中考数学一轮复习专题2.5 实际问题与一元二次方程【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题2.5 实际问题与一元二次方程【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版），共41页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc13893" 【题型1 传播问题】 PAGEREF _Tc13893 \h 1
\l "_Tc9287" 【题型2 增长率问题】 PAGEREF _Tc9287 \h 4
\l "_Tc15457" 【题型3 营销问题】 PAGEREF _Tc15457 \h 7
\l "_Tc31265" 【题型4 工程问题】 PAGEREF _Tc31265 \h 11
\l "_Tc26982" 【题型5 行程问题】 PAGEREF _Tc26982 \h 14
\l "_Tc12797" 【题型6 图表信息题】 PAGEREF _Tc12797 \h 19
\l "_Tc9524" 【题型7 数字问题】 PAGEREF _Tc9524 \h 22
\l "_Tc29705" 【题型8 与图形有关的问题】 PAGEREF _Tc29705 \h 24
\l "_Tc8144" 【题型9 动态几何问题】 PAGEREF _Tc8144 \h 28
\l "_Tc24217" 【题型10 其他问题】 PAGEREF _Tc24217 \h 36
【题型1 传播问题】
【例1】（2023春·福建泉州·九年级校联考期中）2019年年底以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒引起的急性呼吸道传染疾病。
(1)在新冠初期，人们因为不了解这种病毒所以也没有及时进行隔离，若有1人感染后经过两轮的传染将会有144人感染了“新冠”，求每一轮传染后平均一个人会传染了几个人?
(2)后来，大家众志成城，全都隔离在家，但玲玲爷爷种的糖心苹果遇到了滞销，于是玲玲在朋友圈帮爷爷销售，糖心苹果的成本为8元/千克，她发现当售价为12元/千克时，每天可卖出40千克，而每涨1元时，每天就少卖出10千克.如果每天要达到150元的利润而且又最大限度地帮爷爷增加销量，请你帮玲玲确定销售单价．
【答案】(1)11人
(2)11元
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据1人感染“新冠”经过两轮传染后共有144人感染“新冠”，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
（2）设小玲应该将售价定为y元，则每天可以卖出40−10y−12千克，根据总利润=每斤的利润销售×数量，列出一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，
依题意，得：1+x+x1+x=144，
即1+x2=144
解得：x1=11，x2=−13（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了11人．
（2）解：设玲玲应该将售价定为y元，则每天可以卖出40−10y−12千克，
依题意得：
y−840−10y−12=150，
整理，得：y2−24y+143=0，
解得：y1=11，y2=13
∵最大限度的帮爷爷增加销量，
∴小玲应该将售价定位11元，
答：小玲应该将售价定为11元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·辽宁沈阳·九年级统考期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，则这次会议到会的人数是（ ）
A．11B．12C．22D．33
【答案】B
【分析】可设参加会议有x人，每个人都与其他x−1人握手，共握手次数为12xx−1，根据一共握了66次手列出方程求解．
【详解】解：设参加会议有x人，依题意得，
12xx−1=66，
整理，得x2−x−132=0，
解得x1=12，x2=−11，(舍去)
则参加这次会议的有12人．
故选：B．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为12xx−1．
【变式1-2】（2023春·黑龙江七台河·九年级统考期末）某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，则每个支干长出 个小分支．
【答案】10
【分析】设每个支干长出x个小分支，利用主干、支干和小分支的总数是111，列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设每个支干长出x个小分支，根据题意得，
1+x+x×x=111
即x2+x−110=0，
x−10x+11=0
解得：x1=10,x2=−11（舍去）
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
【变式1-3】（2023春·广东江门·九年级台山市新宁中学校考期中）组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛．
(1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？
(2)写出比赛的总场数y与参赛队伍数量x之间的函数关系式；
(3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？
【答案】(1)6；
(2)y=12xx−1
(3)8
【分析】（1）采取单循环的形式，如果有四个队参赛，则需要打：12×4×4−1场；
（2）直接根据题意列出函数关系式即可；
（3）根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】（1）如果有四个队参赛，则需要打：
12×4×4−1=6场；
（2）总场数y与参赛队伍数量x之间的函数关系式：y=12xx−1；
（3）设比赛组织者应邀请x个队参赛，
根据题意得：12xx−1=28，
解得：x1=8，x2=−7（舍去），
这次比赛共有8个队参加．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
【题型2 增长率问题】
【例2】（2023春·重庆九龙坡·九年级统考期末）某图书店在2022年国庆节期间举行促销活动，某课外阅读书进货价为每本8元，标价为每本15元.
(1)该图书店举行了国庆大回馈活动，连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每本9.6元的价格售出，求图书店每次降价的百分率；
(2)在九月底该书店老板去进货该书500本，按照（1）两次降价后的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了a%，进货量比九月底增加3a%，以标价的八折全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求a%的值.
【答案】(1)20%
(2)16
【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原价×(1−每次降价的百分率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）分别求出国庆节的总利润和国庆节后的总利润，根据国庆节后的总利润比国庆节的总利润多1200元列出方程，求出a%的值即可
【详解】（1）设图书店每次降价的百分率为x，
依题意得：151−x2=9.6，
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（不合题意，舍去）．
答：商城每次降价的百分率为20%．
（2）根据题意得，500×1+3a%×15×80%−81+a%−500×9.6−8=1200
整理得，2000a%−12000a%2=0
解得，a%=16，或a%=0（舍去）
故a%的值为16
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径.某市2020年数字阅读市场规模为400万元，2022年数字阅读市场规模为576万元.
(1)求2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率；
(2)若年平均增长率不变，求2023年该市数字阅读市场规模是多少万元?
【答案】(1)20%
(2)预计2023年该市数字阅读市场规模是691.2万元
【分析】（1）设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为x，利用2022年该市数字阅读市场规模=2020年该市数字阅读市场规模×1+2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）利用2023年该市数字阅读市场规模=2022年该市数字阅读市场规模×1+2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率，可预计出2023年该市数字阅读市场规模．
【详解】（1）解：设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为x
根据题意得：4001+x2=576
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2（不符合题意，舍去）
答：2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为20%
（2）576×1+20%=691.2（万元）
∴预计2023年该市数字阅读市场规模是691.2万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
【变式2-2】（2023春·河北承德·九年级承德市第四中学校考期中）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的5000元/m2下降到5月份的4050元/m2
(1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？
(2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破3000元/m2？请说明理由．
【答案】(1)10%
(2)不会，理由见解析
【分析】（1）设4、5两月平均每月降价的百分率是x，那么4月份的房价为50001−x，5月份的房价为50001−x2，然后根据5月份的4050元/m2即可列出方程解决问题；
（2）根据（1）的结果可以计算出今年7月份商品房成交均价，然后和3000元/m2进行比较即可作出判断．
【详解】（1）解：设4、5两月平均每月降价的百分率是x，
5000(1−x)2=4050
(1−x)2=40505000
1−x=±910
x1=110=10%，x2=1910（舍）
答：4、5两月平均每月降价的百分率是10%．
（2）否，理由如下：
∵4050×1−1102=3280.5（元）
3280.5>3000，
∴预测到7月份该市的商品房成交均价不会跌破3000元/m2．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．
【变式2-3】（2023春·山西太原·九年级期末）某电器商店销售某品牌冰箱，该冰箱每台的进货价为2500元，已知该商店去年10月份售出50台，第四季度累计售出182台．
(1)求该商店11，12两个月的月均增长率；
(2)调查发现，当该冰箱售价为2900元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4台．该商店要想使该冰箱的销售利润平均每天达到5000元，求每台冰箱的售价．
【答案】(1)20%
(2)2750元
【分析】（1）设该商店11，12两个月的月均增长率为x，则该商店去年11月份售出501+x台，12月份售出501+x2台，根据该商店去年第四季度累计售出182台，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设每台冰箱的售价为y元，则每台的销售利润为y−2500元，平均每天可售出(8+4×2900−y50)台，利用总利润=每台的销售利润×平均每天的销售量，可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设该商店11，12两个月的月均增长率为x，则该商店去年11月份售出501+x台，12月份售出501+x2台，
根据题意得：50+501+x+501+x2=182，
整理得：25x2+75x−16=0，
解得：x1=0.2=20%，x2=−3.2（不符合题意，舍去）．
答：该商店11，12两个月的月均增长率为20%；
（2）设每台冰箱的售价为y元，则每台的销售利润为y−2500元，平均每天可售出(8+4×2900−y50)台，
根据题意得：(y−2500)(8+4×2900−y50)=5000，
整理得：y2−5500y+7562500=0，
解得：y1=y2=2750．
答：每台冰箱的售价为2750元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【题型3 营销问题】
【例3】（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）春节是中国的传统节日，每年元旦节后是购物的高峰期，2023年元月某水果商从农户手中购进A、B两种红富士苹果，其中A种红富士苹果进货价为28元/件，销售价为42元/件，其中B种红富士苹果进货价为22元/件，销售价为34元/件．（注：利润=销售价−进货价）
(1)水果店第一次用720元购进A、B两种红富士苹果共30件，求两种红富士苹果分别购进的件数；
(2)第一次购进的红富士苹果售完后，该水果店计划再次购进A、B两种红富士苹果共80件（进货价和销售价都不变），且进货总费用不高于2000元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)春节临近结束时，水果店发现B种红富士苹果还有大量剩余，决定对B种红富士苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元？
【答案】(1)A中苹果购进10件，B中苹果购进20件
(2)购进A种苹果40件，B中苹果40件时，获得最大销售利润为1040元
(3)将销售价定为每件27元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元
【分析】（1）设A，B两种苹果分别购进x件和y件，列方程组求解即可．
（2）设购进A种苹果m件，利润为w元，列出w关于m的函数关系式讨论最值即可．
（3）设B种苹果降价a元销售，根据利润=90元，列出一元二次方程求出a，得到结果．
【详解】（1）解：设A，B两种苹果分别购进x件和y件，
由题意得：x+y=3028x+22y=720，
解得x=10y=20，
答：A中苹果购进10件，B中苹果购进20件．
（2）解：设购进A种苹果m件，则购进B种苹果80−m件，
由题意得：28m+2280−m≤2000，
∴m≤40，
设利润为w元，
则w=42−28m+34−2280−m=2m+960，
∵2>0，
∴w随m的增大额增大，
∴当m=40时，w最大值=2×40+960=1040．
故购进A种苹果40件，B中苹果40件时，获得最大销售利润为1040元．
（3）解：设B种苹果降价a元销售，则每天多销售2a件，每天每件利润为12−a元，
由题意得：4+2a12−a=90，
解得，a=3或a=7，
∵为了尽快减少库存，
∴a=7，
∴ 34−7=27，
答：将销售价定为每件27元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，一次函数，一元一次不等式以及一元二次方程的应用，读懂题意找出等量或不等关系是解题关键．
【变式3-1】（2023春·广东江门·九年级期末）汽车专卖店销售某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为10万元/辆，销售一段时间后发现：当该型号汽车售价定为15万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出2辆．
(1)当售价为13.5万元/辆时，求平均每周的销售利润．
(2)若该店计划下调售价，增大销量，但要确保平均每周的销售利润为40万元，每辆汽车的售价定为多少合适？
【答案】(1)平均每周的销售利润是49万元
(2)每辆汽车的售价定为12万元更合适
【分析】（1）根据当该型号汽车售价定为15万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，即可求出当售价为13.5万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润=一辆汽车的利润×销售数量列式计算；
（2）设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利×销售的辆数=40万元，列方程求出x的值，进而得到每辆汽车的售价．
【详解】（1）解：∵当售价为13.5万元/辆时，平均每周销量为：8+15−13.50.5×2=14（辆)，
∴平均每周利润为：13.5−10×14=49（万元），
答：平均每周的销售利润是49万元；
（2）解：设每辆汽车的售价是x万元，
x−108+15−x0.5×2=40．
化简，得x−1017−x=10，
x2−27x+180=0，
解得：x1=12，x2=15，
由于希望增大销量，定价12万元售价更合适，
答：每辆汽车的售价定为12万元更合适．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意找准数量关系与等量关系是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·四川乐山·九年级统考期末）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
【答案】(1)25%
(2)5元
【分析】（1）利用平均增长率的等量关系：a1+x2=b，列式计算即可；
（2）利用总利润=单件利润×销售数量，列方程求解即可．
【详解】（1）解：设平均增长率为x，由题意得：
256×1+x2=400，
解得：x=0.25或x=−2.25（舍）；
∴四、五这两个月的月平均增长百分率为25%；
（2）解：设降价y元，由题意得：
40−y−25400+5y=4250，
整理得：y2+65y−350=0，
解得：y=5或y=−70（舍）；
∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键．
【变式3-3】（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考开学考试）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．
(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？
(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？
【答案】(1)总共生产了9000袋手工汤圆
(2)促销时每袋应降价3元
【分析】（1）设总共生产了a袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可；
（2）设促销时每袋应降价x元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可．
【详解】（1）设总共生产了a袋手工汤圆，
依题意得，0.3a450+0.5a300=21
解得a=9000，
经检验a=9000是原方程的解，
答：总共生产了9000袋手工汤圆
（2）设促销时每袋应降价x元，
当刚好10天全部卖完时，
依题意得，225×2×25−13+825−13−x225+752x=40500
整理得：x2−6x+45=0
Δ=62−4×4530，然后根据题意列出方程，再判定出符合题意的解即可.
【详解】设有x人参加这次旅游
∵30×800=2400030
依题意得：x800−x−301×10=28000
解得：x1=40，x2=70
当x1=40时，800−x−301×10=700>500，符合题意.
当x2=70时，800=x−301×10=40012，不合题意，舍去；
当x=9时，28−2x=10，
即AB=9，BC=10，
答：鸡舍的边长AB、BC分别是9米，10米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，矩形的面积公式，一元二次方程的解法，根据题目的等量关系正确列方程是解题关键．
【变式8-1】（2023春·重庆大渡口·九年级校考期末）（1）如图1，在一块长为40m，宽为30m的矩形地面上，修建有道路，道路都是等宽的，剩余部分种上草坪，测得草坪的面积是1064m2，道路的宽度是多少？
（2）后来要在这块长为40m，宽为30m的矩形地面上，进行重新规划，打算修建两横两竖的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），如图2，横、竖道路的宽度相同，剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的二分之一，应如何设计道路的宽度？
【答案】（1）2m（2）5m
【分析】（1）利用平移的性质得到等式30−x40−x=1064，求解即可；
（2）设道路的宽度为ym，根据草坪的面积是地面面积的二分之一列得方程解答．
【详解】解：（1）设道路的宽度是xm，则
30−x40−x=1064，
解得x1=2,x2=68（舍去），
答：道路的宽度为2m；
（2）设道路的宽度为ym，则
40−2y30−2y=12×40×30
解得y1=5,y2=30（不合题意，舍去），
答：道路的宽度为5m．
【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式8-2】（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）用54m长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为am的墙，另三边用竹栅栏围成，宽度都是1m，设与墙垂直的一边长为xm．
(1)当a=41时，矩形菜园面积是320m2，求x；
(2)当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到400m2？
【答案】(1)x的值为8或20
(2)矩形菜园的面积不能达到400m2
【分析】（1）设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为54−2x+2m，可得：x54−2x+2=320，再解方程并检验即可；
（2）先建立方程x54−2x+2=400，再计算△=−282−4×1×200=−16