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    河南省开封市五县部分校2023-2024学年高一下学期3月联考数学试题

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    河南省开封市五县部分校2023-2024学年高一下学期3月联考数学试题

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    这是一份河南省开封市五县部分校2023-2024学年高一下学期3月联考数学试题,共10页。试卷主要包含了已知向量,若,则实数的值是,已知,则的大小关系是,若在三角形中,,则,下列命题,下列说法中正确的有等内容,欢迎下载使用。
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.已知向量,若,则实数的值是( )
    A. B.-4 C. D.4
    2.已知,则的大小关系是( )
    A. B.
    C. D.
    3.若在三角形中,,则( )
    A. B.
    C. D.
    4.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取两点(三点共线),从两点分别测得树尖的仰角为,且两点之间的距离为,则树的高度为( )
    A. B. C. D.
    5.下列命题:①若向量均为单位向量,则;
    ②若向量满足,则;
    ③向量的充要条件是且;
    ④是不共线的四点,则“”是“四边形为平行四边形”的充要条件;
    ⑤若向量满足,则.
    其中,真命题的个数是( )
    A.2 B.3 C.0 D.1
    6.在中,是三角形内一点,如果满足,则点的轨迹一定经过的( )
    A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
    7.若函数在上恰有两个零点,则的取值范围为( )
    A. B. C. D.
    8.海伦不仅是古希腊的数学家,还是一位优秀的测绘工程师.在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式,即著名的海伦公式,这里分别为的三个角所对的边,该公式具有轮换对称的特点,形式很美.已知中,,则该三角形内切圆半径( )
    A. B. C. D.
    二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9.已知函数,其部分图象如图所示,则下列关于的结论正确的是( )
    A.
    B.在区间上单调递减
    C.的图象关于直线对称
    D.的图象向右平移个单位长度可以得到函数图象
    10.下列说法中正确的有( )
    A.在中,若,则为锐角
    B.已知,且与夹角为锐角,则的取值范围是
    C.若非零向量满足,则与的夹角是
    D.已知在上的投影向量为且,则
    11.在中,内角的对边分别为,下列说法中正确的是( )
    A.若为锐角三角形,则
    B.若,则为等腰三角形
    C.若,则为直角三角形
    D.若,则解的个数为0
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.已知向量是两个不共线的向量,与共线,则__________.
    13.在中,已知的平分线,则的面积为__________.
    14.已知为等腰直角三角形,,圆为的外接圆,,则__________;若为圆上的动点,则的最大值为__________.
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15.(13分)如图,在平行四边形中,,令.
    (1)用表示;
    (2)若,且,求.
    16.(15分)已知平面向量,函数.
    (1)求不等式的解集;
    (2)求函数在上的单调区间;
    17.(15分)在中,分别为内角的对边,且.
    (1)求;
    (2)设点是边的中点,若,求的取值范围.
    18.(17分)如图,在梯形中,,点是线段上的两个三等分点,点,点是线段上的两个三等分点,点是直线上的一点.
    (1)求的值;
    (2)求的值;
    (3)直线分别交线段于两点,若三点在同一直线上,求的值.
    19.(17分)某公园计划改造一块四边形区域铺设草坪,其中百米,百米,,草坪内需要规划4条人行道以及两条排水沟、,其中分别为边的中点.
    (1)若,求的余弦值;
    (2)若,求排水沟的长;
    (3)若,试用表示4条人行道的总长度.
    2023-2024学年五县联考高一年级
    数学学科答案
    一、选择题(单选题和多选题)
    二、填空题
    三、解答题
    15.解(1)因为,且是平行四边形,
    所以,
    所以,
    所以,
    所以.
    (2)由(1)知,
    又,
    所以,即,
    又,即,
    上面两式联立解得,
    所以.
    16.解(1)由题意,得

    由,得,
    所以,
    解得,
    所以不等式的解集为.
    (2)由(1)知
    令,
    解得,
    又,所以.
    所以在上的单调递增区间为,

    解得,
    又,所以,
    所以函数在上的单调递减区间为.
    17.解(1)因为,
    所以,
    又因为,
    所以上式可化为:
    ,即,
    因为为的内角,所以,
    所以即,
    因为为的内角,所以.
    (2)因为为边得中点,所以,
    因为,
    所以
    即,
    因为,当且仅当时等号成立,
    所以,即的取值范围是.
    18.解(1)设,
    ,且
    ,即.
    (2),

    .
    (3)由条件可设,
    因为,
    所以,
    因为,
    所以,
    因为三点共线,所以,
    故,解得,
    所以,
    因为,
    所以,
    因为,所以,即,
    从而,所以.
    注:用相似三角形解题的方法酌情给分(可调整前两问的分数占比).
    19.解(1)百米,百米,,
    在直角三角形中,百米,

    又百米,
    在等腰直角三角形中,百米,,
    .
    的余弦值为.
    (2)由第(1)问,当时,
    在三角形中,

    百米.
    排水沟的长为百米.
    (3)设,
    分别为边的中点,
    百米,,
    百米,,
    在三角形中,由余弦定理得,
    由正弦定理,

    连接为边的中点,

    在三角形中,,
    由余弦定理得
    在三角形中,,
    由余弦定理得
    题号
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    11
    答案
    C
    A
    B
    A
    D
    B
    C
    D
    AC
    CD
    ACD
    题号
    12
    13
    14
    答案

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