中考数学一轮复习专题3.3 弧、弦、圆心角【十大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版）

这是一份中考数学一轮复习专题3.3 弧、弦、圆心角【十大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版），共12页。


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\l "_Tc23975" 【题型1 圆心角、弧、弦的概念辨析】 PAGEREF _Tc23975 \h 1
\l "_Tc31815" 【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】 PAGEREF _Tc31815 \h 2
\l "_Tc10364" 【题型3 用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】 PAGEREF _Tc10364 \h 4
\l "_Tc32201" 【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】 PAGEREF _Tc32201 \h 5
\l "_Tc22928" 【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】 PAGEREF _Tc22928 \h 6
\l "_Tc14052" 【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】 PAGEREF _Tc14052 \h 7
\l "_Tc478" 【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】 PAGEREF _Tc478 \h 8
\l "_Tc6462" 【题型8 利用圆心角、弧、弦的关系进行证明】 PAGEREF _Tc6462 \h 9
\l "_Tc18089" 【题型9 利用圆心角、弧、弦的关系确定线段间的倍数关系】 PAGEREF _Tc18089 \h 10
\l "_Tc3701" 【题型10 利用圆心角、弧、弦的关系求最值】 PAGEREF _Tc3701 \h 11
【知识点 弧、弦、角、距的概念】
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
【题型1 圆心角、弧、弦的概念辨析】
【例1】（2023秋·九年级课时练习）如图所示，在⊙O中，AB=CD，则在①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=BD中，正确结论的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【变式1-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．弦相等，圆心到弦的距离相等D．圆心到弦的距离相等，则弦相等
【变式1-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）：
（1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等．
（2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等．
（3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等．
（4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等．
【变式1-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，点A是CB中点，则下列结论正确的是（ ）

A．AB=OC B．∠BAC+∠AOC=180°
C．BC=2AC D．∠BAC+12∠AOC=180°
【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】
【例2】（2023秋·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=AD，∠AOD=70°，则∠BCO的度数是（ ）

A．30°B．35°C．40°D．55°
【变式2-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，A、B、C、D是⊙O上的点，如果AB=CD，∠AOB=70°，那么∠COD= ．

【变式2-2】（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图半径OA，OB，OC将一个圆分成三个大小相同扇形，其中OD是∠AOB的角平分线，∠AOE=13∠AOC，则∠DOE等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【变式2-3】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧DF的中点，若∠EOD=32°，则∠CDA的度数是（ ）

A．37°B．74°C．53°D．63°
【题型3 用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】
【例3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，CD、BE是⊙O的两条弦，CD交AB于点G，点C是BE的中点，点B是CD的中点，若AB=10，BG=2，则BE的长为（ ）

A．3B．4C．6D．8
【变式3-1】（2023秋·江苏·九年级专题练习）将半径为5的⊙O如图折叠，折痕AB长为8，C为折叠后AB的中点，则OC长为（ ）

A．2B．3C．1D．2
【变式3-2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，点C是直径AB的三等分点AC【变式3-3】（2023·江苏苏州·统考二模）如图，在直径为10的⊙O中，两条弦AB，CD分别位于圆心的异侧，AB∥CD，且CD=2AC，若AB=8，则CD的长为 ．

【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】
【例4】（2023秋·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4 cm，则⊙O的周长为 ．
【变式4-1】（2023秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，⊙O的一条弦分圆周长为1：4两部分．试求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数(画出图形并给出解答)．
【变式4-2】（2023秋•西林县期末）如图，在⊙O中，∠AOB＝60°，弦AB＝3cm，那么△AOB的周长为 9cm ．
【变式4-3】（2023•江北区校级开学）如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝36，则⊙O的周长为 63π ．
【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】
【例5】（2023秋·九年级单元测试）如图，已知圆内接四边形ABCD中，对角线AD是⊙O的直径，AB=BC=CD=2，E是AD的中点，则△ADE的面积是 ．
【变式5-1】（2023•嘉兴二模）如图所示，在10×10的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分成甲、乙两部分．S甲表示甲的面积，则S甲＝ 25π2 ．
【变式5-2】（2023秋·江苏苏州·九年级苏州草桥中学校考期中）如图，在O中，AC=CB，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：CD=CE；
（2）若∠AOB=120°，OA=2，求四边形DOEC的面积．
【变式5-3】（2023•浙江自主招生）如图，在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB＝BC＝CD，分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F．则△ACF面积是（ ）
A．2B．3C．3+224D．3+34
【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】
【例6】（2023•浙江九年级课时练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC的度数是（ ）
A．120°B．135°C．150°D．165°
【变式6-1】（2023秋·九年级课时练习）如图，AB是半圆，O为AB中点，C、D两点在AB上，且AD∥OC，连接BC、BD．若CD＝62°，则AD的度数为何？（ ）
A．56B．58C．60D．62
【变式6-2】（2023秋·江苏淮安·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，求DE⏜的度数．
【变式6-3】（2023春·九年级单元测试）如图，已知AB为⊙O 的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，且AB=2DE．
(1)若∠E=25°，求∠AOC的度数；
(2)若AC的度数是BD的度数的m倍，则m＝ ．
【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】
【例7】（2023·河北·统考中考真题）如图，点P1~P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是( )

A．abD．a，b大小无法比较
【变式7-1】（2023秋·九年级课时练习）如图,AB是⊙O的直径,P是AB上一点,C、D分别是圆上的点,且∠CPB=∠DPB,弧DB=弧BC,试比较线段PC、PD的大小关系.
【变式7-2】（2023春·九年级课时练习）在同圆中，若弧AB和弧CD都是劣弧，且弧AB=2弧CD，那么AB和CD的大小关系是（ ）
A．AB=2CDB．AB>2CDC．AB<2CDD．无法比较它们的大小
【变式7-3】（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d(x)．下列描述正确的是（ ）
A．当x1>x2时，dx1>dx2B．当dx1>dx2时，x1>x2
C．当x1+x2=1时，dx1=dx2D．当x1=2x2时，dx1=2dx2
【题型8 利用圆心角、弧、弦的关系进行证明】
【例8】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知圆内接△ABC中，AB>AC，D为BAC的中点，DE⊥AB于E，求证：BD2−AD2=AB•AC．

【变式8-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB=CD．求证：CE=BE．

【变式8-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O上依次取点B，A，C使BA=AC，连接AC，AB，BC，取AB的中点D，连接CD，在弦BC右侧取点E，使2CE=AC，且CE∥AB，连接BE．

(1)求证：△DBC≅△ECB．
(2)若AC=8，∠ABC=30°，求BE的长．
【变式8-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C、D是⊙O上的点，AD为直径，AB∥OC．

(1)求证：点C平分BD．
(2)利用无刻度的直尺和圆规做出AB的中点P（保留作图痕迹）．
【题型9 利用圆心角、弧、弦的关系确定线段间的倍数关系】
【例9】（2023·江苏南京·统考一模）如图，已知AB为半圆的直径．求作矩形MNPQ，使得点M，N在AB上，点P，Q在半圆上，且MN=2MQ．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【变式9-1】（2023春·九年级课时练习）如图，在⊙O中，AB＝2AC，AD⊥OC于点D，比较大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．
【变式9-2】（2023•铁岭模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，则BC与AC的关系是（ ）
A．BC=12ACB．BC=13ACC．BC=ACD．不能确定
【变式9-3】（2023•长安区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC=3BC，则弦AC与弦BC的关系是（ ）
A．AC＝3BCB．AC=3BCC．AC＝（2+1）BCD．3AC＝BC
【题型10 利用圆心角、弧、弦的关系求最值】
【例10】（2023秋·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，AB是⊙O的直径，点M，N在⊙O上，且点N是弧BM的中点，P是直径AB上的一个动点，连接PM，PN，已知AB=10，弧BM的度数为40°，则PM+PN的最小值为（ ）

A．10B．53C．52D．5
【变式10-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AB是半圆O的直径，半圆的半径为4，点C，D在半圆上，OC⊥AB,BD=2CD，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为 ．
【变式10-2】（2023·山东枣庄·九年级学业考试）如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP，NP，则MP+NP的最小值是 cm．
【变式10-3】（2023春·九年级课时练习）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若OB=2，则CE+DE长的最小值为 ．