2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）第6章 反比例函数（知识归纳+题型突破）（解析版）

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2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式；
3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题.
一、反比例函数的概念
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
要点：在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式.
二、反比例函数解析式的确定
反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.
三、反比例函数的图象和性质
1.反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
要点：
观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．
①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；
②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；
③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称.
注：正比例函数与反比例函数，
当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.

2.反比例函数的性质
（1）图象位置与反比例函数性质
当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.
（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.
（3）正比例函数与反比例函数的性质比较
（4）反比例函数y＝中的意义
①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点
1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.
2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.
题型一 反比例函数的定义及有关概念
【例1】下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的定义：一般地，形如或（是常数，）的函数叫做是的反比例函数，逐项判断即可得．
【解析】解：A、是正比例函数，则此项不符题意；
B、叫做是的反比例函数，则此项不符题意；
C、，当时，是的反比例函数，则此项不符合题意；
D、是反比例函数，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数，熟记定义是解题关键．
巩固训练：
1．下列各点在反比例函数图象上的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将每个选项中点的横坐标代入反比例函数解析式中，看函数值是否一致，如果一致，说明点在函数图象上，反之则不在．
【解析】A．当时，，故该选项不正确，不符合题意；
B．当时，，故该选项不正确，不符合题意；
C．当时，，故该选项不正确，不符合题意；
C．当时，，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查点是否在反比例函数图象上，掌握反比例函数变量的求法是解题的关键．
2．下列问题中的两个变量是成反比例的是（ ）
A．被除数（不为零）一定，除数与商B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量
C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间
【答案】A
【分析】形如（为常数，）的函数称为反比例函数．看两个变量是否具有反比例关系，主要看它们的乘积是否为非零的常数．依据判断方法逐项分析即可．
【解析】解：A．被除数（不为零）一定，除数与商是反比例函数的关系，故此选项符合题意；
B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量是正比例函数的关系，故此选项不符合题意；
C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长是一次函数的关系，故此选项不符合题意；
D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间是正比例函数的关系，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数，正确区分正比例函数与反比例函数是解题关键．判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系．
3．下列函数表达式中，表示是的反比例函数的有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据反比例函数的定义逐项判断即可．
【解析】解：（1）不符合反比例函数的形式，是正比例函数；
（2）可变形为，符合反比例函数的形式，是反比例函数；
（3）因为，所以，，可变形为，符合反比例函数的形式，是反比例函数；
（4）可变形为，符合反比例函数的形式，是反比例函数；
（5）不符合反比例函数的形式，不是反比例函数；
（6）不符合反比例函数的形式，不是反比例函数．
综上所述，是反比例函数的为（2）（3）（4）共3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数的定义（形如的函数叫做反比例函数），牢记反比例函数的定义是解题的关键．
4．已知关于x的反比例函数，则m的值为 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数的定义得到，，即可求得m的值．
【解析】解：∵是反比例函数，
∴，，
∴且，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了反比例函数，形如的函数是反比例函数，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
5．如果是反比例函数，那么的值是 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数的定义得到，求解即可得到答案．
【解析】解：是反比例函数，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
题型二 反比例函数的图像与性质
【例2】关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．函数图像分别位于第一、三象限B．函数图像经过点
C．函数图像过，则D．函数图像关于原点成中心对称
【答案】C
【分析】根据可得函数图像分别位于第一、三象限，由此可判断A、C；根据当时，即可判断B；根据反比例函数图像的特点即可判断D．
【解析】解：∵在反比例函数中，，
∴函数图像分别位于第一、三象限，故A说法正确，不符合题意；
当时，，即函数图像经过点，故B说法正确，不符合题意；
∵函数图像过，，
∴，故C说法错误，符合题意；
反比例函数的函数图像关于原点成中心对称，故D说法正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质，反比例函数图像与系数的关系等等，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键．
巩固训练：
1．在同一坐标系中，函数和的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分两种情况讨论：当时和当时，分析反比例函数所在象限和一次函数经过的象限，即可获得答案．
【解析】解：当时，函数的图像位于第一、三象限，经过第一、二、四象限；
当时，函数的图像经过第二、四象限，经过第一、二、三象限．
综上所述，选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数图像的识别，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键．
2．若点，，是反比例函数图像上的三个点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数所在象限为二、四，其中在第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，结合反比例函数的增减性，进而判断在同一象限内的点和点的纵坐标的大小即可．
【解析】解：反比例函数的系数为，
图像的两个分支在二、四象限，该函数随的增大而增大，
第四象限的点纵坐标总小于第二象限的纵坐标，
点在第二象限，，在第四象限，
最大，
该函数随的增大而增大，，
，
，
故选：．
【点睛】考查反比例函数图像的性质，反比例函数图像上的点的特征，用到的知识点为，反比例函数的比例系数小于，图像的个分支在二、四象限；第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标；在同一象限内，随的增大而增大．
3．关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图像经过点B．函数图像位于第一、三象限
C．函数值随着的增大而增大D．当时，
【答案】D
【分析】根据反比例函数的图象及其性质即可求解．
【解析】、点不在它的图象上，不符合题意；
、它的图象在第二、四象限，不符合题意；
C、在每个象限内，随的增大而增大，不符合题意；
D、当时，，正确，符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了反比函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4．反比例函数的图象上有一点，当，则的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】依据题意，由点在反比例函数图象上，点的纵坐标，从而可以得解．
【解析】解：由题意，由，
当时，
．
当时，或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并理解．
5．若反比例函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据图象在坐标平面内的位置：不经过第一象限，则，解之即可求得的取值范围，从而求解．
【解析】解：反比例函数的图象不经过第一象限，
则经过二四象限，
∴．
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象性质，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．
6．在平面直角坐标系中，对于每一象限内的反比例函数图像，的值都随值的增大而增大，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数的性质得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【解析】解：对于每一象限内的反比例函数图像，的值都随值的增大而增大，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键．
7．在函数(m为常数)的图象上有三个点，，，则函数值的大小关系是( )．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【解析】解：∵在函数（为常数）中，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
题型三 反比例函数有关的面积问题
【例3】如图，过双曲线上任意一点分别作轴，轴的垂线，，交轴、轴于点、，所得矩形的面积为8，则的值是（ ）

A．4B．C．8D．
【答案】D
【分析】设点P坐标为，则，根据矩形的面积为8，得出，即可得出k的值．
【解析】解：设双曲线表达式为，
设点P坐标为，
∵轴，轴，
∴，
∵矩形的面积为8，
∴，则，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，解题的关键是掌握过反比例函数图象上的点作两坐标轴的垂线，组成的矩形面积为．
巩固训练：
1．函数与的图象如图所示，点C是y轴上的任意一点．直线平行于y轴，分别与两个函数图象交于点A、B，连接．当从左向右平移时，的面积是 ．

【答案】
【分析】设线段，则可表示出，再根据三角形的面积公式得出的面积，代入数值计算即可．
【解析】解：设直线与x轴的交点为P，
设，则， ，
∵，
∴
＝
＝
故答案为：．

【点睛】此题考查了反比例函数的k的几何意义，三角形的面积公式，解答本题的关键是表示出线段的长度，难度一般．
2．如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值为 ．

【答案】4
【分析】过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，设B点坐标为，则，由点B为的中点，推出C点坐标为，求得直线的解析式，得到A点坐标，根据的面积是6，列式计算即可求解．
【解析】解：过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，

∴，
∴，
∴，
设B点坐标为，则，
∵点B为的中点，
∴，
∴，
∴C点坐标为，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴A点坐标为，
根据题意得，
解得，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质、相似三角形的判定及性质、求一次函数解析式、坐标与图形，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的性质．
3．点，是反比例函数上关于原点对称的任意两点，平行于轴，交轴于点，平行于轴，交轴于点，设四边形的面积为，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积可知，，再根据反比例函数的对称性可知，为中点，则，，进而求出四边形的面积．
【解析】解：，是函数的图象上关于原点对称的任意两点，且平行于轴，平行于轴，
，
假设点坐标为，则点坐标为，
则，
，，
四边形面积．
故选：C
【点睛】此题主要考查了反比例函数中比例系数的几何意义，难易程度适中．过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积．
4．如图，点是反比例函数图像上的点，点分别在x轴，y轴正半轴上．若四边形为菱形，轴，，则k的值（ ）

A．3B．6C．12D．24
【答案】B
【分析】连接，过点作轴于点，由菱形的性质及面积可得出，证得四边形为矩形，得出，则可得出答案．
【解析】解：连接，过点作轴于点，

四边形是菱形，
，，
，
，
，
轴，轴，
，
四边形为矩形，
，
，
，
故选：B
【点睛】本题考查反比例函数图象点的特点，菱形的性质和面积．熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．
5．如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点A在轴的正半轴上，，点在轴的负半轴上，，连接，过点A作交轴于点，点在直线上，连接，．若的面积为4.5，则的值为 ．

【答案】3
【分析】根据同底等高把面积进行转化，再根据的几何意义，从而求出的值．
【解析】解：因为，依据同底等高的原理，的面积等于的面积，
设，则，
解得，
所以．
故．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，关键是根据同底等高把面积进行转化．
题型四 反比例函数与不等式
【例4】．如图，反比例函数的图像经过点，一次函数的图像经过点且与反比例函数图像的另一个交点为．

(1)求一次函数与反比例函数的解析式，并在图中画出该一次函数的图像；
(2)结合图像，直接写出不等式组的解集_________．
(3)把的图像向下平移4个单位长度，若平移后的直线与反比例函数的图像在第三象限交于点，求的面积．
【答案】(1)反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为，在图中画出该一次函数的图像见解析
(2)或
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可得到答案，然后作出图像即可；
（2）不等式组的解集，数形结合，是指直线图像在反比例函数图像上方的部分对应的自变量的取值范围；
（3）根据函数图像平移，得到直线解析式，求出，再由平面直角坐标系中三角形面积求法求解即可得到答案．
【解析】（1）解：∵反比例函数的图像经过点，
∴，
∴反比例函数的关系式为，
当时，，即点，
∵一次函数的图像经过点，点，
∴，解得，
∴一次函数的关系式为，
作图如下：

（2）解：如图所示：

不等式组的解集：或，
故答案为：或；
（3）解：如图所示：

把的图像向下平移4个单位长度，得到，
直线与反比例函数的图像在第三象限交于点，
，
．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、利用函数图像解不等式、平面直角坐标系中求三角形面积等，熟练掌握一次函数与反比例函数图像与性质是解决问题的关键．
巩固训练：
1．如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点，一次函数的图象与轴和轴分别交于，两点，过点作轴于点，连接，，且．
(1)直接写出的值以及，的坐标；
(2)根据图象直接写出：当时x的取值范围；
(3)求的面积．
【答案】(1)，，
(2)或
(3)3
【分析】（1）根据反比例函数的几何意义，由，求得的值，继而得出反比例函数与一次函数的解析式，联立解析式求得点的坐标；
（2）根据一次函数与反比例函数图象，找到反比例函数在直线上方部分的自变量取值范围即可求解；
（3）先根据一次函数解析式，求得点的坐标，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【解析】（1）解：∵，轴，且反比例函数图象在第一，三象限，
∴，
∴反比例数解析式为，一次函数解析式为：
联立
解得：或
∴，．
∴，，．
（2）∵，，根据反比例函数与一次函数的图象可知：
当时，或
（3）由，令，解得：，
∴点D坐标为，即
．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，解一元二次方程，求直线围成的三角形面积，掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．
题型五 反比例函数的图像与性质的综合分析
【例5】．已知点与点在反比例函数的图象上，( )
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征研究反比例函数的性质即可判断．
【解析】解：A、若，则反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，
∵，
∴，
∴点与点在第一象限，
∴，故选项A错误；
B、若，则反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，
∵，
∴，
∴点与点在第三象限，
∴，故选项B错误；
C、若，则反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大，
∵，
∴，
∴点在第二象限，
∴，不合题意，故选项C错误；
D、若，则反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大，
∵，
∴，
∴点在第二象限，点在第四象限，
∴，
∴，故选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
巩固训练：
已知点，，在反比例函数的图象上，，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质可知，函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小，对选项逐一进行分析，即可得到答案．
【解析】解：反比例函数，
函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小，
A、若，则或，
当时，；当时，，
原结论不一定成立，不符合题意，选项错误；
B、若，则
，原结论不成立，不符合题意，选项错误；
C、若，则或，
，原结论一定成立，符合题意，选项正确；
D、若，则或或，
当或时，；当时，，
原结论不一定成立，不符合题意，选项错误，
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题关键是掌握当比例系数时，函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小；当比例系数时，函数图象在第二、四象限内，且在每个象限内，随的增大而增大．
2．如图，在反比例函数的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则（ ）

A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】先求出和的坐标，得出，，根据即可求解．
【解析】解：把代入得：，
∴，
∴，
把代入得：，
∴，
∴，
由图可知：，
，
故选：C．

【点睛】本题主要考查了反比例函数k值的几何意义，解题的关键是掌握过反比例函数图像上的点，作x轴和y轴的垂线，围成的矩形面积等于．
3．在同一坐标系中，若正比例函数与反比例函数的图象没有交点，则与的关系，下面四种表述：①；②；③；④或．正确的有( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】根据题意得出和异号，再分别判断各项即可．
【解析】解：∵同一坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象没有交点，
若，则正比例函数经过一、三象限，则反比例函数经过二、四象限，则，
若，则正比例函数经过二、四象限，从而反比例函数经过一、三象限，则，
综上：和异号，
①∵和的绝对值的大小未知，故不一定成立，故①错误；
②∵和异号，则，故②正确；
③，故③正确；
④或，故④正确；
故正确的有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的图象，绝对值的意义，解题的关键是得到和异号．
题型六 反比例函数的实际应用
【例6】．某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积成反比例．当气体的体积时，气球内气体的压强．
(1)当气体的体积为时，它的压强是多少？
(2)当气球内气体的压强大于时，气球就会爆炸．问：气球内气体的体积应不小于多少气球才不会爆炸？
【答案】(1)当气体的体积为时，它的压强是
(2)当气球内气体的体积应不小于时，气球才不会爆炸
【分析】（1）先求出气球内气体的压强与气体的体积的反比例函数关系式，然后代入进行求解即可；
（2）先求出当时，的值，再根据反比例函数的性质求解即可．
【解析】（1）解：设，
由题意得：，
∴，
∴，
∴当时，，
∴当气体的体积为时，它的压强是；
（2）解：当时，，
∵，
∴V随p的增大而增大，
∴要使气球不会爆炸，则，
∴当气球内气体的体积应不小于时，气球才不会爆炸．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意得到是解题的关键．
题型七 反比例函数综合解答题
【例7】．如图，已知，是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)6
(3)或
【分析】（1）先把代入求得，再把A点坐标代入求得，从而求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数解析式，即可求出结果；
（2）先求出一次函数与x轴的交点C的坐标，然后利用，进行计算即可；
（3）根据可知，即一次函数的图象在反比例函数图象上方，再根据图象即可求得结果．
【解析】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
，即，
∴反比例函数解析式为：，
∵点在反比例函数的图象上，
，
∴点A的坐标为，
、在一次函数的图象上，可得：
，解得，
∴一次函数解析式为：．
（2）解：如图，一次函数的图象与x轴交于点，
，
．
（3）解：，
，
∴由图象可知，x的取值范围是：或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、用待定系数法求一次函数解析式及观察函数图象的能力，求点A、C的坐标是解题的关键．
巩固训练：
1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与y轴交于点B，与x轴交于点．

(1)求b与m的值；
(2)为x轴上一点，连接AP，当的面积为9时，求a的值．
【答案】(1)的值为2，的值为6
(2)=2或
【分析】（1）把代入可得的值，进而可求出一次函数解析式，得到点A 的坐标，再将点A的坐标代入反比例解析式即可求得的值；
（2）确定与点的坐标之间的等量关系即可求解．
【解析】（1）解：把代入得：
解得，
∴．
把A代入得：
解得，
∴．
把代入得=6．
故的值为2，的值为6．
（2）解：由（1）可知，．
∵为轴上一动点，
∴，
∴，
解得或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题．掌握待定系数法求解函数解析式、用点的坐标表示图形面积是解题关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过，
两点．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)直线分别交x轴、y轴于两点．
①请用无刻度的直尺和圆规，作出的平分线，交直线于点P；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
②求出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①见解析；②
【分析】（1）由“反比例函数的图象经过，”即可求解；
（2）①按照角平分线的尺规作图方法即可作出点；②分别求出直线和直线的解析式即可．
【解析】（1）解：∵反比例函数的图象经过，
∴
解得：
∴反比例函数的表达式
（2）解：①如图所示：

②由（1）得：，
设直线的解析式为：
则
解得：
∴直线的解析式为：
∵，平分
∴点在一、三象限的角平分线上
∴直线的解析式为：
联立得：
∴点P的坐标为
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式、一次函数的解析式、尺规作图等．掌握相关结论是解题关键．
3．为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0．环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y与时间天的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
(1)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度在第几天降为？
【答案】(1)；
(2)；
(3)第15天
【分析】（1）设线段的函数表达式为：，把A、B两点坐标代入求出k、b的值即可；
（2）设函数的表达式为：，把B点坐标代入，求出k的值即可；
（3）令，即可得知企业所排污水中硫化物的浓度在第15天降为．
【解析】（1）解：设线段的函数表达式为，
∵在线段上，
∴将A，B两点坐标代入函数表达式，
得，解得，
∴当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为；
（2）解：∵，
∴当时，与成反比例，
设函数的表达式为：，
将点B代入得：，
解得：，
∴当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为；
（3）解：令．
解得．
∴该企业所排污水中硫化物的浓度在第15天降为．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合应用，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关键．
4．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一搬，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题，新结论的重要方法．在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题：

如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴负半轴，顶点在轴正半轴，，分别在的中点，反比例函数的图象经过，两点，连接，，四边形的面积为．
(1)__________________．直线的表达式为__________________
(2)如图2，为该反比例函数图象上任意一点，过点作轴交直线于点，请猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，延长交反比例函数的图象于点，过点作直线于，过点作直线于，试判断的值是否为定值，若是，请直接写出定值；若不是．请说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析．
(3)
【分析】（1）设正方形的边长为，根据可求得的数值，采用待定系数法，即可求得答案．
（2）过点作，交（或的延长线）于点，可先用含，的代数式表示出，然后根据勾股定理计算出，即可求得与的数量关系．
（3）过点作轴交直线于点，则，可证得为等腰直角三角形，求得，同理可求得．
【解析】（1）设正方形的边长为．根据题意，得：
．
解得：，(舍去)．
所以，点的坐标为．
因为反比例函数的图象经过点，
所以．
解得：．
根据题意可知，点的坐标为，点的坐标为．
设直线的表达式为．
因为的图象过点，，所以
解得
所以，直线的表达式为．
故答案为： ，；
（2），理由如下：
如图所示，过点作，交（或的延长线）于点．

因为反比例函数的图象经过点，
所以．
∴．
根据题意可知，点的纵坐标为．
将代入直线的表达式，得
．
解得．
所以，点的坐标为．
所以，．
所以，．
根据题意可知，．
所以，．
所以，．
所以，．
（3），理由如下：
如图所示，过点作轴交直线于点．

根据（2）的证明过程可知．
∵轴，
∴．
∴为等腰直角三角形．
∴．
∴．
∴．
同理可得．
∴．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、反比例函数、一次函数、勾股定理、平面直角坐标系等，能根据题意构建辅助线是解题的关键．
5．【探索发现】
如图1，四边形、、都是边长为1的正方形，
在下列角中：①∠DAF，②，③，④，试确定与图中的和为45°的角有______．（填写对应序号）
【问题解决】
如图1，在线段上取点I，使得为，则______．

【拓展应用】
如图2，反比例函数和的图象分别是和．射线交于点A，射线交于点B，且，连接．
（1）如图3，当轴时，
①求点A的坐标；
②在y轴上找一点P，使得时，直接写出点P的坐标______．
（2）在如图，将绕点O旋转，射线始终在第一象限，在旋转的过程中，直接写出的面积为时点A的坐标______．
【答案】【探索发现】①③；【问题解决】13；【拓展应用】（1）①点A的坐标为1,2；②0,103或0,−10；（2）4,12或12,4
【分析】探索发现：如图，由正方形性质及外角定理得∠DAF+∠AFB=∠ADB=45°，由勾股定理，AD=2，可证△DAH∼△DFA，得∠DHA=∠DAF，于是∠AHB+∠AFB=45°，得出答案；
问题解决：如图，∠IAF=45°，则∠BAI+∠FAG=45°，可证∠BAI=∠BHA，于是△BAI∼△BHA，从而BIBA=BABH=13，得出结论BI=13BA=13；
拓展应用：（1）如图3，当AB∥x轴时，①设A(2n,n)，B(−8n,n)(n>0)，则由勾股定理，OA2+OB2=AB2，所以n2+4n2+n2+64n2=(10n)2，求解得A(1,2)；②两种情况，如图，∠PBO=45°,点P在正半轴,如图BP与OA的延长线交于点C,过点C作CE⊥x轴，点B作BD⊥x轴，垂足分别为点E,D,求证△BDO≅△OEC，得CE=OD,OE=BD，由A(1,2),AB∥x知，B(−4，2)，C(2,4)，待定系数法求BC解析式为y=13x+103，从而求得P(0,103)；如图，∠PBO=45°,点P在负半轴,延长AO,交BP于点C,过点C作CF⊥y轴,垂足为F,则△OBC是等腰直角三角形,OB=OC，同前一种情况,可证△GOB≅△FCO，可得C(−2,−4),待定系数求BC解析式为y=−3x−10，从而求得P(0,−10)；
（2）如图，分别过点B，A作BC⊥x轴, AF⊥x轴，垂足为C, F，可知 S△OAF=1,S△OBC=4，求证△BCO∼△OFA，得(COFA)2=(BCOF)2=S△OBCS△OAF=4，于是CO=2FA，BC=2OF，设A(2m,m)，得S△OAB=S梯形BCFA−S△OBC−S△OAF=654，即(m2+4)(m2+1)m2−4−1=654，解得m=12或m=4，2m=4或2m=12，于是A4,12或12,4．
【解析】解：【探索发现】，如图，正方形ABDC中，∠ADB=45°
∴∠DAF+∠AFB=∠ADB=45°
由勾股定理，AD=AD2+BD2=2，
∵DADF=2 ，DHDA=22=2
∴DADF=DHDA
而∠FDA=∠ADH
∴△DAH∼△DFA
∴∠DHA=∠DAF
∴∠DHA+∠AFB=45°即∠AHB+∠AFB=45°
根据图中角的位置关系，可知其它两角不符合条件，
故选：①③；

【问题解决】如图，∠IAF=45°
∴∠BAI+∠FAG=90°−∠IAF=45°
∵AG∥BH
∴∠FAG=∠AFB
∵∠DHA+∠AFB=45°
∴∠DHA+∠FAG=45°
∴∠BAI=∠DHA=∠BHA
∴△BAI∼△BHA
∴BIBA=BABH=13
∴BI=13BA=13

【拓展应用】（1）如图，当AB∥x轴时，
①设A(2n,n)，B(−8n,n)(n>0)，则OA2=(2n)2+n2=n2+4n2，OB2=(−8n)2+n2=n2+64n2，
AB=2n−−8n=10n，
∵∠MON=90°
∴OA2+OB2=AB2
∴n2+4n2+n2+64n2=(10n)2，解得n=2，2n=1
∴A(1,2)

②两种情况，如图，∠PBO=45°,点P在正半轴,
如图BP与OA的延长线交于点C,过点C作CE⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，垂足分别为点E,D,
∵∠PBO=45°,∠BOC=90°
∴∠OCB=∠OBC=45°
∴OB=OC
∵∠DBO+∠DOB=90°，∠DOB+∠EOC=90°
∴∠DBO=∠EOC
又∠BDO=∠OEC=90°
∴△BDO≅△OEC
∴CE=OD,OE=BD
由A(1,2),AB∥x知，B(−4，2)
∴CE=OD=4，OE=BD=2，即C(2,4)
设直线BC解析式为y=kx+b(k≠0),则
−4k+b=22k+b=4,解得k=13b=103
∴y=13x+103
x=0时,y=103
∴P(0,103)
,
如图，∠PBO=45°,点P在负半轴,延长AO,交BP于点C,过点C作CF⊥y轴,垂足为F,
则△OBC是等腰直角三角形,OB=OC

同前一种情况,可证△GOB≅△FCO，而B(−4，2)
∴OF=BG=4，CF=OG=2
∴C(−2,−4),
设直线BC解析式为y=px+q(p≠0)，则
−2p+q=−4−4p+q=2解得p=−3q=−10
∴y=−3x−10
x=0时，y=−10
∴P(0,−10)
综上, P(0,103)或P(0,−10)
（2）如图，分别过点B，A作BC⊥x轴, AF⊥x轴，垂足为C, F，

∵点A，点B在反比例函数y=2xx>0和y=−8xx0)，则FA=m，OF=2m，CO=2m，BC=4m，
∴S梯形BCFA=12(4m+m)(2m+2m)=(m2+4)(m2+1)m2
而，S△OBC=82=4，S△OAF=22=1
∴S△OAB=S梯形BCFA−S△OBC−S△OAF=654
即(m2+4)(m2+1)m2−4−1=654，解得4m4−65m2+16=0，m2=14或m2=16
∴m=12或m=4，2m=4或2m=12
∴A4,12或12,4
【点睛】本题考查反比例函数性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，结合条件添加辅助线，构造全等三角形、相似三角形寻求线段之间的关系是解题的关键．

正比例函数
反比例函数
解析式
图 像
直线
有两个分支组成的曲线（双曲线）
位 置
，一、三象限；
，二、四象限
，一、三象限
，二、四象限
增减性
，随的增大而增大
，随的增大而减小
，在每个象限，随的增大而减小
，在每个象限，随的增大而增大
时间x(天)
3
5
6
8
……
硫化物的浓度
4
2.4
2
1.5
……