中考数学一轮复习专题2.4 一元一次不等式(组)的应用【八大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

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\l "_Tc25618" 【题型1 工程问题】 PAGEREF _Tc25618 \h 1
\l "_Tc29671" 【题型2 销售问题】 PAGEREF _Tc29671 \h 5
\l "_Tc4457" 【题型3 行程问题】 PAGEREF _Tc4457 \h 9
\l "_Tc16976" 【题型4 得分问题】 PAGEREF _Tc16976 \h 12
\l "_Tc520" 【题型5 古代问题】 PAGEREF _Tc520 \h 15
\l "_Tc16268" 【题型6 方案问题】 PAGEREF _Tc16268 \h 19
\l "_Tc29997" 【题型7 数字问题】 PAGEREF _Tc29997 \h 24
\l "_Tc7470" 【题型8 几何图形问题】 PAGEREF _Tc7470 \h 28
【题型1 工程问题】
【例1】（2023春·广西南宁·八年级统考期末）2022年9月28日上午，伴随着盾构机隆隆轰鸣声，南宁市轨道交通4号线“五象火车站一清平坡站”区间盾构顺利始发，标志着4号线续建工程正式进入区间据进施工阶段，待此次工程建设完工后，将实现4号线全线贯通运营，目前，地铁4号线续建工程正在有序进行施工，工地现有大量的泥土需要运输，某车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆满载运输一次可以运输110吨泥土．
(1)求该车队有载重量8吨、10吨的卡车各多少辆？
(2)随着工程的进展，该车队需要一次运输泥土不低于163吨，为了完成任务，该车队准备再购进这两种卡车共6辆，则最多购进载重量为8吨的卡车多少辆？
【答案】(1)该车队有载重量为8吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆；
(2)3辆．
【分析】（1）设该车队有载重量为8吨的卡车x辆，载重量为10吨的卡车y辆，根据“该车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆满载运输一次可以运输110吨泥土”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设再次购进载重量为8吨的卡车m辆，则再次购进载重量为10吨的卡车6−m辆，根据该车队需要一次运输泥土不低于163吨，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设该车队有载重量为8吨的卡车x辆，载重量为10吨的卡车y辆，
根据题意得：x+y=128x+10y=110，
解得：x=5y=7．
答：该车队有载重量为8吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆；
（2）解：设再次购进载重量为8吨的卡车m辆，则再次购进载重量为10吨的卡车6−m辆，
根据题意得：110+8m+10(6−m)≥163，
解得：m≤72，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为3．
答：最多购进载重量为8吨的卡车3辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式1-1】（2023春·山东临沂·八年级统考期末）为了改善山东的交通，我省修建了鲁南高铁，其中鲁南高铁临沂段已于2019年11月26日开通运营．开通后的鲁南高铁临沂到日照段比运行的铁路线全长缩短了40千米，运行时间为30分钟，某次临沂到日照火车需要150分钟，平均速度是开通后的高铁的725．
(1)求临沂段高铁临沂段铁路全长各为多少千米？
(2)已知修建临沂段高铁时，有甲、乙两个工程队同时施工，甲每天施工1.4千米，乙每天施工1千米，计划40天完成，施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？
【答案】(1)临沂段高铁全长为100千米，临沂段铁路全长为140千米；
(2)甲工程队后期每天至少施工74千米．
【分析】（1）设高铁的平均速度为x千米/分钟，则临沂到日照火车的平均速度为725x千米/分钟，根据“路程=速度×时间”、“开通后的鲁南高铁临沂到日照段比运行的铁路线全长缩短了40千米”建立方程，解方程即可得；
（2）设甲工程队后期每天施工x千米，根据“确保整个工程提早3天以上（含3天）完成”列不等式，求解即可．
【详解】（1）解：设高铁的平均速度为x千米/分钟，则临沂到日照火车的平均速度为725x千米/分钟，
由题意得：150×725x−30x=40，
解得x=103，
则30×103=100（千米），100+40=140（千米），
答：临沂段高铁全长为100千米，临沂段铁路全长为140千米；
（2）设甲工程队后期每天施工x千米，
由题意得：1.4×5+40−5−3x+40−3×1≥100，
解得：x≥74，
答：甲工程队后期每天至少施工74千米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，找出合适的等量关系和不等关系，正确建立方程和不等式是解题关键．
【变式1-2】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）政府计划为某村修建一条长为1000米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．已知若甲工程队独立施工5天后，乙工程队再加入，两工程队联合施工8天后，还剩30米的工程．甲工程队工作2天比乙工程队工作3天少施工20米．
(1)求甲、乙两工程队每天各施工多少米？
(2)现计划由两工程队联合施工完成该工程，两工程队联合施工4天后，因甲队有事，剩下的部分由乙工程队独立完成，若要在12天内完成该项工程，则乙工程队每天至少应再多施工多少米？
【答案】(1)甲、乙两工程队每天各施工50米和40米
(2)乙工程队每天至少应再多施工40米
【分析】（1）设甲、乙两工程队每天各施工x米和y米，根据等量关系列出方程组即可求解；
（2）设乙工程队每天应再多施工a米，根据题意列出不等式，可求解；
【详解】（1）解：设甲、乙两工程队每天各施工x米和y米，
由题意得：5x+8x+y=1000−302x+20=3y，
解得：x=50y=40，
答：甲、乙两工程队每天各施工50米和40米．
（2）解：设乙工程队每天应再多施工a米，
由题意得：450+40+12−440+a≥1000，
解得a≥40，
答：乙工程队每天至少应再多施工40米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的应用，理解题意并列出方程组或不等式是解题的关键．
【变式1-3】（2023春·四川泸州·八年级统考期末）我市张坝桂圆林景区公园是泸州人民的城市花园之一，为了给大家创建更优美的休闲环境，市园林局利用景区滨江路临水区恰好位于长江流域的资源建造一个露天游泳池，工程需要运送大量的沙土．“兴泸”公司有载重量分别为8吨和10吨的A、B两种卡车共12辆，这12辆卡车每次能运送沙土110吨．
(1)这12辆A、B两种卡车各有多少辆？
(2)因计划改变，需要每次运送沙土至少165吨，为按时完成任务，“兴泸”公司还需要外租6辆A、B两种卡车（每种车至少一辆），请写出租用方案．
【答案】(1)A种卡车有5辆，B种卡车有7辆
(2)共有2种租用方案，方案1：租用A种卡车1辆，B种卡车5辆；方案2：租用A种卡车2辆，B种卡车4辆
【分析】（1）设A种卡车有x辆，B种卡车有y辆，根据“8吨和10吨的A、B两种卡车共12辆，且这12辆卡车每次能运送沙土110吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用A种卡车m辆，则租用B种卡车（6-m）辆，根据每次运送沙土至少165吨，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各租用方案．
（1）
解：设A种卡车有x辆，B种卡车有y辆，
由题意得：x+y=128x+10y=110，
解得：x=5y=7，
答：A种卡车有5辆，B种卡车有7辆．
（2）
设租用A种卡车m辆，则租用B种卡车（6-m）辆，
依题意得：110+8m+10（6-m）≥165，
解得：m≤52，
又∵m为正整数，
∴m可以为1，2，
∴共有2种租用方案，
方案1：租用A种卡车1辆，B种卡车5辆；
方案2：租用A种卡车2辆，B种卡车4辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【题型2 销售问题】
【例2】（2023春·福建宁德·八年级校考期中）某校组织师生研学，若单独租用45座的客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用60座的客车．则可以少租一辆，且余30个空位．
(1)求该校参加春游的人数；
(2)该校决定这次春游同时租用这两种车，其中60座客车比45座客车多租一辆，这样比单独租用一辆节省租金．已知45座客车每辆租金250元，60座客车每辆租金为300元．请你帮助设计本次春游所需车辆的租金．．
【答案】(1)270人
(2)1400元
【分析】（1）先设租用45座客车x辆，利用人数不变，可列出一元一次方程，求出车的辆数，再乘以45就是人数．
（2）可根据租用两种汽车时，租用45座客车的费用+租用60座客车的费用