河南省周口市恒大中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

这是一份河南省周口市恒大中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题，共19页。试卷主要包含了已知，则，若，则此函数可能是等内容，欢迎下载使用。
试卷考试时间：120分钟 满分：150

第I卷（选择题）
单项选择题（每小题5分，共40分）
1．设等差数列的前项和为，若，则满足时正整数的最小值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
2．已知是双曲线上一点，为左、右焦点，且，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知，则（ ）
A．-3B．-6
C．3D．6
4．已知点是棱长为2的正方体的底面上一点（包括边界），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．若，则此函数可能是( )
A．B．
C．D．
6．直三棱柱中，，、分别是、的中点，，则与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列是单调递增数列，，，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．设曲线在点P(3，2)处的切线与直线平行，则=
A．2B．－2C．D．
二．多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9．已知抛物线的焦点为，准线为，直线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则（ ）
A．若，则B．
C．D．面积的最小值为16
10．已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为.若双曲线的离心率，则下列说法正确的是（ ）
A．以为直径的圆与直线相切
B．
C．在直线上
D．的范围是
11．如图，正方体的棱长为1，设，则下列各式的值为1的有（ ）
A．B．
C．D．
12．若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是（ ）
A．若，则为椭圆
B．若为椭圆，且焦点在轴上，则
C．曲线可能是圆
D．若为双曲线，则
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．数列满足，且与的等差中项是5，则 ；
14．已知函数，若函数恰有一个实根，则实数的取值范围是
15．若圆与圆相切，则的值为
16．已知数列的前n项和，则的最大值为 .
四、解答题（共6小题，共计70分.第17题10分，第18---22题，每题12分）
17．在平面直角坐标系中，已知圆O：和圆．
(1)若圆O与圆C关于直线l对称，求直线l的方程；
(2)若圆O上恰有三个点到直线的距离都等于1，求b的值.
18．已知圆C经过点，，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点向圆C引两条切线PD，PE，切点分别为D，E，求切线PD，PE的方程，并求弦DE的长．
19．已知函数，.求的单调区间.
20．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：.
21．设数列的前项和为，___________从①；②；③数列是各项和均为正数递增数列，，成等差数列；这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答以下两个问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为
22．已知函数，且.
（1）求函数的极值；
（2）当时，证明：.
参考答案：
1．C
【分析】根据可得，，，由此可以求出满足的正整数的最小值.
【详解】∵等差数列的前项和为，且，
∴，
∴，，
故满足的正整数的最小值是13.
故选：C.
2．B
【分析】化简得到或，故当时，或；当时，，得到答案.
【详解】是双曲线上一点，为左、右焦点，且，
则或，
当时，或；当时，.
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：.
【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.
3．B
【分析】函数求导，再代值得解
【详解】
故选：B
4．B
【分析】由题设及向量加法的几何意义可得、，结合向量数量积的运算律及正方体的性质有且，即可求的范围.
【详解】
由题设，，，
∴，
又，，
∴，而在面上一点（包括边界），
∴，故.
故选：B
5．B
【分析】对四个选项逐项求导即可求解.
【详解】选项A：，故A错误；
选项B：，故B正确；
选项C：，故C错误；
选项D：，故D错误．
故选：B.
6．C
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与所成的角的余弦值.
【详解】由题意可知平面，且，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、，
，，.
故与所成的角的余弦值为.
故选：C.
7．C
【分析】由数列为单调递增数列得，从而得，再令，求出的最大值，从而可求解.
【详解】由题意可得，由于数列为单调递增数列，
即，，
整理得，
令，则，，
所以数列单调递减，故是数列的最大项，
则的取值范围为，故C正确.
故选：C．
8．D
【分析】根据除法求导运算，求得曲线的导函数，进而得到直线的斜率．由两条直线平行，可得两条直线斜率相等，因而求得a的值．
【详解】对曲线求导，可得 ，在点P处切线的斜率为
直线方程可化为y＝ ax＋1
若与直线平行，则两条直线的斜率相等
所以
所以选D
【点睛】本题考查了曲线求导的基本运算，求过曲线上一点的切线方程求法，属于基础题．
9．ACD
【分析】确定焦点和准线，设直线为，联立得到根与系数的关系，计算得到，A正确，，B错误，，C正确，，D正确，得到答案.
【详解】抛物线的焦点为，准线，，
设直线为，则，即，
，故，，故，

对选项A：，正确；
对选项B：，错误；
对选项C：，正确；
对选项D：，
当时等号成立，正确；
故选：ACD.
10．ABC
【分析】对于C，结合三角形内球圆以及圆的切线性质推得，，即可判断；对于A，结合梯形的几何性质推出到距离为，进行判断；对于B，利用直角三角形相似，推出，结合离心率，可得的关系，化简即可判断；对于D，设直线方程为，联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合题意求得m的范围，设直线的倾斜角为，推出，结合函数的单调性，求得其范围，即可判断.
【详解】设，其中,
设.
对于C，过分别作的垂线，垂足分别为，
由切线长定理有，
则，
又因为，所以，
又，所以，同理可得，则在直线上，故C正确；
对于A，过作的垂线，垂足为，因为，则，
设的中点分别为，则，且，
所以，到距离为，
则以为直径的圆与直线相切，故正确.
对于B，由过圆外一点的切线性质知平分平分，则，
在中，.
则∽,则，可得，
，故B正确；
对于D，设直线方程为，
将其与双曲线联立有：，消去得：，
则，
,
又两点在双曲线右支，
则,
设，又由对称性设直线的倾斜角为，其中,
则，
又当时，，则，
则结合，可得，所以，得，
则，，
所以，
又在上单调递增，
则，故D错误,
【点睛】难点点睛：本题综合考查双曲线和直线的位置关系问题，涉及到三角形内切圆，双曲线离心率以及求参数范围，综合性强，难点在于D项的判断，要结合图形的几何性质以及双曲线的相关性质求出，结合函数的单调性，求得其范围.
11．BC
【分析】利用空间向量的垂直、数量积及其运算律运算即可得解.
【详解】正方体中，∴，即，，即，
，即，∴，，.
对于选项A， ，故A错误；
对于选项B，，故B正确；
对于选项C，，故C正确；
对于选项D，，故D错误；
故选：BC.
12．BC
【分析】根据椭圆，圆，双曲线方程的特征，列不等式求解，即可判断选项.
【详解】方程所表示的曲线为.
A.当，取时，方程为，表示圆，错误；
B.若为椭圆，且焦点在y轴上，则，即，所以B正确；
C.时，方程为，表示圆，所以C正确；
.若为双曲线，可得，解得或，所以D错误.
故选：BC
13．
【分析】根据定义得到为等比数列，公比为2，由与的等差中项是5列出方程，求出首项，从而利用等比数列的求和公式计算出答案.
【详解】，则为等比数列，公比为2，
又，解得：，
所以．
故答案为：
14．
【分析】利用导函数得到的单调性，极值和最值情况，进而画出图象，数形结合得到实数的取值范围.
【详解】当时，，，
故在上单调递减，且，
当时，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，，
且当时，恒成立，
画出的图象如下：

函数恰有一个实根，则或，
则实数的取值范围是.
故答案为：
15．或
【解析】根据两圆的方程，先得到圆心坐标和半径，由两圆相切，讨论内切和外切两种情况，即可得出结果.
【详解】圆的圆心为，半径为；
由整理得，
则圆的圆心为，半径为；
因为两圆相切，
若两圆外切，则有，即，解得；
若两圆内切，则有或，即或（舍），
解得.
故答案为：或.
【点睛】本题主要考查由两圆相切求参数，属于基础题型.
16．
【分析】由数列的递推公式可得数列是首项为，公比为的等比数列，从而可求得数列的通项公式，写出的表达式，分n为偶数和奇数两种情况求得的取值范围即可得解.
【详解】已知，令，则，解得，
当时，，
两式相减，得，即，
数列是首项为，公比为的等比数列，
，则，，
当n为偶数时，；
当n为奇数时，.
，即的最大值为.
故答案为：
【点睛】已知求步骤：
1、先利用求出.
2、用n-1替换中的n得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式.
3、对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由题意所求直线方程即公共弦方程，两个圆方程相减即可求解.
（2）将原问题转换为圆心到直线的距离等于1，由点到直线的距离公式即可得解.
【详解】（1）由题意圆O：和圆即关于直线l对称．
两式相减得，公共弦方程即直线l的方程为.
（2）圆O：的圆心为，半径为，
若圆O上恰有三个点到直线的距离都等于1，
则圆心到直线的距离等于1，
所以，解得.
18．(1)
(2)或，
【分析】（1）设圆心，根据圆心在直线上及圆过两点建立方程求解即可；
（2）分切线的斜率存在与不存在分类讨论，利用圆心到切线的距离等于半径求解，再根据圆的切线的几何性质求弦长即可.
【详解】（1）设圆心，因为圆心C在直线上，
所以 ①
因为A，B是圆上的两点，所以，所以
，即 ②
联立①②，解得，．
所以圆C的半径，所以圆C的标准方程为．
（2）若过点P的切线斜率不存在，则切线方程为．
若过点P的切线斜率存在，设为k，则切线方程为，
即．
由，解得，所以切线方程为．
综上，过点P的圆C的切线方程为或．
设PC与DE交于点F，
因为，，PC垂直平分DE，
所以，所以
所以．
19．答案见解析
【分析】利用导数的正负与函数单调性的关系及对参数进行讨论即可求解；
【详解】因为，所以，
若，则当时，，函数单调递增；
若，则当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
综上所述，当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
20．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用的导函数的正负情况去讨论函数单调性即可；
（2）构造新函数，并利用其导函数求得最小值非负，从而证明不等式成立
【详解】（1）由题意知，
当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
故函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，令，
则.
令，则在上恒成立
所以函数在区间上是增函数，
又，
所以函数存在唯一的零点，
且当时，；当时，.
所以当时，；当时，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
故，
由得：，即，
两边取对数得，故.
所以，即.
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件中的递推关系式化简计算求解数列的通项公式即可；
（2）根据题中求得的通项公式化简数列通项，再运用分组求和法求解数列的和可得出结果.
【详解】（1）选①：
∵，
当时，，解得.
当时，，
所以.
即.时，
又时，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列.
故数列的通项公式为：；
选②：
∵∴当时，，
当时，，
∴，
当时，依然成立.
所以；
选③：
∵数列是各项和均为正数递增数列，且
∴数列是等比数列
∵，成等差数列，
则即，
整理可得解得或（舍去）
∴.
（2）∵∴
∴
22．（1）有极大值，函数有极小值（2）证明见解析
【分析】（1）求得导数，然后通过解不等式确定增区间，解不等式确定减区间，则可得极大值和极小值；
（2）记，求出其导数，得到的单调性和极值，可分和分别证明．
【详解】（1）依题意，，
故，
令，则或，在单调递增；
令，则，在单调递减，
故当时，函数有极大值，
当时，函数有极小值．
（2） 由（1）知，令，
则，
时，，可知在上单调递增，
时，，在上单调递减，令．
① 当时，，所以函数的图象在图象的上方．
② 当时，函数单调递减，所以其最小值为最大值为2，
而，所以函数的图象也在图象的上方，
综上可知，当时，.
【点睛】求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间（或开区间）上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值．