中考数学一轮复习专题2.6 配方法的四种常见应用（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题2.6 配方法的四种常见应用（北师大版）（解析版），共34页。
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对配方法的四种常见应用的理解！
【类型1 利用配方法确定未知数的取值】
1．（2023春·安徽安庆·九年级安庆市第四中学校考期末）对于多项式x2+2x+4，由于x2+2x+4=x+12+3≥3，所以x2+2x+4有最小值3．已知关于x的多项式−x2+6x−m的最大值为10，则m的值为（ ）
A．1B．−1C．−10D．−19
【答案】B
【分析】原式配方后，利用非负数的性质确定出m的值即可．
【详解】解：−x2+6x−m
=−x2+6x−9+9−m
=−x2−6x+9+9−m
=−x−32+9−m，
∵x−32≥0，
∴−x−32≤0，
∴−x−32+9−m≤9−m，
∴−x2+6x−m的最大值为9−m，
∴9−m=10，
∴m=−1
故选：B．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确将原式配方是解题的关键．
2．（2023春·湖北省直辖县级单位·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程x2+6x+c=0配方后得到方程x+32=2c，则c的值为（ ）
A．−3B．0C．1D．3
【答案】D
【分析】根据完全平方式的特征对x2+6x+c=0配方可得x+32−9+c=0，通过变形可得c的值.
【详解】解：∵对x2+6x+c=0配方可得到x+32−9+c=0
∴x+32−9+c=0变形可得x+32=−c+9
∴−c+9=2c
∴c=3
故选：D
【点睛】本题考查了完全平方公式和一元二次方程的综合运用，熟练完全平方式的配方是解题的关键.
3．（2023春·浙江杭州·九年级期末）若−2x2+4x−7=−2(x+m)2+n，则m，n的值为（ ）
A．m=1,n=−5B．m=−1,n=−5C．m=1,n=9D．m=−1,n=−9
【答案】B
【分析】已知等式左边变形后，配方得到结果，即可确定出m与n的值．
【详解】解：∵-2x2+4x-7=-2（x2-2x+1）-5=-2（x-1）2-5=-2（x+m）2+n，
∴m=-1，n=-5．
故选：B．
【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．（2023春·辽宁大连·九年级统考期末）已知关于x的多项式−x2+mx+4的最大值为5，则m的值可能为（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】B
【分析】利用配方法将−x2+mx+4进行配方，即可得出答案.
【详解】解：−x2+mx+4=−x−m22+m24+4,
故m24+4=5,
解得：m=±2.
故选B.
【点睛】本题考查了配方法的运用，掌握配方法是解题的关键.
5．（2023春·山东青岛·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+3＝0通过配方可以化成(x+a)2＝b(b＞0)的形式，则k的值可能是( )
A．0B．2C．3D．92
【答案】B
【分析】把选项中的k的值代入，得出方程，再解方程，即可得出选项．
【详解】解：A、当k＝0时，方程为﹣6x+3＝0，不能化成(x+a)2＝b(b＞0)的形式，故本选项不符合题意；
B、当k＝2时，方程为2x2﹣6x+3＝0，
x2−3x=−32
x2−3x+(32)2=−32+(32)2，
(x−32)2=34，故本选项符合题意；
C、当k＝3时，方程为3x2﹣6x+3＝0，
x2﹣2x+1＝0，
(x﹣2)2＝0，b＝0，故本选项不符合题意；
D、当k=92时，方程为92x2−6x+3=0，
9x2﹣12x+6＝0，
9x2﹣12x+4＝﹣2，
(3x﹣2)2＝﹣2，b＜0，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和一元二次方程的定义，能正确配方是解此题的关键．
6．（2023春·天津和平·九年级校考期中）若方程4x2−(m−2)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．−2B．−2或6C．−2或−6D．2或−6
【答案】B
【分析】根据完全平方式a2±2ab+b2=（a±b）2的结构，而4x2=（2x）2，即可求解．
【详解】−(m−2)=±2×2×1，
∴m−2=±4，即m−2=4或m−2=−4，
得m=−2或m=6.
故选B.
【点睛】考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.
7．（2023春·河北保定·九年级统考期末）将一元二次方程x2−8x+5=0配方成x+a2=b的形式，则a+b的值为 ．
【答案】7
【分析】先移项，再在方程的两边都加上16，配方后可求解a，b的值，从而可得答案．
【详解】解：∵x2−8x+5=0，
移项得：x2−8x=−5，
∴x2−8x+16=11，
∴x−42=11，
∴a=−4，b=11，
∴a+b=7，
故答案为：7．
【点睛】此题考查的是配方法的应用，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键．
8．（2023春·山东威海·九年级统考期中）对于二次三项式x2+6x+3，若x取值为m，则二次三项式的最小值为n，那么m+n的值为 ．
【答案】-9
【分析】先将原式进行配方后即可得出m，n的值，再代入计算即可．
【详解】解：x2+6x+3
=x2+6x+9−6
=(x+3)2−6，
∵(x+3)2≥0，
∴x2+6x+3≥−6，即当x=−3时，二次三项式x2+6x+3的最小值为-6，
∴m=−3,n=−6，
∴m+n=−3−6=−9，
故答案为：-9．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确进行配方是解答本题的关键．
9．（2023春·江苏苏州·九年级统考期末）关于x的二次三项式x2+4x+9进行配方得x2+4x+9=(x+m)2+n
（1）则m= ， n= ；
（2）求x为何值时，此二次三项式的值为7 ?
【答案】（1）2，5；（2）2±2．
【详解】试题分析：（1）根据完全平方公式配方，即可得出答案；（2）根据题意得出方程，求出方程的解即可．
试题解析：（1）x2+4x+9=x2+4x+4+5=（x+2）2+5，∵x2+4x+9=（x+m）2+n，∴m=2，n=5，故答案为2，5；
（2）根据题意得：x2+4x+9=7，（x+2）2 =7-5，x+2=±2， x=-2±2，即当x=-2±2，此二次三项式的值为7．
考点：解一元二次方程—配方法．
10．（2023春·广西贺州·九年级统考期中）请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式的x2+2x−3最小值．
x2+2x−3=x2+2x⋅1+12−12−3=x+12−4
∵x+12≥0
∴当x=－1时，x2+2x−3有最小值－4
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)x2+23x+5=x2+2×3x+32+2=x+a2+b，则a＝__________，b＝__________；
(2)若代数式x2−2kx+7的最小值为3，求k的值．
【答案】(1)3，2
(2)k=±2
【分析】（1）根据配方法直接作答即可；
（2）根据题中材料告知的方法，先配方，再根据平方的非负性求解即可．
（1）
解：x2+23x+5
=x2+2×3x+32+2
=x+32+2，
∴a=3,b=2，
故答案为：3，2；
（2）
解：x2−2kx+7
=x2−2kx+k2−k2+7
=(x−k)2−k2+7，
∵（x−k)2≥0，
∴(x−k)2−k2+7的最小值是−k2+7，
∵代数式x2−2kx+7有最小值3，
∴−k2+7=3，即k2=4，
∴k=±2．
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及平方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．．
【类型2 利用配方法构造“非负数之和”解决问题】
1．（2023春·九年级课时练习）已知a，b，c满足a2+6b=7，b2−2c=−1，c2−2a=−17，则a−b+c的值为（ ）
A．−1B．5C．6D．−7
【答案】B
【分析】首先把a2+6b=7，b2−2c=−1，c2−2a=−17，两边相加整理成a2+6b+b2−2c+c2−2a+11=0，分解因式，利用非负数的性质得出a、b、c的数值，代入求得答案即可．
【详解】解：∵a2+6b=7，b2−2c=−1，c2−2a=−17，
∴a2+6b+b2−2c+c2−2a=−11，
∴a2+6b+b2−2c+c2−2a+11=0
∴(a−1)2+(b+3)2+(c−1)2=0，
∴a=1，b=−3，c=1，
∴a−b+c=1+3+1=5．
故选：B．
【点睛】此题考查了配方法，解题的关键是掌握完全平方公式是解决问题的关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）已知a－b＝2，ab＋2b－c2＋2c＝0，当b≥0，－2≤c＜1时，整数a的值是 ．
【答案】2或3
【分析】由a−b＝2，得出a＝b＋2，进一步代入ab+2b−c2+2c=0，利用完全平方公式得到b+22−c−12−3=0，再根据已知条件求出b的值，进一步求得a的值即可．
【详解】解：∵a−b＝2，
∴a＝b＋2，
∴ab+2b−c2+2c
=bb+2+2b−c2+2c
=b2+4b−c2−2c
=b+22−c−12−3
＝0，
∴b+22=c−12+3，
∵b≥0，−2≤c＜1，
∴−3≤c−10；当x0；当x0；当xN，
故答案为：M>N．
【点睛】比较两数的大小一个常用的方法是作差法，通过作差后的结果与0比较大小即可求解
2．（2023春·浙江杭州·九年级期末）已知M＝x2﹣3，N＝4（x﹣32）．
（1）当x＝﹣1时，求M﹣N的值；
（2）当1＜x＜2时，试比较M，N的大小．
【答案】（1）8；（2）MS2，见解析．
【分析】（1）仿照文中所给的配方法的思路解答即可；
（2）先提取公因数2，再利用文中所给的配方法的思路解答即可；
（3）将5x2−4xy+y2+6x+25配方成2x−y2+x+32+16，即可解答；
（4）求出S1−S2=a2−6a+10=a2−6a+9+1=a−32+1，利用a−32≥0，得到S1−S2≥1＞0，即S1＞S2．
【详解】（1）解： x2−2x−1=x2−2x+1−1−1=x−12−2
因为x−12≥0，所以x2−2x−1≥−2，
因此，当x=1时，代数式x2−2x−1有最小值，最小值是−2．
故答案为：1；−2
（2）解：2x2+8x+12=2x2+4x+6=2x2+4x+4+2=2x+22+4，
因为x+22≥0，所以2x2+8x+12≥4，
因此，当x=−2时，代数式2x2+8x+12有最小值，最小值是4．
（3）解：5x2−4xy+y2+6x+25=4x2−4xy+y2+x2+6x+9+16=2x−y2+x+32+16
因为2x−y2≥0，x+32≥0，所以5x2−4xy+y2+6x+25≥16，
因此，当2x=y，x=−3时，即x=−3，y=−6时，代数式5x2−4xy+y2+6x+25有最小值，最小值是16．
（4）解：S1=2a+53a+2=6a2+19a+10，S2=5aa+5=5a2+25a，
∴S1−S2=a2−6a+10=a2−6a+9+1=a−32+1，
∵a−32≥0，
∴S1−S2≥1＞0，即S1＞S2．
【点睛】本题考查配方法，解题的关键是理解题意，掌握配方法的原则．
4．（2023春·江苏宿迁·九年级校考期中）问题：对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式．但对于二次三项式x2+2xa−3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2xa−3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2xa−3a2=(a2+2ax+a2)−a2−3a2
=(x+a)2−4a2
=(x+a)2−(2a)2
=(x+3a)(x−a)
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法"，解决下列问题：
(1)分解因式：a2−6a+8.
(2)比较代数式x2−1与2x−3的大小.
【答案】(1)a2-6a+8=(a-2)(a-4)；(2)x2-1>2x-3.
【分析】(1)前两项加9再减9，可以组成完全平方式；
(2)将x2−1与2x−3做差，对所得的差利用“配方法”进行求解即可得.
【详解】(1)a2-6a+8
=a2-6a+9-9+8
=(a-3)2-1
=(a-2)(a-4)；
(2)x2−1-(2x−3)
=x2-1-2x+3
=x2-2x+2
=x2-2x+1-1+2
=(x-1)2+1，
不论x为何值，总有(x-1)2+1≥1>0，
所以x2-1>2x-3.
【点睛】本题考查了配方法，十字相乘法分解因式，偶次方的性质，因式分解的应用等，配方法是数学习题里经常出现的方法，应熟练掌握．
5．（2023春·江苏淮安·九年级统考期中）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：x2﹣4x+5＝（x ）2+ ；
（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；
（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．
【答案】（1）﹣2，1；（2）1；（3）x2﹣1＞2x﹣3
【分析】（1）直接配方即可；
（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x、y的值，再求x＋y的值；
（3）将两式相减，再配方即可作出判断．
【详解】解：（1）x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
故答案为：-2，1；
（2）x2﹣4x+y2+2y+5＝0，
（x﹣2）2+（y+1）2＝0，
则x﹣2＝0，y+1＝0，
解得x＝2，y＝﹣1，
则x+y＝2﹣1＝1；
（3）x2﹣1﹣（2x﹣3）
=x2﹣2x+2
=（x﹣1）2+1，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+1＞0，
∴x2﹣1＞2x﹣3．
【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方的关键步骤是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
6．（2023春·江苏苏州·九年级校联考期中）先阅读后解题：
若m2+2m+n2−6n+10=0，求m和n的值．
解：等式可变形为：m2+2m+1+n2−6n+9=0
即(m+1)2+(n−3)2=0
因为(m+1)2≥0，(n−3)2≥0，
所以m+1=0，n−3=0
即m=−1，n=3．
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题：
（1）已知x2+y2+4x−10y+29=0，求yx的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2−4a−6b+11=0，则△ABC的周长是________；
（3）在实数范围内，请比较多项式2x2+2x−3与x2+3x−4的大小，并说明理由．
【答案】（1）125；（2）7；（3）2x2+2x−3 >x2+3x−4，理由见解析．
【分析】（1）利用分组分解法进行配方即可解题；
（2）根据题意进行分组配方，解得a=1,b=3，再利用三角形三边关系解得c的值即可解题；
（3）利用作差法解题．
【详解】解：（1）x2+y2+4x−10y+29=0
x2+4x+4+y2−10y+25=0
(x+2)2+(y−5)2=0
因为(x+2)2≥0，(y−5)2≥0，
∴x+2=0,y−5=0
∴x=−2,y=5
∴yx=5−2=125；
（2）2a2+b2−4a−6b+11=0
2a2−4a+2+b2−6b+9=0
2(a−1)2+(b−3)2=0
因为(a−1)2≥0，(b−3)2≥0，
∴a=1,b=3
∴2x2+3x−4．
【点睛】本题考查配方法，涉及完全平方公式等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
7．（2023春·河南驻马店·九年级统考期末）阅读下列材料
利用完全平方公式，将多项式x2＋bx＋c变形为（x＋m）2＋n的形式．
例如：x2﹣8x＋17＝x2﹣2•x•4＋42﹣42＋17＝（x﹣4）2＋1
（1）填空：将多项式x2﹣2x＋3变形为（x＋m）2＋n的形式，并判断x2﹣2x＋3与0的大小关系．
∵x2﹣2x＋3＝（x﹣ ）2＋ ．
∴x2﹣2x＋3 0（填“＞”、“＜”、“＝”）
（2）如图①所示的长方形边长分别是2a＋5、3a＋2，求长方形的面积S1（用含a的式子表示）；如图②所示的长方形边长分别是5a、a＋5，求长方形的面积S2（用含a的式子表示）
（3）比较（2）中S1与S2的大小，并说明理由．

【答案】（1）1，2；＞；（2）S2=5a2+25a；（3）S1＞S2，见解析
【分析】（1）利用配方法将多项式x2﹣2x＋3变形为（x＋m）2＋n的形式，利用非负数的性质判断x2﹣2x＋3与0的大小关系；
（2）利用矩形的面积公式解答；
（3）利用作差法比较（2）中S1与S2的大小．
【详解】解：（1）x2﹣2x＋3＝x2﹣2x＋1﹣1＋3＝（x﹣1）2＋2，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2＋2＞0
故答案为：1，2；＞；
（2）S1=(2a+5)(3a+2)=6a2+19a+10，S2=5a(a+5)=5a2+25a；
（3）S1−S2＝6a2+19a+10−(5a2+25a)=a2−6a+10=（a−3）2+1
∵（a﹣3）2≥0
∴（a﹣3）2＋1＞0，
∴S1﹣S2＞0，
∴S1＞S2．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，正确完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
8．（2023春·广东肇庆·九年级德庆县德城中学校考期中）材料阅读
小明同学在学习过程中非常重视归纳总结，学习了完全平方公式之后，他发现并总结出了三个很有价值的结论：
①形如a±b2+c的式子，当a±b=0有最小值，最小值是c；
②形如−a±b2+c的式子，当a±b=0有最大值，最大值是c；
③а2+b2≥2ab．
这三个结论有着广泛的运用．比如：求x取何值时，代数式x2−4x+3有最小值，最小值是多少？小明同学用结论①求出了答案，他是这样解答的：
∵x2−4x+3=x2−4x+4−4+3=x2−4x+4−4+3=x−22−1
∴当x−2=0，即x=2时x2−4x+3的值最小，最小值为−1．
理解运用
请恰当地选用上面的结论解答下面的问题
(1)求x取何值时，代数式−x2−6x+5有最大值，最大值是多少？
(2)某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有两种方案：
方案一：第一次提价p%，第二次提价q%：
方案二：第一次，第二次提价均为p+q2%．
其中p，q是不相等的正数，请比较两种方案，哪种方案提价较多？
【答案】(1)当x=−3时，有最大值是14
(2)方案二提价较多
【分析】（1）根据题意将−x2−6x+5转化为−(x+3)2+14，据此解答；
（2）设此种产品的原料原价a元，根据题意，分别解得方案一，方案二提价后的价格，再利用求商法，比较两个结果即可解答．
【详解】（1）解：−x2−6x+5=−(x2+6x)+5=−(x2+6x+32−32)+5=−(x+3)2+14
当x+3=0，即当x=−3时，有最大值，最大值是14；
（2）设此种产品的原料原价a元，
方案一：a(1+p%)(1+q%)=a⋅100+p100⋅100+q100
方案二：a(1+p+q2%)2=a⋅(200+p+q)240000
∵a(1+p+q2%)2a(1+p%)(1+q%) =(200+p+q)240000100+p100⋅100+q100
=(100+p+100+q)24(100+p)(100+q)
=(100+p)2+(100+q)2+2(100+p)(100+q)4(100+p)(100+q)
∵(100+p)2+(100+q)2≥2(100+p)(100+q)
∴(100+p)2+(100+q)2+2(100+p)(100+q)4(100+p)(100+q)≥4(100+p)(100+q)4(100+p)(100+q)=1
∴方案二提价较多．
【点睛】本题考查完全平方公式、配方法求最值等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
n2+4n+5=n2+4n+4+1=n+22+1∴当n=−2时，代数式有最小值，最小值为1