江苏省扬州中学2023-2024学年高二下学期3月随堂练习数学试卷

这是一份江苏省扬州中学2023-2024学年高二下学期3月随堂练习数学试卷，共9页。试卷主要包含了已知空间向量，，若，则，已知，则等内容，欢迎下载使用。
单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.
1．已知空间向量，，若，则（ ▲ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ▲ ）
A.0 B.-3 C.2 D.3
可以表示( ▲ )
A. B. C. D.
4. 在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则（ ▲ ）
A. B. C. D.
5.如图，已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（ ▲ ）
A． B．
C． D．
6.2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的吉祥物“冰墩墩”和3个不同造型的吉祥物“雪容融”展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同排法的种数是（ ▲ ）
A B. C. D.
7.如图，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则C，D间的距离为( ▲ )
A．1 B．2 C.eq \r(2) D.eq \r(3)
8．已知函数的定义域为，对任意，有，则“”是“”的（ ▲ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 既不充分又不必要条件D. 充要条件
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ▲ ）
A．所有可能的方法有种
B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种
D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
10.下列命题正确的是（ ▲ ）
A. 若，则与共面
B. 若与共面，则
C. 若＝x＋y，则M，P，A，B共面
D. 若M，P，A，B共面，则＝x＋y
11. 已知是函数图象上不同的三点，则下列说法中正确的是（ ▲ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 五名同学站成一排，甲不站在正中间，则不同的站法有 ▲ （用数字作答） ．
13. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ▲
14. 已知实数若函数在区间上恰有一个零点，则a的取值范围为 ▲ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （13分）计算:
（1）若，求方程的解集；
（2）若，求n的值.
16.（15分）如图，长方体中，，点为的中点，平面.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
17.（15分）已知函数.
（1）若在处取得极值，求的单调递减区间；
（2）若在区间内有极大值和极小值，求实数的取值范围.
18.（17分）如图，已知向量，可构成空间向量的一个基底，若，，．在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算，显然的结果仍为一向量，记作.
(1)求证：向量为平面OAB的法向量；
(2)若，，求以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与的大小；
(3)将四边形OADB按向量平移，得到一个平行六面体，试判断平行六面体的体积V与的大小．（注：第（2）小题的结论可以直接应用）
19.（17分）已知函数，，其中e是自然对数的底数．
（1）当a＝e时，若曲线与在处的切线互相垂直，求的值；
（2）设函数，若＞0对任意的x(0，1)恒成立，求实数a的
取值范围．

高二数学答案
1.A 2.D 3.．C 4.B 5.D 6.C 7.C 8.A
9.BC 10.AC 11.BC.
12.96 13. 14.
15.解：（1）.
（2），
，解正整数.
故正整数的值为.
16.解：（1）连接交于F，连接，
由于四边形为正方形，故O为的中点，
而点为的中点，故,
又平面，平面，故平面；
（2）以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
则,
由于平面，故，
即，则，（负值舍），
故；
平面的法向量可取为，平面的法向量可取为，
则，
由原图可知二面角为钝角，故其余弦值为；
（3）由题意知，平面的法向量为，
故点到平面的距离为.
17.解：，
（1）∵在处取得极值，
∴，∴，∴，
∴，令，则，
∴，
∴函数的单调递减区间为.
（2）∵在内有极大值和极小值，
∴在内有两不等实根，对称轴，
∴，
即 ，
∴.
18.（1）证明：因为
，
所以，即，
因为
，
所以，即，
又因，
所以向量为平面OAB的法向量；
（2），
则，
故，
由，，得，
所以，
所以；
（3）设点到平面的距离为，与平面所成的角为，
则，
由（1）得向量为平面OAB的法向量，
则，
又，
．
19.解 （1）当时，，则，
，则．
曲线与在处的切线互相垂直，
所以，即，
整理得．
设，则．
因为，所以，
所以在上单调递增．
又因为，且，所以．
（2），
设，则．
令，得．
列表如下：
所以．
所以，
所以，即，即．
①时，．又因为，所以．
．
所以在上单调递减，所以．
②当时，，，，
所以，
又在上图象不间断，
所以存在，使，不合题意．
综上，a的取值范围为．
（本题可用其他解法，同样酌情给分）
x
1
0
极小值