湖北省宜荆荆随恩重点高中教研协作体2023-2024学年高一下学期3月联考数学试卷

这是一份湖北省宜荆荆随恩重点高中教研协作体2023-2024学年高一下学期3月联考数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，“”是”的，在△ABC中，记，，且，，则，已知函数等内容，欢迎下载使用。
命题学校：龙泉中学命题教师：崔冬林吴金玉审题学校：随州一中
考试时间：2024年3月26日下午15∶00-17∶00试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知命题p：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．已知平面向量，，若与共线，则实数（ ）
A．B．C．1D．2
3．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
4．“”是”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．在△ABC中，记，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
6．若向量，满足，，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，则t min后该物体的温度℃可由公式求得．若将温度分别为100℃和40℃的两块物体放入温度是20℃的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过10℃，至少要经过（ ）（取：，）
A．4.14minB．5.52minC．6.60minD．7.16min
8．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用．黄金分割比，现公出三倍角公式和二倍角角公式，则t与的关系式正确的为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9．已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．图象的对称中心为，
D．直线是图象的一条对称轴
10．函数的定义域为R，满足，且当时，，下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．在上单调递增
11．已知边长为1的正n边形．若集合，则下列结论正确的有（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设全集，集合，，则 ．
13．已知是奇函数，则 ．（e是自然对数的底数）．
14．已知，，且，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知平面向量，的夹角为，且，，．
（1）当，求；
（2）当时，求的值．
16．（15分）
已知函数．
（1）求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；
（2）求函数在上的单调递增区间．
17．（15分）
如图，有一块半径为1，圆心角为的扇形木块OMN，现要分割出一块矩形ABCD，其中点A，B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN．
（1）若点A，B分别为弧MN的两个三等分点，求矩形ABCD的面积S；
（2）设（），当为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？
18．（17分）
已知函数．
（1）若为奇函数，
①求a的值；
②解关于x的方程；
（2）若在上有解，求a的取值范围．
19．（17分）
如图，A，B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且．点C（与B不重合）为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M．
（1）当，求的值；
（2）设（），（），
①用t来表示；
②已知△ABC的面积，记，求函数的值域．
2024年宜荆荆随恩高一3月联考
高一数学参考答案
一、单项选择题：1-4ADCB5-8ADDB
二、多项选择题：9BC10ABD11BCD
三、填空题
12．13．14．
1．【答案】A
【详解】为，，故选：A
2．【答案】D
【详解】由题意可得，
因为与共线，所以，解得，故选：D
3．【答案】C
【详解】，将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，故选：C
4．【答案】B
【详解】当时，则，或，故充分性不成立；
当时，则，故必要性成立，
则“”是“”的必要不成分条件，故选：B
5．【答案】A
【详解】由，得，又，
则，故选：A
6．【答案】D
【详解】由，则，
由在上的投影向量，故选：D
7．【答案】D
【详解】100℃的物体放入20℃的空气中冷却t min温度是，
40℃的物体放入20℃的空气中冷却t min温度是，
要使得这两块物体的温度之差不超过10℃，则，
解得，故选：D
8．【答案】B
【详解】因为，即，令，
则，，，
即，因为，所以，
即，整理得，
解得，因为，所以，
故．故选：B
9．【答案】BC
【详解】由图象可知，，又图象过，则，又，则，A错误；又图象过，则，B正确；
则，C正确，D错误；故选BC
10．【答案】ABD
【详解】对于A，中令，
则，A正确；
对于BCD，再令，则，
即①，B正确；
则
所以
即（）②，又因为也符合上式，
联立①②，解得（），C错误；D正确，故选：ABD
11．【答案】BCD
【详解】对于A选项，当时，如下图所示：
则，，
，
同理可得，，，
故时，，A错误；
对于B选项，当时，如图所示：
，，
，此时，，B正确；
对于C选项，当时，取的中点E，连接，则，如图所示：
易知正五边形的每个内角都为108°，则，
故，则，
由平面向量数量积的定义可得，
故当时，，又，C对；
对于D选项，当时，设正六边形的中心为O，如图所示：
易知正六边形的每个内角都为120°，则，
故，所以，，，
则，
由正六边形的几何性质可得，则，
则，结合图形可知，故，
因此，当时，，D对．故选：BCD．
12．【答案】
【详解】，，则
13．【答案】
【详解】要使函数有意义，需满足且，且为奇函数，定义域关于原点对称，则，即是的解，得，又，得，则
14．【答案】
【详解】由得，即，
，由于，则，
，当且仅当，即时，等号成立，故．
15．【详解】
（1）．
∴．
（2），∴．
16．【详解】
（1）
，
由（），解得（），
所以，函数图象的对称轴方程为（）；
（2）当时，则，要使单调递增，
则，或，
解得，或；
故函数在上的单调递增区间为和．
（说明：结果没用区间表示扣一分，区间用“∪”扣一分；单调区间写成开闭区间均可）
17．【详解】
（1）作OH⊥AB，垂足为H，交CD于E，连接OA，OB，
由于点A，B分别为弧MN的两个三等分点，四边形ABCD为矩形，即A，B关于直线OH对称，
则，，则，，
而，故△OED为等腰直角三角形，则，
故，
则；
（2）因为（），则（）
故，，
，
故，
则
，
因为，所以，故时，取最大值，
即当时，矩形ABCD的面积S最大，．
18．【详解】
（1）①的定义域为R，
因为为奇函数，则，
解得，故，
又，即，
所以函数为奇函数，故．
②又，即，
解得，即，．
（2）由于是奇函数，
则，
可转化为，
即．
即，故
由三角函数的有界性知，，
解得．
19．【详解】
（1），，
．
法二：用坐标法同样给分．
（2）①设（），
则，
故，
由可得，，
即，
整理得；
②由，故，
则（），
令，则，
故，
由双勾函数的性质知，在上是减函数，则，
则，故的值域为．