中考数学一轮复习专题1.2 等边三角形的性质与判定【十大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版）

这是一份中考数学一轮复习专题1.2 等边三角形的性质与判定【十大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版），共16页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc272" 【题型1 利用等边三角形的性质求值】 PAGEREF _Tc272 \h 1
\l "_Tc6055" 【题型2 利用等边三角形的性质证明线段或角度相等】 PAGEREF _Tc6055 \h 2
\l "_Tc1660" 【题型3 等边三角形的证明】 PAGEREF _Tc1660 \h 4
\l "_Tc20643" 【题型4 等边三角形在坐标系中的运用】 PAGEREF _Tc20643 \h 5
\l "_Tc25325" 【题型5 等边三角形中的折叠问题】 PAGEREF _Tc25325 \h 7
\l "_Tc31680" 【题型6 与等边三角形有关的规律问题】 PAGEREF _Tc31680 \h 8
\l "_Tc7267" 【题型7 等边三角形中的动态问题】 PAGEREF _Tc7267 \h 10
\l "_Tc10898" 【题型8 等边三角形中求最值】 PAGEREF _Tc10898 \h 11
\l "_Tc23409" 【题型9 等边三角形中的多结论问题】 PAGEREF _Tc23409 \h 13
\l "_Tc29572" 【题型10 确定等边三角形中的线段之间的关系】 PAGEREF _Tc29572 \h 14
【知识点 等边三角形】
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
【题型1 利用等边三角形的性质求值】
【例1】（2023春·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期末）如图，已知等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE交于点P，则∠APE= °．
【变式1-1】（2023春·四川成都·八年级成都实外校考期末）已知：如图，点E是等边三角形ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，BE平分∠DBC．

(1)求证：△DBE≌△CBE；
(2)求∠BDE的度数．
(3)若∠ABE=45°，试判断BD与AC的位置关系，并说明理由．
【变式1-2】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，△ABC为等边三角形，点D是BC边上异于B，C的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高线AM=2，则DE+DF= ．

【变式1-3】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第70中校考期末）如图，已知等边三角形ABC的边长为m，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA=CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为 ．

【题型2 利用等边三角形的性质证明线段或角度相等】
【例2】（2023春·河南周口·八年级校考期中）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE=12BC，点D是边AC的中点，连接ED并延长交AB于点F．

(1)求证：EF⊥AB；
(2)连接BD，求证：BD=DE．
【变式2-1】（2023春·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是高线，延长BC到E，使CE=AD．证明：BD=DE．
【变式2-2】（2023春·四川巴中·八年级统考期末）已知，将等边△ABC和一块含有30°角的直角三角板DEF (∠F=30°)如图1放置，点B与点E重合，点A恰好落在三角板的斜边DF上．
（1）利用图证明： EF=2AC；
（2）△ABC在EF所在的直线上向右平移，当AB、AC与三角板斜边的交点为G、H时，如图2．判断线段EB=AH是否成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
【变式2-3】（2023春·广西河池·八年级统考期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点．
(1)以AD为边构造等边△ADE（其中点D、E在直线AC两侧），连接CE，猜想CE与AB的位置关系，并证明你的结论；
(2)若过点C作CM∥AB，在CM上取一点F，连接AF、DF，使得∠ADF=60°，试猜想△ADF的形状，直接写出你的结论．
【题型3 等边三角形的证明】
【例3】（2023春·河南周口·八年级校考期末）在△ABC中，AB=BC，∠ABC=60°，BD是AC边上的高，点E为直线BC上点，且CE=AD．

(1)如图1，当点E在边BC上时，求证：△CDE为等边三角形；
(2)如图2，当点E在BC的延长线上时，求证：△BDE为等腰三角形．
【变式3-1】（2023春·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，E是CD的中点，EC=EB，∠CDA=120°，DF∥BE，且DF平分∠CDA．求证：△BEC是等边三角形．补全下面的证明过程及理由．
证明：∵DF平分∠CDA（已知），
∴∠FDC=12∠___________（___________）．
∵∠CDA=120°（已知），
∴∠FDC=__________°．
∵DF∥BE（已知），
∴∠FDC=∠__________（___________），
∴∠BEC=60°．
又∵EC=EB（已知），
∴△BCE是等边三角形（____________）．
【变式3-2】（2023春·甘肃天水·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足．求证：

(1)DE=DF；
(2)△DEF是等边三角形．
【变式3-3】（2023春·山东菏泽·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC边上的中线，且BD=BE，CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M．

(1)求∠ADE的度数．
(2)证明：△ADF是等边三角形．
【题型4 等边三角形在坐标系中的运用】
【例4】（2023春·河南驻马店·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为1,0，以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点（OC>1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．
(1)求证：OC=AD；
(2)在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果改变，请说明理由；
(3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点C的坐标．
【变式4-1】（2023春·辽宁铁岭·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点(OC>1)，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．
(1)求证：OC=AD；
(2)在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果改变，请说明理由；
(3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形？
【变式4-2】（2023春·北京·八年级北京市广渠门中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A0 ， 2，点B为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC，延长CA交x轴于点E．

（1）求证：OB=AC；
（2）∠CAP的度数是 ；（直接写出答案，不需要说明理由．）
（3）当B点运动时，猜想AE的长度是否发生变化？如不变，请求出AE的长度；若改变，请说明理由．
【变式4-3】（2023春·湖北黄石·八年级校考期末）如图，平面直角坐标系中．A点在y轴上，B（b，0），C（c，0）在x轴上，∠BAC=60°，且b、c满足等式b2+2bc+c2＝0．
(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如图1，F为AB延长线上一点，连FC，若∠GFC+∠ACG=60°．求证：FG平分∠AFC；
(3)如图2，△BDE中，DB=DE，∠BDE=120°，M为AE中点，试确定DM与CM的位置关系．
【题型5 等边三角形中的折叠问题】
【例5】（2023春·四川成都·八年级校考期末）如图，已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G.若∠ADF=80°，则∠GEC的度数为 度．

【变式5-1】（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级校考期中）如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别AB、AC是上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为（ ）cm
A．1B．2C．3D．4
【变式5-2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，将等边三角形ABC纸片折叠，使得点A的对应点D落在BC边上，其中折痕分别交边AB,AC于点E，F，连接DE,DF．若DF⊥BC，则∠AEF的度数是（ ）

A．15°B．30°C．45°D．60°
【变式5-3】（2023春·河北张家口·八年级统考期末）在△ABC中，∠B=60°，D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为点F．
(1)如图1，若点F恰好落在边BC上，判断△BDF的形状，并证明；
(2)如图2，若点F落在△ABC内，且DF的延长线恰好经过点C，CF=EF，求∠A的度数；
(3)若AB=9，当△BDF是直角三角形时，直接写出AD的长．
【题型6 与等边三角形有关的规律问题】
【例6】（2023春·安徽芜湖·八年级芜湖市第二十九中学校考期末）如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3=D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4=D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3C4；…且点A1，A2，A3，…都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn+1的周长和为 ．

【变式6-1】（2023春·山东济宁·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标是0，4，以为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，……，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2022A2022A2023，则点A2023的纵坐标为（ ）
A．122021B．122022C．122023D．122024
【变式6-2】（2023·四川·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形A1B1C1D1（记为第1个正方形）的顶点A1与原点重合，点B1在y轴上，点D1在x轴上，点C1在第一象限内，以C1为顶点作等边△C1A2B2，使得点A2落在x轴上，A2B2⊥x轴，再以A2B2为边向右侧作正方形A2B2C2D2（记为第2个正方形），点D2在x轴上，以C2为顶点作等边△C2A3B3，使得点A3落在x轴上，A3B3⊥x轴，若按照上述的规律继续作正方形，则第2021个正方形的边长为 ．
【变式6-3】（2023春·广西柳州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点B1，与y轴交点于D，且OB1=1,∠ODB1=60°，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，按此规律进行下去，则点A6的横坐标是 ．
【题型7 等边三角形中的动态问题】
【例7】（2023春·河南濮阳·八年级统考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm，动点P，Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为vP=2cm/s，vQ=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．

(1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
(2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
【变式7-1】（2023春·甘肃张掖·八年级校考期末）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同．连接AQ、CP交于点M．

(1)求证：△ABQ≌△CAP；
(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交于点M，则△ABQ和△CAP还全等吗？说明理由；
【变式7-2】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，点P，Q是等边△ABC边AB，BC上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接AQ,CP,PQ，其中AQ与CP交于点M．针对点P，Q的运动过程，下列结论错误的是（ ）
A．BQ=AP B．△ABQ≌△CAP
C．△BPQ的形状可能是等边三角形D．∠CMQ的度数随点P，Q的运动而变化
【变式7-3】（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．

(1)当D在线段BC上时，求证：△BAD≌△CAE；
(2)当CE∥AB时．
①若D在线段BC上，判断△ABC的形状，并说明理由；
②若△ABD中的最小角为20°，直接写出∠ADB的度数．
【题型8 等边三角形中求最值】
【例8】（2023春·广东深圳·八年级校联考开学考试）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，点D是BC边的中点，点P是AC边上的一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方做等边三角形PDQ，连接CQ，则CQ的最小值是（ ）

A．32B．1C．2D．2
【变式8-1】（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，点B为线段AQ上的动点，AQ=8，以AB为边作等边△ABC，以BC为底边作等腰△PCB，则PQ的最小值为（ ）

A．3B．4C．5D．6
【变式8-2】（2023春·河南许昌·八年级统考期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=20，BC=32，△ABD是等边三角形，P是∠BAC平分线上一动点连接PC、PD，则PC＋PD的最小值为 ．

【变式8-3】（2023春·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在边AC上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD＝2，AC＝6，△OCD周长的最小值是（ ）
A．8B．10C．12D．14
【题型9 等边三角形中的多结论问题】
【例9】（2023春·湖南长沙·八年级长沙市北雅中学校考开学考试）如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O，则①DB=AE；②∠AMC=∠DNC；③∠AOB=60°；④DN=AM．其中，正确的有 ．
【变式9-1】（2023春·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，等边三角形ABD与等边三角形 ACE，连接 BE、CD，BE的延长线与CD交于点 F，连接AF，有以下四个结论：①BE=CD；②FA平分∠EFC；③∠BFD=60°；④FE+FC=FA．其中一定正确的结论有（ ）
A．1个B．2 个C．3 个D．4 个
【变式9-3】（2023春·全国·八年级期末）如图，等边△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，AD=CE，连接AE、BD交于点F，∠CBD、∠AEC的平分线交于AC边上的点G，BG与AE交于点H，连接FG．下列说法：①△ABD≅△CAE；②∠BGE=30°；③∠ABG=∠BGF﹔④AB=AH+FG﹔⑤ S△AGE︰S△BGC=DG∶GC，其中正确的说法有 ．
【题型10 确定等边三角形中的线段之间的关系】
【例10】（2023春·河南郑州·八年级校考期中）已知线段AB⊥l于点B，点D在直线l上，分别以AB、AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F．
(1)当点F在线段BD上时，如图①，直接写出DF，CE，CF之间的关系 ．
(2)当点F在线段BD的延长线上时，如图②，当点F在线段DB的延长线上时，如图③，请分别写出线段DF、CE、CF之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明．
(3)在（1）、（2）的条件下，若BD=2BF，EF=6，请直接写出CF的值．

【变式10-1】（2023春·山东青岛·八年级校考期中）已知：如图，等边△ABC中，D，E分别在BC，AC边上运动，且始终保持BD=CE，点D、E始终不与等边△ABC的顶点重合，连接AD、BE，AD，BE交于点F．

(1)试说明△BEC≌△ADB；
(2)直接写出运动过程中，AE、AB、BD三条线段长度之间的等量关系；
(3)运动过程中，∠BFD的度数是否会改变？如果改变，请说明理由；如果不变，求出∠BFD的度数，再说明理由．
【变式10-2】（2023春·河南平顶山·八年级统考期中）如图，过等边△ABC的顶点A作直线l∥BC，点D在直线l上，（不与点A重合），作射线BD，把射线BD绕着点B顺时针旋转60°后交直线AC于点E．
(1)如图1，点D在点A的左侧，点E在AC上，请写出线段AB、AD、AE之间的数量关系，并说明理由．

(2)（2）如图2，点D在点A的右侧，点E在AC的延长线上，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，证明你的结论，若不成立，写出你认为正确的结论，并证明．

【变式10-3】（2023春·福建福州·八年级校考期末）定义：若P为△ABC内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．

(1)如图1，若点O是高为3的等边△ABC的费马点，则OA+OB+OC= ；
(2)如图2，已知P是等边△ABD外一点，且∠APB=120°，请探究线段PA，PB，PD之间的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于点P，连接AP，求证：
①点P是△ABC的费马点；
②PA+PB+PC=CD．