直线的斜率，
设的中点为，则，
即，
所以直线：，整理得，
所以直线恒过定点.
变式6．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考三模）已知抛物线，过抛物线的焦点F且斜率为的直线l与抛物线相交于不同的两点A，B，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)点M在抛物线的准线上运动，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，在平面内是否存在定点N，使得直线MN与直线PQ垂直？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设，，
根据题意可知直线l的方程为，
联立得，
所以，
因为，
所以，解得，
所以抛物线C的方程为．
（2）如图所示，
抛物线的准线方程为，
当点M在特殊位置时，
切点P，Q关于y轴对称，要使MN⊥PQ，点N必在y轴上．
故设，，，，
抛物线C的方程为，求导得，
所以切线MP的斜率，
则直线MP的方程为，整理得，
又点M在直线MP上，
所以，整理得，
同理可得，
故和是一元二次方程的根，
所以
因为，，
所以
，
当时，，
即存在定点，使得直线MN与直线PQ垂直．
变式7．（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆的焦距为2，圆与椭圆恰有两个公共点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知结论：若点为椭圆上一点，则椭圆在该点处的切线方程为．若椭圆的短轴长小于4，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为．当圆在椭圆的内部时，，椭圆的方程为．
当圆在椭圆的外部时，，
椭圆的方程为．
（2）证明：设．
因为椭圆的短轴长小于4，所以的方程为．
则由已知可得，切线的方程为的方程为，
将代入的方程整理可得，
．
显然的坐标都满足方程，
故直线的方程为，
令，可得，即直线过定点．
变式8．（2023·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）如图所示，已知在椭圆上，圆，圆在椭圆内部.

(1)求的取值范围；
(2)过作圆的两条切线分别交椭圆于点（不同于），直线是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【解析】（1）由题意，故椭圆方，
设为椭圆上的一动点，由于圆在椭圆内部，则恒成立，
即对任意恒成立，
令，
，
则，于是有；
（2）设，，
，（由（1）斜率都存在），
由于两直线均与圆C相切，则，
则为方程的两根，由韦达定理可知，
设，
由韦达定理可知，
由.则
.故过定点.
变式9．（2023·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知点O为平面直角坐标系的坐标原点，点F是抛物线C：的焦点．
(1)过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，求的面积；
(2)若点T为直线上的动点，过点T作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过定点．
【解析】（1）据题意，直线l的斜率为，则直线l的方程为，设，，
由，联立可得，
易得，故，，
因此，．
（2）证明：设点，，，以M为切点的抛物线的切线方程为，
由，联立可得，
由判别式，即，即，显然，可得，
因此，以M为切点的抛物线的切线方程为，
同理可得，以N为切点的抛物线的切线方程为，
由于这两条切线都经过点，代入可得，，
则直线MN的方程为，可得直线MN过定点．
变式10．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知的焦点为，且经过的直线被圆截得的线段长度的最小值为4．
(1)求抛物线的方程；
(2)设坐标原点为，若过点作直线与抛物线相交于不同的两点，，过点，作抛物线的切线分别与直线，相交于点，，请问直线是否经过定点？若是，请求出此定点坐标，若不是，请说明理由．
【解析】（1）因为抛物线的焦点为，圆的圆心，
而经过的直线被圆截得的线段长度，其中为圆心到直线的距离，
则，所以，
显然，的最大值为焦点到圆心的距离，即，
所以，又，解得或（舍），
故抛物线的方程为．
（2）设点，，，由，即，得，
则点处的切线方程为，
直线的方程为：，
则点，同理点，
可得：
，
直线的方程为：，
注意到点，满足，
直线的方程为．
注意令，则
，
直线经过定点．
变式11．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）如下图所示，已知椭圆的上顶点为，离心率为，且椭圆经过点.

(1)求椭圆的方程；
(2)若过点作圆（圆在椭圆内）的两条切线分别与椭圆相交于两点（异于点），当变化时，试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
【解析】（1）由题知解得，
故椭圆的方程为
（2）设点为椭圆上任意一点，则，
所以，
所以当时，取最小值，
即椭圆上的点到点的最小距离为，
因为圆在椭圆内部，所以半径，
所以直线的斜率均存在，
设过点与圆相切的直线为，设直线的斜率分别为，
则圆心到直线的距离，
化简得：①，
从而，
由得：，解得：或
将代入可得，
所以，
所以直线BD的斜率，
直线BD的方程为：
化简为：，
即
所以，当变化时，直线BD总过定点.
题型四：交点弦定值问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．
(1)求抛物线的方程；
(2)设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；
(3)过（2）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．
【解析】（1）设抛物线的方程为，
∵抛物线的焦点到直线的距离为，
∴，解得或（舍去，
∴，，
∴抛物线的方程为．
（2）设，，设切点为，曲线，，
则切线的斜率为，化简得，
设，，，则，是以上方程的两根，
则，，
，
直线的方程为：，整理得，
∵切线的方程为，整理得，且点，在切线上，
∴，即直线的方程为：，化简得，
又∵，∴，
故直线过定点．
（3）设，，，
过的切线，过的切线，
则交点，
设过点的直线为，
联立，得，
∴，，
∴，
∴．
∴点满足的轨迹方程为．
例11．（2023·全国·高三专题练习）如图，设抛物线方程为 (p＞0)，M为直线上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.
（1）求直线AB与轴的交点坐标；
（2）若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形MAB的边MA，MB分别交于点，，记，问是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.
【解析】（1）设，，抛物线方程可变为，
所以，所以，，
直线的方程为，直线方程为，
则解得，，
又，所以直线的方程为，
化简得， 令，，
又， 所以，
所以直线AB与轴的交点坐标为.
（2）记，设点，
可得直线的方程为，
由可得，同理，
所以
，
所以，同理，
所以，
设，记，则，，，，，
于是，
所以
，
所以.
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知拋物线，为焦点，若圆与拋物线交于两点，且
(1)求抛物线的方程；
(2)若点为圆上任意一点，且过点可以作拋物线的两条切线，切点分别为.求证：恒为定值.
【解析】（1）由题意可知，半径为，
由圆的圆心以及抛物线的焦点均在在坐标轴轴，故由对称性可知：轴于点，
在直角三角形中，,
因此 故，将其代入抛物线方程中得，
故抛物线方程为：
（2）令，
抛物线在点处的切线方程为,
与联立得①
由相切得，
代入①得
故在点处的切线方程为，即为
同理：点处的切线方程为，
而两切线交于点，
所以有，
则直线的方程为:，
由得,所以
于是
，
又点在圆上，
所以,即.
变式12．（2023·山东青岛·统考二模）已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为，，离心率等于，点是双曲线在第一象限上的点，直线与轴的交点为，的周长等于，.
(1)求的方程；
(2)过圆上一点（不在坐标轴上）作的两条切线，对应的切点为，.证明：直线与椭圆相切于点，且.
【解析】（1）由题意知，，
又因为，
所以，
所以，又因为，所以，
所以的方程为：.
（2）设，则，
，，
设切线的斜率分别为，设的方程为：，
因为，所以，
所以，
所以 （*）
因为，整理得，
即，所以，同理：，
因为切线均过点，同理根据上面可知，
为的两解，所以，
所以，为直角三角形，
因为，所以，
所以，同理：，
所以直线的方程为：，
将直线：，代入椭圆的方程：可得：
，即，
所以，，
所以直线与椭圆相切，切点，
所以，所以，
所以.
题型五：交点弦最值问题
例13．（2023·江西抚州·临川一中校考模拟预测）椭圆：的离心率为，焦距为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设是椭圆上的动点，过原点作圆：的两条斜率存在的切线分别与椭圆交丁点，，求的最大值.
【解析】（1）由题意得，又，
所以，，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设圆的切线的方程为，则，
整理得，其两根，满足①，
这里，，且②，
由①②得，
设，，则，，
这里，，
所以，，
则，
因为当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
即.
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的方程为，为其焦点，过不在抛物线上的一点作此抛物线的切线，为切点.且.
（Ⅰ）求证：直线过定点；
（Ⅱ）直线与曲线的一个交点为，求的最小值.
【解析】试题分析：（Ⅰ）设直线的方程为，设，，由消去得，根据韦达定理，结合导数的结合意义可得这两条切线的斜率分别为，.由这两切线垂直得，从而可得结论；（Ⅱ）设，则，， ，，，利用导数求出的最小值即可.
试题解析：（Ⅰ）设直线的方程为，设，
以为切点的切线方程分别为，.
由消去得.
则，.
这两条切线的斜率分别为，.
由这两切线垂直得，得.
所以直线恒过定点.
（Ⅱ）设，则，，
当时，则，可得，
当时，则，，，
同样可得.
所以.
由.
所以 .
令，.
.
所以在上为减函数，在上为增函数.
所以.
（或 当时取等号.）
例15．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆经过抛物线的焦点.
(1)求的方程；
(2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.
【解析】（1）由题意，设的方程为，
因为圆经过抛物线的焦点，
所以，解得，
所以的方程为.
（2）如图所示，
设，则，联立方程组整理得，
所以，且，
所以.
由，可得，则，所以抛物线的过点A的切线方程是，
将代入上式整理得，
同理可得抛物线的过点的切线方程为
由解得，所以，
所以到直线的距离，
所以的面积，
当时，，
所以面积的最小值为.
变式13．（2023·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知椭圆，是椭圆外一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，直线与直线交于点，是直线与椭圆的两个交点.
(1)求直线与直线的斜率之积；
(2)求面积的最大值.
【解析】（1）
设，，，
由可得，对其求导可得，
所以当时，直线的斜率为，
则直线的方程为，即.
当时，成立，所以直线的方程为.
同理可得直线的方程为，
又因为是两条切线的交点，所以有，，
所以，则，又因为，
所以.
（2）①当时，联立直线与椭圆方程，
得，
，，
则，
联立直线与椭圆方程，解得点.
则点到直线的距离，
所以
令，则，
令，则，记，
，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当，，即时，.
所以，所以面积的最大值是.
②当时，直线的方程为，联立，
可得，根据椭圆的对称性，不妨令，则，
则点到直线的距离，
所以
令，则，记，
，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当，时，.
所以，所以面积的最大值是.
根据对称性可得当时，面积的最大值是.
所以当时，的最大值为.
当时，同理可求得，当时，的最大值为.
综上，当时，面积的最大值是.
变式14．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为3．
(1)求p；
(2)若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求三角形PAB面积的最值．
【解析】（1）由点到圆M上的点的距离的最小值为
解得．
（2）由（1）知，抛物线的方程为，即，则．
设切点，，则易得直线PA：，直线PB：，
从而得到．
设直线AB：，联立抛物线方程，消去y并整理，得，
则，即，且，，故．
因为，
点P到直线AB的距离，所以，①
又点在圆M：上，
故，代入①得，，
而，故当时，,
故当时，.
题型六：交点弦范围问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，设抛物线的焦点为F，点P是半椭圆上的一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A、B，且直线PA、PB分别交y轴于点M、N．
（1）证明：；
（2）求的取值范围．
【解析】（1）由题意知，直线PA的斜率存在且不为0，设点P的坐标为，
直线PA方程为．
令，可知点M的坐标为．
由，消去x得．
因为直线与抛物线只有一个交点，
故，即．
因为点F的坐标为，
故，．
则．
因此，亦即．
（2）设直线PB的方程为．
由（1）可知，n满足方程．
故m，n是关于t的方程的两个不同的实根．
所以．
由（1）可知：，同理可得．
故，．
则，
因为，
所以．
因此，的取值范围是．
【点晴】本题考查直线与椭圆的位置关系，计算量较大，考查学生的运算求解能力、转化与化归的思想，是一道中档题.
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左焦点，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过圆：上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，直线分别与圆相交于异于点的两点.
（i）当直线的斜率都存在时，记直线的斜率分别为.求证：；
（ii）求的取值范围.
【解析】（1）∵椭圆的左焦点，∴.
将代入，得.
又，∴，.
∴椭圆的标准方程为.
（2）（i）设点，设过点与椭圆相切的直线方程为.
由，消去，得.
.
令，整理得.
由已知，则.
又，∴.
（ii）设点，.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为.
由，消去，得.
.
令，整理得.
则.
∴直线的方程为.
化简，可得，即.
经验证，当直线的斜率不存在时，
直线的方程为或，也满足.
同理，可得直线的方程为.
∵在直线，上，∴，.
∴直线的方程为.
由，消去，得.
∴，.
∴
.
又由（i）可知当直线，的斜率都存在时，；
易知当直线或斜率不存在时，也有.
∴为圆的直径，即.
∴.
又，∴.
∴的取值范围为.
例18．（2023·山东·校联考模拟预测）已知圆为坐标原点，点在圆上运动，为过点的圆的切线，以为准线的拋物线恒过点，抛物线的焦点为，记焦点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过动点的两条直线均与曲线相切，切点分别为，且的斜率之积为，求四边形面积的取值范围．
【解析】（1）分别过作的垂线，垂足分别为，连接，
由抛物线的定义，可得，则．
因为，所以焦点的轨迹是以为焦点的椭圆，
其中，
所以抛物线的焦点的轨迹方程为
（2）设点，过点的直线的斜率为，则方程为，
联立方程组，消得，，
整理得，
，即，所以点在方程为的圆上．
设点在椭圆上，则，则，
由知，满足：
则，即，故，
从而得切线的方程为
整理得，点满足方程，则，
同理可得
即点满足方程，所以的方程为．
消得，
，，
．
设，点到直线的距离为，
；
．
所以．
变式15．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）已知椭圆的离心率为，以椭圆的顶点为顶点的四边形面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)我们称圆心在椭圆上运动且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”.过原点作椭圆的“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于两点，若直线的斜率存在，并记为，求的取值范围.
【解析】（1）由题意，得且，又，
解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）
设切线的方程为，切线的方程为，“环绕圆”的圆心D为.
由“环绕圆”的定义，可得“环绕圆”的半径为1，所以“环绕圆”的标准方程为.
因为直线与“环绕圆”相切，则由点到直线的距离公式可得：，
化简得.
同理可得.
所以是方程的两个不相等的实数根，
所以.
又因为“环绕圆”的圆心在椭圆上，所以代入椭圆方程中，
可得，解得.
所以.
又因为且，所以或.
所以或，所以或，
所以或.
所以的取值范围是.