中考数学一轮复习专题2.5 二次根式的乘除【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题2.5 二次根式的乘除【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版），共23页。

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\l "_Tc14164" 【题型1 二次根式乘除法法则成立的条件】 PAGEREF _Tc14164 \h 1
\l "_Tc32128" 【题型2 二次根式的乘除混合运算】 PAGEREF _Tc32128 \h 3
\l "_Tc9830" 【题型3 把根号外的因数（式）移到根号内】 PAGEREF _Tc9830 \h 6
\l "_Tc14946" 【题型4 判断最简二次根式】 PAGEREF _Tc14946 \h 8
\l "_Tc3989" 【题型5 化为最简二次根式】 PAGEREF _Tc3989 \h 9
\l "_Tc25845" 【题型6 根据最简二次根式的概念求值】 PAGEREF _Tc25845 \h 11
\l "_Tc3223" 【题型7 分母有理化及其应用】 PAGEREF _Tc3223 \h 13
\l "_Tc27227" 【题型8 比较二次根式的大小】 PAGEREF _Tc27227 \h 15
\l "_Tc12098" 【题型9 应用二次根式的乘除运算解决实际问题】 PAGEREF _Tc12098 \h 17
\l "_Tc29025" 【题型10 二次根式乘除法中的新情境题】 PAGEREF _Tc29025 \h 19
【知识点1 二次根式的乘除法则】
①二次根式的乘法法则：a∙b=a∙b(a≥0,b≥0)；
②积的算术平方根：a∙b=a∙b(a≥0,b≥0)；
③二次根式的除法法则：ab=ab(a≥0,b>0)；
④商的算术平方根：ab=ab(a≥0,b>0).
【题型1 二次根式乘除法法则成立的条件】
【例1】（2023·上海闵行·八年级校考期中）如果代数式2m−1m−4=2m−1m−4，那么m的取值范围是_____________
【答案】m＞4.
【分析】根据二次根式除法法则和分式有意义的条件，列出不等式组即可解答.
【详解】∵2m−1m−4=2m−1m−4成立，
∴2m-1≥0，m-4＞0，
解得：m＞4，
故答案为m＞4.
【点睛】此题考查二次根式的乘除法，解题关键在于掌握运算法则.
【变式1-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）若(x−2)(3−x)=x−2⋅3−x成立．则x的取值范围为（ ）
A．x≤3B．x≥2C．20,b>0)
【答案】（1）206；（2）−154；（3）4abb
【分析】（1）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（2）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（3）根据二次根式乘除法法则计算即可．
【详解】（1）原式=3×23×45÷15×83
=2×100×6=206；
（2）原式3×(−18)×223×15×52=−34×5=−154；
（3）原式=4a2bab⋅ab=4a2b=4abb．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，主要考查学生的化简能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
【变式2-1】（2023春·福建龙岩·八年级校联考期中）计算
(1)−4318÷28×1354
(2)(6+1)2−3−23+2
【答案】(1)−66
(2)6+26
【分析】（1）先计算括号里的乘法运算，相除化简即可得到结果；
（2）运用完全平方公式、平方差公式化简，计算即可得到结果．
【详解】（1）解原式＝−42÷(42×6)
＝−42÷83
＝−66；
（2）解原式=7 +26−(3−2)
=7+26−1
=6+26
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式等相关知识，解题关键是熟练掌握运算法则．
【变式2-2】（2023春·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）计算：312x⋅123xy÷−3418x2y3．
【答案】−22y
【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可．
【详解】解：312x⋅123xy÷−3418x2y3
=32÷(−34)12x×3xy÷18x2y3
=32×(−43)12x×3xy×x2y318
=−22y2，
根据12x与3xy得：x>0，y>0，
∴原式=−22y
【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握二次根式的乘除运算法则是关键，最后二次根式要化成最简二次根式．
【变式2-3】（2023春·黑龙江鸡西·八年级统考期中）（1）计算：2−52+5−2−22
（2）下面是王鑫同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的问题：
92−12×24+323
=92−12×24+323……第一步
=322−23×26+23×323……第二步
=322−122+62……第三步
=922……第四步
①以上化简步骤中第一步化简的依据是：______；
②第______步开始出现错误，请写出错误的原因______；
③该运算正确结果应是______.
【答案】（1）−7+42；（2）①商的算术平方根，等于算术平方根的商或ab=ab（a≥b，b>0）；②二，括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；③−3322.
【分析】（1）根据平方差公式，完全平方公式化简计算即可．
（2）①根据二次根式的性质：ab=ab（a≥b，b>0），即可得到答案；
②括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号．
③根据二次根式的性质和运算法则，正确运算即可．
【详解】（1）2−52+5−2−22=4−5−4−42+2=−1−6+42=−7+42；
（2）①化简步骤中第一化简的依据为ab=ab（a≥b，b>0），
故答案为：ab=ab（a≥b，b>0）；
②第二步开始出现错误，错误的原因为：括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；
故答案为：二，括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；
③92−12×24+323
=92−12×24+323
=322−23×26−23×323
=322−122−62
=−3322.
该运算正确结果应是−3322.
故答案为：−3322.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和性质，熟练掌握二次根式运算的法则是解题的关键．
【题型3 把根号外的因数（式）移到根号内】
【例3】（2023春·全国·八年级专题练习）把2−x1x−2的根号外因式移到根号内得____________．
【答案】−x−2
【分析】根据二次根式被开方数是非负数且分式分母不为零，将根号外的因式转化成正数形式，然后进行计算，化简求值即可．
【详解】解：∵ 1x−2>0，
∴x−2>0；
2−x1x−2
=−(x−2)1x−2
=−(x−2)21x−2
=−(x−2)(x−2)x−2
=−x−2
故答案为：−x−2
【点睛】本题考查二次根式的性质和二次根式计算，灵活运用二次根式的性质是解题关键．
【变式3-1】（2023春·山东·八年级统考期中）若把﹣43根号外的因式移到根号内，得（ ）
A．12B．﹣12C．﹣48D．48
【答案】C
【分析】把4写成16的形式，利用二次根式的乘法法则即可得到．
【详解】解：﹣43 ＝﹣16×3＝﹣48
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法法则，以及二次根式的化简，解题的关键是避免出现符号错误的问题．
【变式3-2】（2023春·江苏南通·八年级阶段练习）把−a−1a中根号外面的因式移到根号内的结果是（ ）
A．−aB．−aC．−−aD．a
【答案】A
【详解】试题分析：因为−a−1a有意义，所以a＜0，所以−a−1a=−a−aa2=−a−a|a|=−a−a−a=−a，故选A．
考点：二次根式的化简．
【变式3-3】（2023春·河北唐山·八年级校考期末）把下列根号外的因式移到根号内.
(1)a1a;
(2)xyx-y·x2-2xy+y2xy(x>y>0);
(3)ab1a-1b(00,∴a>0,a=a2,∴a1a=a2·1a=a2·1a=a;
(2) ∵x>y>0,∴x-y>0,xy>0,即xyx-y>0.
∴xyx-y=xyx-y2,
∴xyx-y·x2-2xy+y2xy=xyx-y2·x2-2xy+y2xy=xyx-y2·x2-2xy+y2xy=(xy)2(x-y)2·(x-y)2xy=xy;
(3) ∵00)
（4）nmmn(n0)
=5a2b；
（4）nmmn(nb>aB．c>a>bC．b>a>cD．b>c>a
【答案】A
【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论．
【详解】解：∵a=2020×2022−2020×2021=2020×2022−2021=2020，
∴a2=20202，
∵b=20232−4×2022，c=20212−1，
∴b2=20232−4×2022=2022+12−4×2022=2022−12=20212，
c2=20212+1，
∵20202a2，
∵a、b、c都是大于0的实数，
∴c>b>a，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键．
【变式8-2】（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
（1）比较15−14和14−13的大小．
（2）求y=x+1−x−1+3的最大值．
【答案】（1）15−1413，
∴15+14>14+13，
∴15−142+1，3−23+2，
∴14+3＜13+2，即：4−3＜3−2；
（2）∵(n+1−n)(n+1+n)=1，(n−n−1)(n+n−1)=1，
∴n+1−n=1n+1+n，n−n−1=1n+n−1，
又∵n+1+n＞n+n−1，
∴1n+1+n＜1n+n−1，即：n+1−n＜n−n−1．
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数或式子，是解题的关键．
【题型9 应用二次根式的乘除运算解决实际问题】
【例9】（2023春·八年级课时练习）站在竖直高度ℎm的地方，看见的水平距离是dm，它们近似地符合公式d=8ℎ5.某一登山者登上海拔2000m的山顶，那么他看到的水平距离是________m.
【答案】160
【分析】把h=2000代入公式d=8ℎ5进行即可.
【详解】解：把h=2000代入公式d=8ℎ5得
d=820005=8400=8×20=160
所以答案是：160.
【点睛】本题考查了二次根式的计算.熟练掌握二次根式的性质是运算的关键.
【变式9-1】（2023春·八年级单元测试）站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符号公式为d=8ℎ5，某一登山者从海拔h米处登上海拔2ℎ米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？
【答案】2
【分析】由题意知d和h的关系式，则由海拔h米处登上海拔2ℎ米高的山顶，那么他看到的水平线的距离之比可以得到．
【详解】解：登山者看到的原水平线的距离为d1=8ℎ5，现在的水平线的距离为d2=82ℎ5，d2d1=82ℎ58ℎ5=2，即他看到的水平线的距离是原来的2倍．
【变式9-2】（2023春·浙江·八年级专题练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为ℎ，观测者视线能达到的最远距离为d，则d≈2ℎR，其中R是地球半径，约等于6400km．小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度ℎ为0.02km，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求d的值为_____km．
【答案】16
【分析】根据d≈2ℎR，R≈6400km，ℎ=0.02km，由此即求解．
【详解】解：根据题意得，d≈2ℎR，R≈6400km，ℎ=0.02km，
∴d≈2ℎR=2×6400×0.02=80×0.2=16(km)，
故答案是：16．
【点睛】本题主要考查的是代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键．
【变式9-3】（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是a、b、c a>b>c>0，若木块对桌面的最大压强为p1，最小压强为p2，则p1p2的值等于______．
【答案】acc
【分析】先分别求解最大压强与最小压强，再列式计算即可．
【详解】解：如图，a>b>c，
∴a>b>c
∴ab>bc，
∵最大压强是前面向下放置，
∴p1=Fbc，
∵最小压强是面积最大的面向下，
∴p2=Fab，
∴p1p2=Fbc×abF=ac=acc；
故答案为：acc．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算的实际应用，属于跨学科的题，熟记公式与二次根式的除法运算是解本题的关键．
【题型10 二次根式乘除法中的新情境题】
【例10】（2023春·八年级课时练习）老师在复习“二次根式”时，在黑板上写出下面的一道题作为练习：
已知7=a，70=b，用含a，b的代数式表示4.9．小豪、小麦两位同学跑上讲台，板书了下面两种解法：
小豪：4.9=4910=49×1010×10=490100=7×7010=7×7010=ab10．
小麦：4.9=49×0.1=70.1．
因为0.1=110=770=770=ab，4.9=70.1=7ab．
老师看罢，提出下面的问题：
(1)两位同学的解法都正确吗？
(2)请你说明理由．
【答案】(1)都正确
(2)见解析
【分析】（1）仔细阅读两同学的解题过程，然后判断；
（2）证明两人所得结果可以互相转换即可．
(1)
解：都正确．
(2)
解：理由如下：
观察两位同学的解答过程可知，均符合二次根式运算法则，所得结果可以互相转换，
ab10=7×7010=7×7010×70=7×770=7ab．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，灵活运用二次根式运算法则是解题的关键．
【变式10-1】（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）请阅读材料，并解决实际问题：海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积S=pp−ap−bp−c．这个公式称海伦公式．秦九韶（约1202—1261），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S=14a2b2−a2+b2−c222．它填补了中国数学史上的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一公式，所以海伦公式也称海伦—秦九韶公式．问题：在△ABC中，AC=5，AB=6，BC=7，用海伦—秦九韶公式求△ABC的面积为____．
【答案】66
【分析】先求出AC+AB+BC2的值，再将各值代入公式进行计算即可得．
【详解】∵在△ABC中，AC=5，AB=6，BC=7，
∴AC+AB+BC2=5+6+72=9，
∴△ABC的面积为9×9−5×9−6×9−7=66，
故答案为：66．
【点睛】本题考查了二次根式的几何应用，正确理解海伦—秦九韶公式是解题关键．
【变式10-2】（2023春·福建福州·八年级统考期中）我们知道，二次根式乘除法有如下性质：a⋅b=ab(a≥0,b≥0)，ab=ab(a≥0,b>0)，那么二次根式加法是否具有类似性质呢？请同学们根据下列问题开启探索之旅：
(1)举些例子比较a+b与a+b(a≥0,b≥0)的大小，并提出猜想；(至少举3例，举例要全面哦)
(2)利用学过的知识证明你的猜想．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意列举出三个具体数据的实例进行计算得出结论；
（2）利用两个非负数平方的大小，来比较这两个非负数的大小的方法进行证明即可．
【详解】（1）例如：①1+2=1+2，而1+2=3，
∴1+2>1+2；
②0+5=5，而0+5=5，
∴0+5=0+5；
③5+2≈3.65，而5+2=7，2