中考数学一轮复习专题2.5 实际问题与二次函数【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题2.5 实际问题与二次函数【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版），共60页。

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\l "_Tc32716" 【题型1 利用二次函数求最大利润】 PAGEREF _Tc32716 \h 1
\l "_Tc3106" 【题型2 利用二次函数求最优方案】 PAGEREF _Tc3106 \h 7
\l "_Tc23931" 【题型3 利用二次函数求最大面积】 PAGEREF _Tc23931 \h 11
\l "_Tc6865" 【题型4 利用二次函数求最小周长】 PAGEREF _Tc6865 \h 18
\l "_Tc20830" 【题型5 利用二次函数解决拱桥问题】 PAGEREF _Tc20830 \h 24
\l "_Tc6655" 【题型6 利用二次函数解决隧道问题】 PAGEREF _Tc6655 \h 30
\l "_Tc4978" 【题型7 利用二次函数解决图形运动问题】 PAGEREF _Tc4978 \h 36
\l "_Tc9347" 【题型8 利用二次函数解决运动员空中跳跃轨迹问题】 PAGEREF _Tc9347 \h 42
\l "_Tc21184" 【题型9 利用二次函数解决球类运行的轨迹问题】 PAGEREF _Tc21184 \h 49
\l "_Tc22187" 【题型10 利用二次函数解决喷头喷出的球的轨迹问题】 PAGEREF _Tc22187 \h 53
【题型1 利用二次函数求最大利润】
【例1】（2023春·广东茂名·九年级校考开学考试）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台．
(1)当x>4时，若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？
(2)当04时，总利润
W=10(14−x)+[17−(x−4)]x，
整理得W=−x2+11x+140，
∵−10，
∴当x=2时，L最小，最小值为3．故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解决此类型题一般先根据题意设出适当的二次函数表达式（一般式、顶点式或交点式），再结合实际和二次函数的图象与性质进行求解．
【变式5-3】（2023春·安徽阜阳·九年级统考期末）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系（以AB中点为原点，抛物线对称轴所在直线为y轴）中，拱桥高度OC=5m，跨度AB=20m．
(1)求抛物线的解析式．
(2)拱桥下，有一加固桥身的“脚手架”矩形EFGH（H，G分别在抛物线的左右侧上），已知搭建“脚手架”EFGH的三边所用钢材长度为18.4m（EF在地面上，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离．
(3)已知公园要进行改造，在原位置上将拱桥ACB改造为圆弧AC′B，跨度AB不变，且（2）中“脚手架”矩形EFGH仍然适用（E，F打桩位置不变，H，G依然在拱桥上），求改造后拱桥的高度OC′（结果精确到0.1m，参考数据：170.56≈13.06）．
【答案】(1)y=−120x2+5
(2)“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离为4m
(3)改造后拱桥的高度OC′为4.7m
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+c，把B10,0，C0,5代入计算即可求解；
（2）设点G的坐标为t,−120t2+5，根据题意得HG=2t，GF=−120t2+5，又∵EH+HG+GF=18.4m，∴2t+2−120t2+5=18.4，解之求得t1=6，t2=14（不合题意，舍去），即可得HG=12m，GF=3.2m，则EO=12HG=6m，由AE=AO−EO即可求解；
（3）取GH中点K，在CO延长线上取圆心M，连接MG，MB，设OM长为xm，由勾股定理得GK2+KM2=OM2+OB2，即62+x+3.22=x2+102，解得x=8.4，所以OM=8.4m，C′M=MB=62+11.62=170.56≈13.06m，然后由OC′=C′M−OM，即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+c，经过B10,0，C0,5，
∴100a+c=0c=5，解得a=−120c=5，
∴抛物线的解析式为y=−120x2+5．
（2）解：设点G的坐标为t,−120t2+5，
根据题意得HG=2t，GF=−120t2+5，
∵EH+HG+GF=18.4m，
∴2t+2−120t2+5=18.4，
解得t1=6，t2=14（不合题意，舍去），
∴HG=12m，GF=3.2m，
∴EO=12HG=6m，
∴AE=AO−EO=4m．
答：“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离为4m．
（3）解：如图，取GH中点K，在CO延长线上取圆心M，连接MG，MB，
设OM长为xm，
在Rt△MKG中，GK2+KM2=GM2，
在Rt△OMB中，OM2+OB2=MB2，
∴GK2+KM2=OM2+OB2，即62+x+3.22=x2+102，
解得x=8.4，
∴OM=8.4m，C′M=MB=62+11.62=170.56≈13.06m，
∴OC′=C′M−OM≈13.06−8.4≈4.7m，
答：改造后拱桥的高度OC′为4.7m．
【点睛】本题考查二次函数的应用，勾股定理，圆的性质，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式和二次函数图象性质是解题的关键．
【题型6 利用二次函数解决隧道问题】
【例6】（2023·北京海淀·九年级期末）如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和BC与路面AB垂直，隧道内侧宽AB=8米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离AE，点E到隧道顶面的距离EF．设AE=x米，EF=y米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：
(1)根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式y=ax−ℎ2+ka