福建省长汀县第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考试卷数学试卷

这是一份福建省长汀县第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考试卷数学试卷，共11页。试卷主要包含了已知，则的虚部为，已知向量和的夹角为，则等于，在中，，则的面积为，已知复数，下列结论正确的有，已知向量，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 总分：150分）
一､单选择：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1､若，则的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则的虚部为（ ）
A.4 B.2 C.-2 D.-4
3.已知向量和的夹角为，则等于（ ）
A.15 B.12 C.6 D.3
4.在中，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
5.已知是平面内两个不共线的向量，，，且三点共线，则（ ）
A. B.2 C.4 D.
6.已知锐角的内角的对边分别为，，则等于（ ）
A.10 B.9 C.8 D.5
7.如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，则的值为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
8.如图，点是半径为1的扇形圆弧上一点，，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.4
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知复数，下列结论正确的有（ ）
A.若，则
B.若，则
C.
D.若，则的最大值为3
10.已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若与的夹角为钝角，则的取值范围是
C.若，则
D.若在方向上的投影为，则
11.在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.当时，最小值为
C.当有两个解时，的取值范围是
D.当为锐角三角形时，的取值范围是
12.已知，若点满足，则下列说法正确的是（ ）
A.点一定在内部 B.
C. D.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，若，则__________.
14.三角形中，，则的边长为__________.
15.如图，在等腰梯形中，，则__________.
16.在中，内角所对的边分别为，三条中线相交于点.已知的平分线与相交于点.
（1）边上的中线长为；
（2）与面积之比为；
（3）到的距离为；
（4）内切圆的面积为.
上述四个结论，其中所有正确的序号为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知向量满足.
（1）求与的夹角的余弦值；
（2）求；
18.（12分）如图，在平面四边形中，，
（1）求边的长；
（2）求的面积.
19.（12分）某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东点北偏西，这时位于点南偏西且与相距80海里的点有一救援船，其航行速度为35海里/小时.
（1）求点到点的距离；
（2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.
20.（12分）如图，在中，为边上一点且.
（1）若，求的面积；
（2）求的取值范围.
21.（12分）在中，角所对的边分别为，且满足.
（1）求角；
（2）已知点为的中点，点在线段上且，点为与的交点，求的余弦值.
22.（12分）在中，角所对的边分别为为边上的中线，点分别为边上动点，交于.已知，且.
（1）求边的长度；
（2）若，求的余弦值；
（3）在（2）的条件下，若，求的取值范围.
长汀一中2026届高一下学期第一次月考
数学参考答案
1-8BBBB DDAB
9.BCD 10.AD 11.BD 12.ABC
12.由，所以，设分别是的中点，所以，于是点是中位线上靠近点的三等分点，则点一定在内部，故正确；
又，所以，则，故正确；
由A可知，且，
所以，即，故C正确；
所以，故D错误；故选：
13. 14. 15. 16.（2）（3）（4）
16.对于（1），如图，在中，，
在中，，所以，
得到，所以（1）错误；对于（2），
因为，又，所以，
又，得到，所以（2）正确；
对于（3），因为三条中线相交于点为，由（1）知，所以，
又在中，，
所以，故到的距离为
，所以（3）正确；对于（4），设内切圆的半径为，
又因为，
所以，
又，所以，得到，
所以，内切圆的面积为，所以（4）正确，
故答案为：（2）（3）（4）.
17.【详解】（1），
；
（2）由（1）知，
；
18.【详解】（1）在中，，由正弦定理得
.
（2）在中，由余弦定理得
.
.
.
19.（1）由题意知：，
所以，
在中，由正弦定理可得：即，
所以（海里）；
（2）在中，，
由余弦定理可得：
，
所以海里，所以需要的时间为（小时）.
20.（1），在中，，
解得：，易知为锐角，
，
（2）在中，，得：，
在中，，得：，
，
，
，
故的取值范围为.
21.（1）由，得，
又
所以，
又，所以，
所以，即，
又，所以；
（2）点为的中点，，
又，
，
，
，
.
22.（1）由已知，
由正弦定理角化边可得，.由余弦定理角化边可得，
，整理可得，，即.因为，所以.
（2）因为为中点，所以.
设的夹角为，则
.
又，
所以，
整理可得，解得或.
又，所以，所以，所以的余弦值为.
（3）由（2）可得，.
由已知可设，
所以.
因为，所以.
由可得，，即.
由三点共线，得，即.所以
.
因为，所以，即，所以，
所以，即，即，
所以，所以，
所以的取值范围为.