高中数学6.3 平面向量基本定理及坐标表示习题

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已知是内的一点，的面积分别为，，，求证：
证明过程：如图延长与边相交于点。
，
（偏重）


。
推论：已知为内一点，
且．则有
①．
②．
2.奔驰定理在三角形四心中的具体形式：
（1）是的重心.
（2）是的内心.
（3）是的外心
.
（4）是的垂心
.
题型：奔驰定理解决面积问题。
例1、为三角形内部一点，､､均为大于1的正实数，且满足，若､､分别表示､､的面积，则为（ ）
A． B．
C．D．
正规方法：由，，
，，
如图设
，即是的重心，
同理可得，，
所以．故选：．
方法二：奔驰定理 由，，
，，
由奔驰定理得：．故选：．
例2、在中，角所对的边为，，是中内切圆的圆心，若，则．
解：正规方法（向量的线性表示、数量积、三角形内切圆半径求法）
易求得，而，所以
另一方面，对上式两边同时作数量积得：，
易知，，
所以，所以.
方法二：（奔驰定理）联想到奔驰定理，将转化为
整理为：
由奔驰定理得解之得.
例3、已知点为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ）
A. B. 直线必过边中点
C. D. 若，且，则
解：对于，插入点，，所以；
对于，若直线过边的中点，则，由上知，不成立；
对于，由奔驰定理知；
对于，由得，两边平方得
.
奔驰定理解决面积问题练习
1．设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：延长到，使，延长到，使，连接，因为，所以，
所以为的重心，所以设，则，,所以,
所以，故选：D
2．已知O为所在平面内的一点，且满足，则的面积与的面积的比值为（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【详解】解：由得，故在△内部，
如图，取中点，连接并延长至，使得，
则四边形为平行四边形．则，又因为，
所以、、三点共线且，即为的重心．
所以，故选：．
3．为三角形内部一点，､､均为大于1的正实数，且满足，若､､分别表示､､的面积，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：由，

如图设
，即是的重心，
同理可得，，
所以．故选：．
4．设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比为（ ）
A．2:1 B．3:2 C．3:1D．5:3
【答案】C
【详解】解析：如图，延长至，使，延长至，使，连接，则，.
由条件，得.∴点O为的重心，
从而，其中S表示的面积.
连接，，，.
于是.故的面积与的面积的比为3:1. 故选：C
5．设O是的外心，满足，，若，则的面积是（ ）
A．4 B． C．8D．6
【答案】B
【详解】取AC中点D，因为O是的外心，所以

，
则 ，解得：
所以，即。故选：B
6．已知点P为ABC内一点，，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，，如图：

， ，
、、三点共线，且，为三角形的中位线
，而
，，的面积之比等于。故选：．
7．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点在线段上
B．若，则点是的重心
C．若，则点的轨迹必过的内心
D．若，且，则的面积是面积的
【答案】BCD
【详解】对于A选项，因为，则，可得，所以， 点在射线上，且点为线段的中点，A错；对于B选项，设点为线段的中点，
则，
因为，
此时点为重心，B对；
对于C选项，因为，
则，
因为、分别是与、方向相同的单位向量，
记住，，以、为邻边作平行四边形，
则四边形为菱形，则平分，且，
即，
此时，点的轨迹必过的内心，C对；
对于D选项，因为，且，
所以，且，
设，则，
即，即，所以，、、三点共线，
又因为，所以为的中点，如图所示：
所以，故D正确.故选：BCD.
8．点在所在的平面内，（ ）
A．若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心
B．若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心
C．若，，分别表示，的面积，则
D．已知三个内角，，的对边分别是，，，若，则点为的内心（内切圆圆心）
【答案】CD
【详解】对于A，设的中点为，连，如图：

因为，所以，
所以，即与共线，
所以动点的轨迹一定经过的重心，故A不正确；
对于B，由A可知，只有当时，动点的轨迹才经过的重心，故B不正确；
对于C，因为，所以，
设、的中点分别为、，则，

所以，故C正确；
对于D，延长交于，

因为，所以，
所以，
设，，则，
因为与不共线，所以，，
所以，即，所以，即，
所以为的平分线，同理得为的平分线，为的平分线，所以为的内心.故D正确. 故选：CD
9．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若，则
B．若，则点､､三点共线
C．若点是的重心，则
D．若且，则的面积是面积的
【答案】ACD
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，若M、B、C三点共线，则存在唯一实数，使得，
则，
∵，∴，则λ无解，故M、B、C三点不共线，故B错误；
对于C，延长AM交BC于D，∵M是△ABC重心，∴D是BC中点，
则，∴，故C正确；对于D，∵且，∴，
设则，则三点共线，
由MD=AD可知的面积是面积的，故D正确．
故选：ACD．
10．已知的重心为，过点的直线与边，的交点分别为，，若，且与的面积之比为，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】BD
【详解】解：如图，，，即，设，则，
三点共线，，，
所以，与的面积之比为，， 即，化简得，解得或3. 故选：BD
11．三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点在内部，用分别代表、、的面积，则有．现在假设锐角三角形顶点所对的边长分别为为其垂心，的单位向量分别为，则 ．
【答案】
【详解】由可得
根据可得，同理可得，
所以，
所以，故答案为：
12．设是正实数，三角形所在平面上的另三点、、满足：，，，若三角形与三角形的面积相等，则的值为 .
【答案】
【详解】设的重心为点，则，，
由于和的面积相等，则与关于点对称，
则，，解得.
故答案为：.
13．所在的平面内有一点，满足，则与的面积之比为 .
【答案】
【详解】因为2，所以2（），
所以3，
设3，2，，则，
即P为△A′B′C′的重心，设S，则S△PACS，S△PBCS，
即△PAC与△PBC的面积之比为，故答案为：．
14．已知为的重心，过点的直线与边分别相交于点，若,则与的面积之比为 .
【答案】
【详解】
设，三点共线，可设，
，为的重心，，
，
，解得，，
，故答案为.