中考数学一轮复习专题2.2 相反数、绝对值【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题2.2 相反数、绝对值【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版），共21页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11256" 【题型1 相反数与绝对值的概念辨析】 PAGEREF _Tc11256 \h 1
\l "_Tc4310" 【题型2 相反数的几何意义的应用】 PAGEREF _Tc4310 \h 3
\l "_Tc23770" 【题型3 绝对值非负性的应用】 PAGEREF _Tc23770 \h 5
\l "_Tc30956" 【题型4 化简多重符号】 PAGEREF _Tc30956 \h 6
\l "_Tc5258" 【题型5 化简绝对值】 PAGEREF _Tc5258 \h 8
\l "_Tc24992" 【题型6 利用相反数的性质求值】 PAGEREF _Tc24992 \h 10
\l "_Tc16834" 【题型7 解绝对值方程】 PAGEREF _Tc16834 \h 11
\l "_Tc91" 【题型8 绝对值几何意义的应用】 PAGEREF _Tc91 \h 13
\l "_Tc26998" 【题型9 有理数的大小比较】 PAGEREF _Tc26998 \h 16
\l "_Tc14371" 【题型10 应用绝对值解决实际问题】 PAGEREF _Tc14371 \h 18
【知识点1 相反数与绝对值】
相反数：
1.概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
相反数的表示方法：一般地，a和-a互为相反数，这里的a表示任意一个数可以是正数、负数也可以是零，特别地，一个数的相反数等于它本身这个数是零.
2.性质：若a与b互为相反数，那么a+b=0.
绝对值：
1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a.
2.性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【题型1 相反数与绝对值的概念辨析】
【例1】（2023秋·福建龙岩·七年级校考阶段练习）与-4的和为0的数是（ ）
A．14B．4C．-4D．−14
【答案】B
【分析】与-4的和为0的数，就是-4的相反数4．
【详解】解：与-4的和为0的数，就是求出-4的相反数4，
故选：B．
【点睛】此题考查相反数的意义，掌握互为相反数的两个数的和为0的性质是解决问题的基础．
【变式1-1】（2023·江苏·七年级假期作业）将符号语言“|a|=a(a≥0)”转化为文字表达，正确的是（ ）
A．一个数的绝对值等于它本身B．负数的绝对值等于它的相反数
C．非负数的绝对值等于它本身D．0的绝对值等于0
【答案】C
【分析】根据绝对值的含义及绝对值的性质逐项判断即可解答．
【详解】解：∵一个非负数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，
∴A项不符合题意；
∵a≥0，表示的是非负数的绝对值，不是负数的绝对值，
∴B不符合题意；
∵一个非负数的绝对值等于它本身，
∴C符合题意；
∵a≥0，表述的是非负数的绝对值，不只是0的绝对值，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的含义及绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解题的关键．
【变式1-2】（2023·江苏·七年级假期作业）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．−+1和+−1B．−−1和+−1
C．−+1和−1D．+−1和−1
【答案】B
【分析】先化简各数，然后根据相反数的定义判断即可．
【详解】解：A、−+1=−1，+−1=−1，不是相反数，故此选项不符合题意；
B、−−1=1，+−1=−1，是相反数，故此选项符合题意；
C、−+1=−1，不是相反数，故此选项不符合题意；
D、+−1=−1，不是相反数，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相反数．先化简再求值是解题的关键．
【变式1-3】（2023秋·江苏盐城·七年级江苏省响水中学阶段练习）绝对值小于2016的所有的整数的和________．
【答案】0
【详解】绝对值小于2016的所有整数为： −2015，…，0，1，…，2015，
故-2015+(-2014)+(-2013)+…+2013+2014+2015
=(-2015+2015)+( -2014+2014)+( -2013+2013)+…+(-1+1)+0=0；
故答案为0.
点睛：由于数比较多，不可能挨个求和，故考虑用“互为相反数的两个数的和等于0”这个性质.
【题型2 相反数的几何意义的应用】
【例2】（2023·全国·七年级假期作业）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：
(1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？
(2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？
【答案】(1)-1
(2)点C表示的数是0.5，D表示的数是-4.5
【分析】（1）根据互为相反数的定义确定出原点的位置，再根据数轴写出点C表示的数即可；
（2）根据互为相反数的定义确定出原点的位置，再根据数轴写出点C、D表示的数即可．
【详解】（1）由点A、B表示的数是互为相反数可知数轴上原点的位置如图，
故点C表示的数是-1．
（2）由点D、B表示的数是互为相反数可知数轴上原点的位置如图，
故点C表示的数是0.5，D表示的数是-4.5．
【点睛】本题考查了相反数的定义和数轴，解题的关键是根据题意找出原点的位置．
【变式2-1】（2023秋·七年级课时练习）如图，数轴上两点A、B表示的数互为相反数，若点B表示的数为6，则点A表示的数为（ ）
A．6B．﹣6C．0D．无法确定
【答案】B
【分析】根据数轴上点的位置，利用相反数定义确定出点A表示的数即可.
【详解】解：∵数轴上两点A，B表示的数互为相反数，点B表示的数为6，
∴点A表示的数为﹣6，
故选：B.
【点睛】此题考查数轴与有理数，相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键.
【变式2-2】（2023·全国·七年级假期作业）如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，已知a，b均为有理数，且a+b=0，则它们在数轴上的位置不可能落在( )
A．线段AB上B．线段BC上C．线段BD上D．线段AD上
【答案】A
【分析】根据相反数的性质，数轴的定义可知，a,b位于原点两侧，据此即可求解．
【详解】解：∵a，b均为有理数，且a+b=0，
∴a,b位于原点两侧，
∴a,b在数轴上的位置不可能落在线段AB上，
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数的性质，数轴的定义，数形结合是解题的关键．
【变式2-3】（2023秋·江苏无锡·七年级校考阶段练习）用“⇒”与“⇐”表示一种法则：（a⇒b）＝﹣b，（a⇐b）＝﹣a，如（2⇒3）＝﹣3，则（2023⇒2018）⇐ （2023⇒2015）＝__________
【答案】2018．
【分析】根据题意，（a⇒b）=-b，（a⇐b）=-a，可知（2023⇒2018）=-2018，（2023⇒2015）=-2015，再计算（-2018⇐-2015）即可．
【详解】解：∵（a⇒b）=-b，（a⇐b）=-a，
∴（2023⇒2018）⇐（2023⇒2015）=（-2018⇐-2015）=2018．
故答案为：2018．
【点睛】本题这是一种新定义问题，间接考查了相反数的概念，一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．解题的关键是根据题意掌握规律．
【题型3 绝对值非负性的应用】
【例3】（2023秋·云南昭通·七年级校考阶段练习）已知|a﹣2|与|b﹣3|互为相反数，求a+b的值.
【答案】5.
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列非常求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】∵|a-2|与|b-3|互为相反数，
∴|a-2|+|b-3|=0，
∴a-2=0，b-3=0，
解得a=2，b=3，
所以，a+b=2+3=5．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【变式3-1】（2023秋·云南楚雄·七年级校考阶段练习）对于任意有理数a，下列式子中取值不可能为0的是（ ）
A．a+1B．−1+aC．a+1D．−1+a
【答案】C
【分析】根据绝对值的非负性即可得出答案．
【详解】解：A．当a=−1时，a+1=0，则a+1=0，故A选项不符合题意；
B．当a=−1时，−1+a=1−1=0，故B选项不符合题意；
C．a≥0，则a+1≥1，不可能为0，故C选项符合题意；
D．当a=±1时，−1+a=−1+1=0，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握任何数的绝对值都是非负数，两个非负数的和一定为非负数．
【变式3-2】（2023秋·山东潍坊·七年级统考期中）若a−1+b+2=0，求a+−b．
【答案】3
【分析】根据绝对值的非负性求解即可．
【详解】解：∵a−1+b+2=0，
∴a−1=0，b+2=0，
解得：a=1，b=−2，
故a+−b=1+2=3．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，准确的计算是解决本题的关键．
【变式3-3】（2023秋·七年级课时练习）对于任意有理数m，当m为何值时，5−|m−3|有最大值？最大值为多少？
【答案】5
【分析】根据绝对值的非负性得到|m−3|≥0，得到当m=3时，|m−3|最小，代入求解即可；
【详解】解：由绝对值都是非负数，得|m−3|≥0．当m=3时，|m−3|最小，最小值为0，此时5−|m−3|有最大值，最大值是5．
【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性应用，准确计算是解题的关键．
【题型4 化简多重符号】
【例4】（2023秋·全国·七年级专题练习）化简下列各数：
(1)−−23=________ ；(2)−+45=________；(3)−{+[−(+3)]}=________．
【答案】 23 −45 3
【分析】根据多重符合化简的法则，化简结果的符合由符号的个数决定，确定符号后可得结果．
【详解】解：−−23=23，
−+45=−45，
−{+[−(+3)]}=3，
故答案为：23，−45，3．
【点睛】本题考查了化简多重符号，多重符号的化简是由“−”的个数来定，若“−”个数为偶数个时，化简结果为正；若“−”个数为奇数个时，化简结果为负．
【变式4-1】（2023·浙江·七年级假期作业）下列化简正确的是（ ）
A．+−6=6B．−−8=8
C．−−9=−9D．−+−7=−7
【答案】B
【分析】根据化简多重符号的方法逐项判断即可求解．
【详解】解：A. +−6=−6，原选项计算错误，不合题意；
B. −−8=8，原选项计算正确，符合题意；
C. −−9=9，原选项计算错误，不合题意；
D. −+−7=7，原选项计算错误，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查有理数的多重符合化简，化简多重符号就是看数字前负号的个数，如果负号的个数是奇数个则最终符号为负号，如果负号个数为偶数个则最终符号为正号．
【变式4-2】（2023秋·江苏无锡·七年级统考期末）在−+2.5，−−2.5，+−2.5，++2.5中，正数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据多重符号化简原则逐一进行判断即可得到答案．
【详解】解：∵−+2.5=−2.5，−−2.5=2.25，+−2.5=−2.5，++2.5=2.5，
∴正数的个数是2个，
故选B．
【点睛】本题考查了多重符号化简，解题关键是掌握多重符号化简的原则：若一个数前有多重符号，则看该数前面的符号中，符号“−”的个数来决定，即奇数个符号则该数为负数，偶数个符号，则该数为正数．
【变式4-3】（2023·全国·七年级假期作业）化简下列各式的符号：
（1）﹣（＋4）；
（2）＋（﹣37）；
（3）﹣[﹣（﹣325）]；
（4）﹣{﹣[﹣（﹣π）]}．
化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”号的个数与什么关系吗？
【答案】（1）-4；（2）−37；（3）−325；（4）π；最后结果的符号与﹣的个数有着密切联系，如果一个数是正数，当﹣的个数是奇数，最后结果为负数，当﹣的个数是偶数，最后结果为正数
【分析】根据已知数据结合去括号的法则化简各数，进而得出结果的符号与原式中的“-”号的个数的关系．
【详解】解：（1）﹣（+4）＝﹣4；
（2）+(−37)=−37；
（3）﹣[﹣（﹣325）]＝﹣325；
（4）﹣{﹣[﹣（﹣π）]}＝π．
最后结果的符号与“﹣”的个数有着密切联系，如果一个数是正数，当“﹣”的个数是奇数，最后结果为负数，当“﹣”的个数是偶数，最后结果为正数．
【点睛】本题考查了相反数的意义，正确发现数字变化规律是解题的关键．
【题型5 化简绝对值】
【例5】（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简b+c+a−c=_______．

【答案】a−b−2c
【分析】先由数轴判断a，b，c与0的大小关系，其中a>0,b<0,c<0，则b+c<0，a−c>0，再根据绝对值的意义，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数，0的绝对值是0，进而得出结果．
【详解】解：∵ a>0,b<0,c<0，
∴ b+c<0，a−c>0，
∴ b+c+a−c=−(b+c)+a−c=−b−c+a−c=a−b−2c
故答案为：a−b−2c．
【点睛】本题主要考查了数轴上的点以及绝对值的意义，其中正确掌握正负数的绝对值是解题的关键．
【变式5-1】（2023秋·江苏宿迁·七年级统考期中）如果m=n，那么m，n的关系（ ）
A．相等B．互为相反数C．都是0D．互为相反数或相等
【答案】D
【分析】利用绝对值的代数意义化简即可得到m与n的关系．
【详解】解：∵m=n，
∴m=n或m=−n，即互为相反数或相等，
故选：D．
【点睛】此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
【变式5-2】（2023·浙江·七年级假期作业）化简：
(1)|−(+7)|；
(2)−|−8|；
【答案】(1)7
(2)−8
【分析】（1）先化简括号的符号，然后再根据绝对值的性质化简即可；
（2）直接化简绝对值即可．
【详解】（1）解：−+7
=−7
=7
（2）−|−8|
=−8．
【点睛】本题主要考查绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．
【变式5-3】（2023·全国·七年级假期作业）求下列各数的绝对值：
(1)−38；
(2)0.15；
(3)aa<0；
(4)3bb>0；
【答案】(1)38
(2)0.15
(3)−a
(4)3b
【分析】根据正数与0的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数即可求解．
【详解】（1）|−38|=38；
（2）0.15=0.15；
（3）∵a<0，
∴a=−a；
（4）∵b>0，
∴3b>0，
∴3b=3b
【点睛】本题考查了绝对值的性质，准确把握“正数与0的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数”是解题的关键．
【题型6 利用相反数的性质求值】
【例6】（2023·全国·七年级专题练习）已知－213的相反数是x，－5的相反数是y，z的相反数是0，求x＋y＋z的相反数．
【答案】－713
【分析】根据相反数的概念求出x，y，z的值，代入x+y+z即可得到结果．
【详解】解：∵－213的相反数是x，－5的相反数是y，z相反数是0，
∴x=213，y=5，z=0，
∴x+y+z=213+5+0=713.
∴x+y+z的相反数是－713 ．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记相反数的概念是解题的关键．
【变式6-1】（2023秋·湖北孝感·七年级统考期中）在数轴上表示整数a、b、c、d的点如图所示，单位长度为1，且a+b=0，则c+d的值是________．

【答案】−4．
【分析】根据题意先确定原点的位置，然后得到c、d表示的数，再进行计算即可．
【详解】解：∵a+b=0，
∴a与b互为相反数，
由数轴可知，如图：

∴a=−2，b=2，c=−8，d=4，
∴c+d=−8+4=−4；
故答案为：−4．
【点睛】本题考查了数轴的定义，相反数的定义，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题．
【变式6-2】（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）若 a+b=0，则 ab 的值是 ( )
A．−1B．0C．无意义D．−1或无意义
【答案】D
【分析】分b=0，b≠0两种情形计算即可．
【详解】当b≠0时，
∵a+b=0，
∴a=−b，
∴ab=−bb=−1；
当b=0时，
∵a+b=0，
∴a=0，
∴ab无意义，
∴ab的值是−1或无意义，
故选D．
【点睛】本题考查了相反数的意义，及其商的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
【变式6-3】（2023秋·湖南永州·七年级校考阶段练习）已知a，b互为相反数，则a+2a+3a+⋯+49a+50a+50b+49b+⋯+3b+2b+b=________．
【答案】0
【分析】根据相反数的概念，得到a+b=0，继而可得出答案．
【详解】解：∵a，b互为相反数，
∴a+b=0.
∴a+2a+3a+...+49a+50a+50b+49b+...+3b+2b+b
=a+b+2a+b+3a+b+...+50a+b
=0．
故答案为：0．
【点睛】本题考查了相反数的概念，属于基础题，注意掌握相反数的概念是关键．
【题型7 解绝对值方程】
【例7】（2023秋·江苏宿迁·七年级泗阳致远中学校考阶段练习）若|−m|=|−12|，则m的值为（ ）
A．±2B．−12或12C．12D．−12
【答案】B
【分析】根据绝对值的性质，进行化简求解即可．
【详解】解：|−m|=|−12|
|−m|=12，
∴m=±12，
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值方程问题，解题的关键是掌握绝对值化简的性质，正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数．
【变式7-1】（2023秋·海南省直辖县级单位·七年级校考阶段练习）如果x−2=2，那么x是（ ）
A．4B．-4C．±2D．±4
【答案】D
【分析】根据绝对值意义进行解答即可．
【详解】解：∵ x−2=2，
∴x=4，
∴x=±4，
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，绝对值表示该数在数轴表示的点距原点的距离．
【变式7-2】（2023秋·湖北孝感·七年级统考期中））已知a+1=2,2b−1=7,a【答案】5或7
【分析】根据绝对值的意义以及a与b的关系求出a和b的值，代入计算即可．
【详解】解：∵a+1=2,2b−1=7,
∴a=1或-3，b=4或-3，
∵a∴a=1，b=4，或a=-3，b=4，
a+b=5或7．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是掌握已知一个数的绝对值，求这个数．
【变式7-3】（2023秋·江苏·七年级专题练习）解方程：3x−x+5=1．
【答案】x=−1
【分析】根据绝对值的意义，分类讨论求解即可．
【详解】解：当x≥0时，3x−x+5=1，
解得：x=−2（不符合题意，舍去），
当x<0时，3x+x+5=1，
解得：x=−1，
综上所述：x=−1，
∴原方程的解为：x=−1．
【点睛】本题考查了绝对值方程，解本题的关键在熟练掌握绝对值的意义．正数的绝对值为它本身，负数的绝对值则是它的相反数，0的绝对值还是为0．
【题型8 绝对值几何意义的应用】
【例8】（2023秋·全国·七年级专题练习）x−1+x−2+x−3+⋅⋅⋅+x−2021的最小值是（ ）
A．1B．1010C．1021110D．2020
【答案】C
【分析】x为数轴上的一点，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|表示：点x到数轴上的2021个点（1、2、3、…2021）的距离之和，进而分析得出最小值为：|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+…|1011-2021|求出即可．
【详解】解：在数轴上，要使点x到两定点的距离和最小，则x在两点之间，最小值为两定点为端点的线段长度（否则距离和大于该线段）；
所以：当1≤x≤2021时，|x-1|+|x-2021|有最小值2020；
当2≤x≤2020时，|x-2|+|x-2020|有最小值2018；…
当x=1011时，|x-1011|有最小值0．
综上，当x=1011时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能够取到最小值，
最小值为：|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+…|1011-2021|
=1010+1009+…+0+1+2+…+1010
=1011×1010
=1021110．
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的性质以及利用数形结合求最值问题，利用已知得出x=1011时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能够取到最小值是解题关键．
【变式8-1】（2023秋·七年级单元测试）小亮把中山路表示成一条数轴，如图所示，把路边几座建筑的位置用数轴上的点，其中火车站的位置记为原点，正东方向为数轴正方向，公交车的1站地为1个单位长度（假设每两站之间距离相同）回答下列问题：
(1)到火车站的距离等于2站地的是 和 ．
(2)到劝业场的距离等于2站地的是 和 ．
(3)在数轴上，到表示1的点的距离等于2的点有 个，表示的数是 ．
(4)如果用a表示图中数轴上的点，那么a表示该点到火车站的距离，当a=2时，a=2或−2．请你结合图形解释等式a−1=2表达的几何意义，并求出当a−1=2时，a的值．
【答案】(1)烈士陵园，北国商城
(2)人民商场，博物馆
(3)2，−1或3
(4)表达的几何意义见解析，a的值为3或−1
【分析】（1）由图即可直接得出结论；
（2）由图即可直接得出结论；
（3）结合数轴即可直接得出结论；
（4）结合图形可知a−1=2的几何意义为：该点到劝业场的距离等于2，进而可直接得出a的值．
【详解】（1）解：由图可知到火车站的距离等于2站地的是人民商场和劝业场．
故答案为：烈士陵园，北国商城；
（2）解：由图可知到劝业场的距离等于2站地的是人民商场和博物馆．
故答案为：人民商场，博物馆；
（3）解：在数轴上，到表示1的点的距离等于2的点有2个，分别是−1和3．
故答案为：2，−1或3；
（4）解：该题中a−1=2的几何意义为：该点到劝业场的距离等于2，且为人民商场或博物馆．即到表示1的点的距离等于2的点．
结合图形可知当a−1=2时，a的值为3或−1．
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，绝对值的意义．利用数形结合的思想是解题关键．
【变式8-2】（2023春·浙江·七年级期末）方程x+x−2022=x−1011+x−3033的整数解共有（ ）
A．1010B．1011C．1012D．2022
【答案】C
【详解】根据绝对值的意义，方程表示整数x到0与2022的距离和等于到1011与3033的距离的和，进而得出x为1011与2022之间的整数，据此即可求解．
【分析】解：方程的整数解是1011至2022之间的所有整数，共有1012个．
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点的距离，理解绝对值的意义是解题的关键．
【变式8-3】（2023秋·七年级单元测试）阅读材料：因为x=x−0，所以x的几何意义可解释为数轴上表示数x的点与表示数0的点之间的距离．这个结论可推广为：x1−x2的几何意义是数轴上表示数x1的点与表示数x2的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：
(1)等式x−2=3的几何意义是什么？这里x的值是多少？
(2)等式x−4=x−5的几何意义是什么？这里x的值是多少？
(3)式子x−1+x−3的几何意义是什么？这个式子的最小值是多少？
【答案】(1)几何意义为数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离等于3，x=−1或5
(2)几何意义是点P到点A的距离等于点P到点B的距离，x=412
(3)几何意义是点P到点M的距离与点P到点N的距离的和，最小值为2
【分析】（1）根据x1−x2的几何意义求解可得；
（2）先去绝对值，再解方程即可求解；
（3）由题意知x−1+x−3表示数x到1和3的距离之和，当数x在两数之间时式子取得最小值．
【详解】（1）解：等式x−2=3的几何意义为数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离等于3，这里x=−1或5．
（2）解：设数轴上表示数x，4，5的点分别为P，A，B，
则等式x−4=x−5的几何意义是点P到点A的距离等于点P到点B的距离，即PA=PB，所以x=412．
（3）解：设数轴上表示数x，1，3的点分别为P，M，N，
则式子x−1+x−3的几何意义是点P到点M的距离与点P到点N的距离的和，即PM+PN．
结合数轴可知：当1≤x≤3时，式子x−1+x−3的值最小，最小值为2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．
【题型9 有理数的大小比较】
【例9】（2023·湖北孝感·七年级统考期中））在1，−2，0，32这四个数中，绝对值最小的数是（ ）
A．1B．−2C．0D．32
【答案】C
【分析】先求绝对值，然后根据有理数大小比较即可求解．
【详解】解：∵1，−2，0，32这四个数的绝对值分别为1，2，0，32
∴绝对值最小的数是0，
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值，有理数的大小比较，熟练掌握绝对值的定义，有理数的大小比较是解题的关键．
【变式9-1】（2023秋·广东河源·七年级校考开学考试）已知下列有理数，在数轴上表示下列各数，并按原数从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来．
−5，+3，−−3.5，0，−−2，−1
【答案】数轴见解析，−5<−−3.5<−1<0<−−2<+3
【分析】先去括号，去绝对值符号，把各数在数轴上表示出来，按原数从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来即可．
【详解】解：−−3.5=−3.5，−−2=2，
如图，
故−5<−−3.5<−1<0<−−2<+3．
【点睛】本题主要考查数轴上有理数的表示及大小比较，熟练掌握数轴上有理数的表示及大小比较是解题的关键．
【变式9-2】（2023·浙江·七年级假期作业）（1）试用“<”“ >”或“=”填空：
①|+6|−|+5| |(+6)−(+5)|；②|−6|−|−5| |(−6)−(−5)|；
③|+6|−|−5| |(+6)−(−5)|；
（2）根据（1）的结果，请你总结任意两个有理数a、b的差的绝对值与它们的绝对值的差的大小关系为|a|−|b| |a−b|；
（3）请问，当a、b满足什么条件时，|a|−|b|=|a−b|？
【答案】（1）①=；②=；③＜；（2）≤；（3）①当a>b>0，②a【分析】（1）先计算，再比较大小即可；
（2）根据（1）的结果，进行比较即可；
（3）根据（1）的结果，可发现，当a、b同号时，|a|−|b|=|a−b|．
【详解】解：（1）①|+6|−|+5|=1，|(+6)−(+5)|=1，
∴ |+6|−|+5|=|(+6)−(+5)|；
②|−6|−|−5|=1，|(−6)−(−5)|=1，
∴|−6|−|−5|=|(−6)−(−5)|；
③|+6|−|−5|=1，|(+6)−(−5)|=11，
∴|+6|−|−5|<|(+6)−(−5)|；
故答案为：=,=,<；
（2）|a|−|b|⩽|a−b|；
故答案为：≤；
（3）①当a>b>0，②a【点睛】本题考查了有理数的大小比较及绝对值的知识，解题的关键是注意培养自己由特殊到一般的总结能力．
【变式9-3】（2023秋·湖北黄冈·七年级统考期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列关系正确的是（ ）
A．|a|＞|b|B．a＞﹣bC．b＜﹣aD．﹣a=b
【答案】C
【分析】先根据各点在数轴上的位置得出b﹤-c﹤0﹤a﹤c，再根据绝对值、相反数、有理数的大小逐个判断即可．
【详解】从数轴可知：b﹤-c﹤0﹤a﹤c，
∴∣a∣﹤∣b∣,a﹤-b，b﹤-a，-a≠b，
所以只有选项C正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较、相反数、绝对值、数轴的应用，解答的关键是熟练掌握利用数轴比较有理数的大小的方法．
【题型10 应用绝对值解决实际问题】
【例10】（2023·浙江·七年级假期作业）某汽车配件厂生产一批圆形的零件，现从中抽取6件进行检查，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检查记录如下表：
(1)找出哪件零件的质量相对好一些？
(2)若规定与标准直径相差不大于0.2毫米的产品为合格产品；则这6件产品中有哪些产品不合格？
【答案】(1)第4件质量最好；
(2)第1件、第2件产品不合格．
【分析】（1）根据绝对值越小质量越好，越大质量越差即可知道哪件零件的质量相对来讲好一些；
（2）按绝对值由大到小排即可．
【详解】（1）解：∵|+0.5|=0.5，|-0.3|=0.3，|+0.1|=0.1，|0|=0，|-0.1|=0.1，|+0.2|=0.2，
∵0＜0.1=0.1＜0.2＜0.3＜0.5，
∴|0|＜|+0.1|=|-0.1|＜|+0.2|＜|-0.3|＜|+0.5|，
∴第4件质量最好；
（2）解：∵|+0.5|=0.5＞0.2，|-0.3|=0.3＞0.2，
∴第1件、第2件产品不合格．
【点睛】本题主要考查绝对值的意义，可以结合绝对值的意义进行解答．
【变式10-1】（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，为了检测4个足球质量，规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．下列选项中最接近标准的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据绝对值最小的最接近标准，可得答案．
【详解】解：|−1.4|=1.4,|−0.5|=0.5,|0.6|=0.6,|−2.3|=2.3，
0.5<0.6<1.4<2.3，则最接近标准的是−0.5．
故选：B．
【点睛】本题考查了正数和负数，利用绝对值的意义是解题关键．
【变式10-2】（2023秋·山东济南·七年级校考阶段练习）按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，下表是几种饼干的检验结果，“＋”“－”分别表示比标准重量多和少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是_____．
【答案】甜味
【分析】找出表格中四个数值的绝对值最小的即可得．
【详解】解：+10=10，−8.5=8.5，+5=5，−7.3=7.3，
因为5<7.3<8.5<10，
所以最符合标准的一种食品是甜味，
故答案为：甜味．
【点睛】本题考查了绝对值的应用，理解题意，正确求出各数的绝对值是解题关键．
【变式10-3】（2023秋·浙江金华·七年级校考阶段练习）已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径的数量记作正数，不足标准直径的数量记作负数，检验员抽查了五件样品，检查结果如下：
（1）指出哪件样品的直径最符合要求；
（2）如果规定误差的绝对值在0.18mm之内是正品，误差的绝对值在0.18~0.22mm之间是次品，误差的绝对值超过0.22mm是废品，那么这五件样品分别属于哪类产品？
【答案】（1）第4件样品的直径最符合要求；（2）第1，2，4件样品是正品；第3件样品为次品；第5件样品为废品．
【分析】（1）表中的数据是零件误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好；
（2）因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小，每件样品所对应的结果的绝对值，即为零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，就可确定是正品、次品还是废品．
【详解】解：（1）∵−0.05<+0.10<−0.15<+0.20<+0.25，
∴第4件样品的直径最符合要求．
（2）因为|+0.10|=0.10<0.18,|−0.15|=0.15<0.18，|−0.05|=0.05<0.18．所以第1，2，4件样品是正品；
因为|+0.20|=0.20,0.18<0.20<0.22，所以第3件样品为次品；
因为+0.25=0.25>0.22，所以第5件样品为废品．
【点睛】考查了绝对值，绝对值越小表示数据越接近标准数据，绝对值越大表示数据越偏离标准数据．
1
2
3
4
5
6
+0.5
−0.3
+0.1
0
−0.1
+0.2
威化
咸味
甜味
酥脆
＋10（g）
－8.5（g）
＋5（g）
－7.3（g）
序号
1
2
3
4
5
直径（mm）
+0.10
−0.15
+0.20
−0.05
+0.25