山东省威海市乳山市银滩高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选1-8，每题5分，共40分.
1. 一个做直线运动的质点的位移与时间的关系式为，则该质点的瞬时速度为时，（）
A. B. C. D.
2. 已知函数在点处的切线方程为，则（）
A. B. C. D.
3. 若函数在处可导，则等于（）
A B. C. D.
4. 已知函数在处取得极大值，则（）
A. 2B. 6C. 2或6D. 或6
5. 函数的单调减区间为（）
A. B. C. D.
6. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则（）
A. B. C. 1D. 2
7. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，则（）
A. B.
C. D.
8. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（）
A. B. C. D.
二、多选9-11，每题6分，共18分.
9. 下列求导运算正确的是（）
A. B.
C D.
10. 关于函数，下列说法正确的有（）
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数上单调递增，在上单调递减
C. 若方程恰有一个实数根，则
D. 若，都有，则
11. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，此定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个实数，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点.现新定义：若满足，则称为的次不动点.设函数，若在区间上存在次不动点，则的取值可以是（）
A. B.
C. D.
三、填空12-14，每题5分，共15分.
12. 若函数的导函数为，且满足，则__________．
13. 烧水时，水温随着时间的推移而变化.假设水的初始温度为，加热后的温度函数（是常数，表示加热的时间，单位：min），加热到第10min时，水温的瞬时变化率是_________.
14. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为__________.
四、解答题15-19，共77分.
15. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的极值.
16. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；
（2）求函数的单调区间．
17. 已知函数在处取得极小值5．
（1）求实数a，b值；
（2）当时，求函数的最小值．
18. 已知函数．
（1）求的最小值；
（2）设，证明：
19. 设，函数.
（1）若，求值；
（2）求证：恰有1个极小值点，恰有1个零点：
（3）若是的极值点，是的零点，求证：.