中考数学一轮复习专题1.3 直角三角形【八大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题1.3 直角三角形【八大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版），共29页。

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\l "_Tc24996" 【题型1 添加条件利用HL使三角形全等】 PAGEREF _Tc24996 \h 1
\l "_Tc23446" 【题型2 判断三角形全等的依据】 PAGEREF _Tc23446 \h 4
\l "_Tc14734" 【题型3 利用HL证明全等】 PAGEREF _Tc14734 \h 6
\l "_Tc11049" 【题型4 利用HL和全等三角形的性质证明线段线段】 PAGEREF _Tc11049 \h 10
\l "_Tc9983" 【题型5 利用HL和全等三角形的性质证明角度相等】 PAGEREF _Tc9983 \h 15
\l "_Tc10232" 【题型6 利用HL解决坐标与图形问题】 PAGEREF _Tc10232 \h 18
\l "_Tc21579" 【题型7 写出某个命题的逆命题】 PAGEREF _Tc21579 \h 26
\l "_Tc23433" 【题型8 判断逆命题的真假】 PAGEREF _Tc23433 \h 27
【知识点1 直角三角形全等的判定】
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.这一定理简称为“斜边、直角边”或“HL”.
【题型1 添加条件利用HL使三角形全等】
【例1】（2023上·北京海淀·八年级校考期中）阅读下面材料：
已知线段a，b．
求作：Rt△ABC，使得斜边BC=a，一条直角边AC=b．
作法：
（1）作射线AD、AE，且AE⊥AD．
（2）以A为圆心，线段b长为半径作弧，交射线AE于点C．
（3）以C为圆心，线段a长为半径作弧，交射线AD于点B．
（4）连接BC．则△ABC就是所求作的三角形．
上述尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是（ ）
A．HLB． SAS C． AAS D． SSA
【答案】A
【分析】由作法可知，根据HL即可判定三角形全等．
【详解】解：题干尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是HL．
故选：A．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直角三角形全等的判定．
【变式1-1】（2023下·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，已知AD⊥BC，若用HL判定△ABD≌△ACD，只需添加的一个条件是 ．
【答案】AB=AC
【分析】根据题意可得，在△ABD和△ACD中，∠ADB=∠ADC=90°，AD为公共边，则只需要添加AB=AC，即可根据HL判定全等．
【详解】解：添加的条件为：AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
AB=ACAD=AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACDHL，
故答案为：AB=AC．
【点睛】本题主要考查了根据HL判定三角形全等，解题的关键是掌握一条直角边和一条斜边相等的两个直角三角形全等．
【变式1-2】（2023下·山东青岛·八年级统考期中）如图，已知点B，E，F，C在同一条直线上，BE=CF，AB⊥AF，CD⊥DE，若添加一个条件（不再添加新的字母）后，能判定△ABF与△DCE全等，则添加的条件可以是 （写出一个条件即可）．
【答案】AB=DC或∠AFB=∠DEC或∠B=∠C
【分析】根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【详解】解：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE，
又∵AB⊥AF，CD⊥DE，
∴∠A=∠D=90°，
∴当AB=DC时，在Rt△ABF和Rt△DCE中，
BF=CEAB=DC，
∴Rt△ABF≅Rt△DCEHL；
当∠AFB=∠DEC时，在△ABF和△DCE中，
∠A=∠D∠AFB=∠DECBF=CE，
∴△ABF≅△DCEAAS；
当∠B=∠C时，在△ABF和△DCE中，
∠A=∠D∠B=∠CBF=CE，
∴△ABF≅DCEAAS．
故答案为：AB=CD或∠AFB=∠DEC或∠B=∠C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定．题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．
【变式1-3】（2023下·安徽宿州·八年级统考期末）如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD=EF.要根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是（ ）

A．∠A=∠BB．∠C=∠DC．AC=BED．AD=BF
【答案】C
【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断．
【详解】解：∵CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，
∴∠ADC=∠BFE=90∘，
∵CD=EF，
∴当添加AC=BE时，根据“HL”判断Rt△ACD≌Rt△BEF
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
【题型2 判断三角形全等的依据】
【例2】（2023上·福建泉州·八年级校考期中）如图，用三角尺可以画角平分线：在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M画OA的垂线，过点N画OB的垂线，两垂线交于点P，画射线OP．可以得到△OMP≌△ONP，所以∠AOP=∠BOP，那么射线OP就是∠AOB的平分线．△OMP≌△ONP的依据是（ ）

A．SASB．ASAC．HLD．SSS
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，根据直角三角形全等的判定HL定理，可证△OPM≌△OPN，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
【详解】由题意知OM=ON，∠OMP=∠ONP=90°，OP=OP，
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
OM=ONOP=OP
∴Rt△OMP≌Rt△ONPHL，
∴∠AOP=∠BOP，
故选：C．
【变式2-1】（2023上·江苏南京·八年级校联考期末）如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO=CO，AB=CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是（ ）

A．HLB．SASC．ASAD．AAS
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定定理分析即可。
【详解】解：∵AC⊥BD，
∴∠AOB=∠COD=90°.
在RT△AOB和RT△COD中，
AB=CDAO=CO,
∴△AOB≌△COD(HL)
故选A.
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定定理，掌握用HL判定两个三角形全等是解决此题的关键。
【变式2-2】（2023上·河北邯郸·八年级校考期中）如图，有两个长度相等的滑梯靠在墙上，且墙与地面垂直，滑梯AB的高度AC与滑梯DF的水平宽EF相等，则△ABC≌△FDE的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．HL
【答案】D
【分析】本题考查的是全等三角形的判定及性质，根据直角三角形全等的判定方法解题即可．
【详解】解：滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△FDE中，
AB=FDAC=EF,
∴Rt△ABC≌Rt△FDEHL．
故选：D．
【变式2-3】（2023下·广东深圳·八年级统考期末）在课堂上，陈老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC．小赵和小刘同学先画出了∠MB′N=90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．

对这两种画法的描述中正确的是（ ）
A．小赵同学作图判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是HL
B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段BC的长
C．小刘同学作图判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是ASA
D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长
【答案】A
【分析】根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法判断．
【详解】由图示知，小赵第一步为截取线段B′C′=BC，第二步为作线段C′A′=CA，判定方法为HL；小刘第一步为截取线段B′A′=BA，第二步为作线段B′C′=BC，判定方法为SAS．
故选：A．
【点睛】本题考查尺规作图，三角全等的判定，掌握一般三角全等、直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
【题型3 利用HL证明全等】
【例3】（2023·四川泸州·统考模拟预测）如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、是垂足，DE=BF，求证：△ABF≅△CDE．

【答案】见解析
【分析】求出∠DEC=∠BFA=90°，根据HL定理推出即可 ．
【详解】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠BFA=90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AB=DCBF=DE，
∴Rt△ABF≅Rt△CDE(HL)．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
【变式3-1】（2023上·福建厦门·八年级统考期末）如图是Rt△ABC，根据下列尺规作图痕迹作出的Rt△A1B1C1，能够用于说明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据HL证明Rt△A1B1C1≌Rt△ABC即可得解．
【详解】解：选项B满足题意；由作图知，斜边A1C1=AC，A1B1=AB，∠A1B1C1=∠ABC=90°，
∴Rt△A1B1C1≌Rt△ABCHL，
故选：B．
【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【变式3-2】（2023上·河南驻马店·八年级统考期中）学习了全等三角形的判定方法后，我们知道“已知两边和一角分别相等的两个三角形不一定全等”，但下列两种情形还是成立的．

(1)第一种情形（如图a）
在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=DF，AB=DE，则根据______，得出△ABC≌△DEF，并写出推理过程；
(2)第二种情形（如图b）
在△ABC和△DEF中，∠C=∠F（∠C和∠F均为钝角），AC=DF，AB=DE，求证：△ABC≌△DEF．（提示：分别过点A、点D添加一条辅助线，构造全等）
【答案】(1)HL（斜边直角边），理由见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定．
（1）“HL”定理只能用来证明两个直角三角形全等；
（2）通过证明△ACG≌△DFH可得到△ABG,△DEH中的一组直角边相等，再证明△ABG≌△DEHHL，推出∠ABG=∠DEH，可得结论．
【详解】（1）解：HL（斜边直角边），推理过程如下：
∵ ∠C=∠F=90°，
∴ △ABC和△DEF都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
AC=DFAB=DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEFHL；
（2）证明：如图，过A作AG⊥BC，交BC的延长线于点G，过D点作DH⊥EF，交EF的延长线于点H，

∴ ∠ACG=∠DFH，
∵在△ACG和△DFH中，
∠AGC=∠DHF=90°∠ACG=∠DFHAC=DF，
∴ △ACG≌△DFHAAS，
∴AG=DH．
∵在Rt△ABG和Rt△DEH中，
AB=DEAG=DH，
∴ △ABG≌△DEHHL，
∴ ∠ABG=∠DEH．
∵在△ABC和△DEF中，
∠B=∠E∠ACB=∠DFEAB=DE，
∴ △ABC≌△DEFAAS．
【变式3-3】（2023上·山东聊城·八年级校联考阶段练习）如图所示，已知AB=AC,AE=AF,AF⊥BF于F，AE⊥EC于E，则图中全等的三角形共有（ ）

A．4对B．3对C．2对D．1对
【答案】A
【分析】根据题意，结合图形有△AEC≌△AFB,△ABH≌△ACG,△GOB≌△HOC,△AEG≌△AFH共四组．
【详解】解：∵AE⊥EC于E，AF⊥BF于F

∴∠E=∠F=90°
∵AB=AC，AE=AF
∴△AEC≌△AFB(HL)；
∴∠ABH=∠ACG，AB=AC
∵∠A=∠A
∴△ABH≌△ACGASA；
∴AG=AH
∴BG=CH
∵∠ABH=∠ACG，∠GOB=∠HOC
∴△GOB≌△HOCAAS；
∵CE=BF，CG=BH
∴EG=FH
∵∠E=∠F=90°，AE=AF
∴△AEG≌△AFHHL．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS,SAS,ASA,AAS,HL．注意：AAA,SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不重不漏．
【题型4 利用HL和全等三角形的性质证明线段线段】
【例4】（2023上·河北衡水·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF．
(1)求证：AC=AE；
(2)若AC=8，AB=10，求DE的长；
(3)若CF=BE，直接写出线段AB，AF，EB的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)83
(3)AB=AF+2EB
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等量代换思想．
(1)证明△ADC≌△ADE即可．
(2)根据勾股定理，得BC=AB2−AC2=6，结合△ADC≌△ADE，得到AE=AC=8，BE=AB−AE=2，设DE=x，则CD=DE=x,BD=BC−CD=6−x，利用勾股定理计算即可．
(3)根据三角形全等的性质，结合已知等量代换证明即可．
【详解】（1）解：∵∠C=90°，DE⊥AB，∠CAD=∠BAD，
∴∠C=∠AED=90°，DE=DC
在△ADC和△ADE中，
AD=ADDE=DC，
∴△ADC≌△ADEHL，
∴AC=AE．
（2）解：∵∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=AB2−AC2=6，
由（1）得：△ADC≌△ADE，
∴DE=DC，AE=AC=8，BE=AB−AE=2，
设DE=x，则CD=DE=x,BD=BC−CD=6−x，
根据勾股定理，得6−x2=x2+4，
解得∴x=83．
∴DE=83．
（3）AB=AF+2EB，理由如下：
由（1）得：△ADC≌△ADE，
∴AE=AC=AF+CF，AB=BE+AE，
∴AB=BE+AC，
∴AB=BE+AF+CF，
∵CF=BE，
∴AB=AF+2EB．
故答案为：AB=AF+2EB．
【变式4-1】（2023下·吉林长春·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D、E，CE交AB于点F．

(1)求证：△ACD≌△CBE；
(2)若AC=AF ，AD=12，BE=5，则FE的长______．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）由垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，由同角的余角相等得∠CAD=∠BCE，根据AAS证得△ACD≌△CBE即可；
（2）由全等三角形的性质得CD=BE=5，AD=CE=12，根据HL可得 Rt△ACD≌Rt△AFD，得DF=CD=5，最后由EF=CE−CD−DF求出结果．
【详解】（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD与△CBE中，
∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCEAC=BC，
∴△ACD≌△CBE(AAS)；
（2）解：∵△ACD≌△CBE，
∴CD=BE=5，AD=CE=12，
∵AC=AF，AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AFD(HL)，
∴DF=CD=5，
∴EF=CE−CD−DF=12−5−5=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等角的余角相等，解题关键是掌握全等三角形的判定方法．
【变式4-2】（2023上·山东泰安·八年级统考期中）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
【答案】会受到影响，24s
【分析】过点A作AB⊥PN于点B，则可得AB=80m，从而可判断学校会受到影响；设从点E开始学校学到影响，点F结束，则易得AE=AF，从而BE=BF，由勾股定理可求得BE的长，从而得EF的长，由路程、速度与时间的关系即可求得学校受影响的时间．
【详解】如图，过点A作AB⊥PN于点B，
∵∠QPN=30°，AP=160m，
∴AB=12AP=80(m)，
∵80m