第01讲 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 -（人教A版选择性必修三）（教师版）

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识点1 分类加法计数原理基本形式：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法注：应用分类加法计数原理应遵循的两原则（1）根据题目特点恰当选择一个分类标准.（2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，且只能属于某一类即标准明确，不重不漏.【即学即练1】某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有(　　)A．24种 B．9种 C．3种 D．26种【解析】不同的杂志本数为4＋3＋2＝9，从其中任选一本阅读，共有9种选法．故选B【即学即练2】某校高三共有三个班，各班人数如下表：(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？【解析】(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有三类不同的方案．第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．根据分类加法计算原理知，从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法．(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案．第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法．知识点2　分步乘法计数原理基本形式：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1× m2×…×mn种不同的方法注：1、如何区分“完成一件事”是分类还是分步？区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步．2、应用分步乘法计数原理解题的一般思路【即学即练3】已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是(　　)A．1 B．3 C．6 D．9【解析】这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－31，－24，4}中任取一个值y有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同的点．故选D【即学即练4】已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)．问：(1)P(a，b)可表示平面上多少个不同的点？(2)P(a，b)可表示平面上多少个第二象限的点？【解析】(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步，确定a的值，共有6种方法；第二步，确定b的值，也有6种方法．根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6×6＝36.(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步，确定a，由于a0，所以有2种不同的确定方法．根据分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数为3×2＝6.【即学即练5】现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数是(　　)A．56 B．65C.eq \f(5×6×5×4×3×2,2) D．6×5×4×3×2【解析】每位同学都有5种选择，共有5×5×5×5×5×5＝56(种)．故选A知识点3 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系和区别注：1、分类应满足：不重不漏(“不重”即各类之间没有交叉点，“不漏”即各类的并集是全集） 分步必须注意：步与步间的连续性2、用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分类还是需要分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．【即学即练6】现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？【解析】(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法．(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法．(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法．所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法．【即学即练7】现有高二四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？【解析】(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．(3)分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．知识点4 解答计数应用问题的总体思路根据完成事件所需的过程，对事件进行整体分类，确定可分为几大类，整体分类以后，再确定在每类中完成事件要分几个步骤，这些问题都弄清楚了，就可以根据两个基本原理解决问题了. 此外，还要掌握一些非常规计数方法，如：①枚举法：将各种情况一一列举出来，它适用于种数较少且计数对象不规律的情况；②转换法：转换问题的角度或转换成其他已知问题；③间接法：若用直接法比较复杂，难以计数，则可考虑利用正难则反的策略，先计算其反面情形，再用总数减去即得. 注：解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象的数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法或图表法.(2)当涉及对象的数目很大时,一般有两种方法:①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的,则按分步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行.②间接法.去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.【即学即练8】三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有______种．【答案】6【分析】根据题设列举出传递过程中中间三人的可能情况即可得结果.【详解】由题设，若三人为甲、乙、丙，传递过程如下：其中①③一定不会为甲，中间三人的可能情况为：{乙，丙，乙}、{丙，乙，丙}、{乙，甲，乙}、{乙，甲，丙}、{丙，甲，丙}、{丙，甲，乙}，共6种情况.故答案为：6【即学即练9】现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是(　　)A.120 B.140C.240 D.260【答案】　D【解析】　由题意，先涂A处共有5种涂法，再涂B处有4种涂法，然后涂C处，若C处与A处所涂颜色相同，则C处共有1种涂法，D处有4种涂法；若C处与A处所涂颜色不同，到C处有3种涂法，D处有3种涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种).故选D.考点一 分类加法计数原理解题方略：应用分类加法计数原理应注意如下问题(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事．(2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法，即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的．【例1-1】某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ）A．40种 B．20种 C．15种 D．11种【答案】D【解析】根据分类加法计数原理，不同的选法共有种．故选：D变式1：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表：如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？【答案】9.【解析】【分析】分为A大学和B大学两类专业来选，根据分类加法计算原理即可求解﹒【详解】解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，∵没有一个强项专业是两所大学共有的，∴根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数．【例1-2】设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有(　　)A．6个 B．8个C．12个 D．16个【解析】因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n.当m＝4时，n＝1,2,3；当m＝3时，n＝1,2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个)．故选A变式1：设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示焦点位于y轴上的椭圆有(　　)A．6个 B．8个C．12个 D．16个【解析】因为椭圆的焦点在y轴上，所以mn.当m＝5时，n＝1,2,3,4.当m＝4时，n＝1,2,3.当m＝3时，n＝1,2.当m＝2时，n＝1.即所求的椭圆共有4＋3＋2＋1＝10(个)．故选B【例1-3】如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y0，故f(x)＝x3＋mx＋n在R上单调递增，若函数f(x)＝x3＋mx＋n在区间[1,2]上有零点，只需满足条件f(1)≤0且f(2)≥0，所以m＋n≤－1且2m＋n≥－8，所以－2m－8≤n≤－m－1，当m＝1时，n取－2，－4，－8；当m＝2时，n取－4，－8，－12；当m＝3时，n取－4，－8，－12；当m＝4时，n取－8，－12.共11种取法，而m有4种选法，n有4种选法，则函数f(x)＝x3＋mx＋n有4×4＝16(种)情况，故函数f(x)＝x3＋mx＋n在区间[1,2]上有零点的概率是eq \f(11,16).17、用6种不同的颜色为如图所示的广告牌涂色，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色，求共有多少种不同的涂色方法？【解析】方法一　分类，第一类，A，D涂同色，有6×5×4＝120(种)涂法，第二类，A，D涂异色，有6×5×4×3＝360(种)涂法，共有120＋360＝480(种)涂法．方法二　分步，先涂B区，有6种涂法，再涂C区，有5种涂法，最后涂A，D区域，各有4种涂法，所以共有6×5×4×4＝480(种)涂法．18、“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，求第30个“渐升数”．【解析】“渐升数”由小到大排列，则1在首位，2在百位的“渐升数”有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(个)；1在首位，3在百位，4在十位的“渐升数”有5个；1在首位，3在百位，5在十位的“渐升数”有4个，此时“渐升数”有21＋5＋4＝30(个)，因此按从小到大的顺序排列，第30个“渐升数”必为1 359.19、某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：（1）每位学生每天最多选择1项；（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有______种．（用数值表示）【答案】14【详解】由题知：周一、二、三、四均可选阅读，体育在周一、三、四，编程在周一、二、四.①若周一选编程，则体育在周三或周四，故为种，阅读在剩下的两天中选为种，共有种方案.②若周二选编程，则体育在周一，周三或周四，故为种，阅读在剩下的两天中选为种，共有种方案.③若周四选编程，则体育在周一或周三，故为种，阅读在剩下的两天中选为种，共有种方案.综上，共有种方案.故答案为：20、某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如下表：现有甲､乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的.(1)若甲､乙两人共付费6元，则甲､乙下地铁的方案共有多少种？(2)若甲､乙两人共付费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？【答案】(1)24（种）(2)21（种）（1）由已知可得：甲､乙两人共付费6元，则甲､乙一人付费2元一人付费4元，又付费2元的乘坐站数有1，2，3三种选择，付费4元的乘坐站数有4，5，6，7四种选，所以甲､乙下地铁的方案共有（3×4）×2=24（种）.（2）甲､乙两人共付费8元，则甲､乙一人付费2元一人付费6元或两人都付费4元；当甲付费2元，乙付费6元时，甲乘坐站数有1，2，3三种选择，乙乘坐站数有8，9，10，11，12五种选择，此时，共有35=15（种）方案；当两人都付费4元时，若甲在第4站下地铁，则乙可在第5，6，7站下地铁，有3种方案；若甲在第5站下地铁，则乙可在第6，7站下地铁，有2种方案；若甲在第6站下地铁，则乙可在第7站下地铁，有1种方案；综上，甲比乙先下地铁的方案共有（种）.课程标准课标解读熟练掌握两个计数原理，并能灵活应用两个计数原理解决数学与生活中的计数问题，理解两个计数原理的区别与联系，掌握分类与分步的计数原则及分类标准.通过本节课的学习，要求理解与掌握两个计数原理的计数方法，能应用两个计数原理解决一些简单的实际问题.男生人数女生人数总人数高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题不同点针对的是“分类”问题不同点各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学二物理学法学工程学abcabaabacabab时间周一周二周三周四周五课后服务音乐、阅读、体育、编程口语、阅读、编程、美术手工、阅读、科技、体育口语、阅读、体育、编程音乐、口语、美术、科技乘坐站数票价（元）246………………………………………………………………………加微ABCYZXT可联系我我是一个普通的数学老师，很普通的那种！如果觉得资料好，可以联系我，分享你我！如果觉得资料好，推荐更多人受益！如果你觉得资料不好，也可以联系我，告诉我及时改进！如果想认识我，当然可以加我！如果，没有如果了……加微对接暗号：998如果您下载的资源不是完整版，就是在转发过程中，被其他人割阉了，请联系我获得完整版本！遇到就是缘分，加我可以免费送您需要的资料！只交懂数学到朋友！可以免费加Q群575131346，按要求填写信息！非诚勿扰！！