中考数学一轮复习专题3.8 正多边形和圆【十一大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版）

这是一份中考数学一轮复习专题3.8 正多边形和圆【十一大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版），共13页。


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\l "_Tc14805" 【题型1 求正多边形中心角】 PAGEREF _Tc14805 \h 1
\l "_Tc17843" 【题型2 求正多边形的边数】 PAGEREF _Tc17843 \h 2
\l "_Tc13324" 【题型3 正多边形与圆中求角度】 PAGEREF _Tc13324 \h 3
\l "_Tc24212" 【题型4 正多边形与圆中求面积】 PAGEREF _Tc24212 \h 5
\l "_Tc15344" 【题型5 正多边形与圆中求周长】 PAGEREF _Tc15344 \h 6
\l "_Tc5102" 【题型7 正多边形与圆中求边心距、边长】 PAGEREF _Tc5102 \h 8
\l "_Tc26354" 【题型8 正多边形与圆中求最值】 PAGEREF _Tc26354 \h 9
\l "_Tc7007" 【题型9 尺规作图-正多边形】 PAGEREF _Tc7007 \h 10
\l "_Tc31325" 【题型10 正多边形与圆中的规律问题】 PAGEREF _Tc31325 \h 11
\l "_Tc6790" 【题型11 多边形与圆中的证明】 PAGEREF _Tc6790 \h 12
【知识点 正多边形和圆】
（1）正多边形的有关计算
（2）正多边形每个内角度数为，每个外角度数为
【题型1 求正多边形中心角】
【例1】（2023秋·广东广州·九年级校考期中）下列图形中，绕它的中心旋转60°后可以和原图形重合的是（ ）
A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形
【变式1-1】（2023秋·河北唐山·九年级统考期中）若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
【变式1-2】（2023秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若∠BOC是正n边形的一个中心角，则n的值为（ ）
A．8B．10C．12D．16
【变式1-3】（2023秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，正五边形ABCDE和正三角形APQ都内接于⊙O，则PC的度数为 °．
【题型2 求正多边形的边数】
【例2】（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10B．12C．15D．20
【变式2-1】（2023秋·湖北十堰·九年级统考期末）如图，AB,BC和AC分别为⊙O内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（ ）．
A．六B．八C．十D．十二
【变式2-2】（2023秋·山东济南·九年级统考期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【变式2-3】（2023秋·安徽安庆·九年级校联考期末）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD,∠C=120°，点E在弧AD上，连接OD、OE、AE、DE．
（1）∠AED的度数为 ．
（2）当∠DOE=90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为 ．
【题型3 正多边形与圆中求角度】
【例3】（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，P为弧AB上的一点（点P不与点A，B重合），则∠DPF的度数为（ ）

A．22.5°B．30°C．40°D．45°
【变式3-1】（2023秋·浙江嘉兴·九年级统考期末）如图，正六边形ABCDEF和正方形AGDH都内接于⊙O，连接BG，则弦BG所对圆周角的度数为（ ）
A．15°B．30°C．15°或165°D．30°或150°
【变式3-2】（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，AF是⊙O的直径，P是⊙O上的一点（不与点B，F重合），则∠BPF的度数为 °．

【变式3-3】（2023春·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图所示，在正五边形ABCDE中，F是CD的中点，点G在线段AF上运动，连接EG，DG，当△DEG的周长最小时，∠EGD的度数为 ．

【题型4 正多边形与圆中求面积】
【例4】（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，分别以其对角线AD、FB为边作正方形，则两个阴影部分的面积差S1−S2的值为（ ）

A．0B．1C．3D．2
【变式4-1】（2023秋·山东滨州·九年级统考期中）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=103mm，则这个正六边形的面积为（ ）
A．253mm2B．753mm2C．1503mm2D．2033mm2
【变式4-2】（2023秋·福建宁德·九年级统考期末）将三个正六边形按如图方式摆放，若小正六边形的面积是6，则大正六边形的面积是
【变式4-3】（2023秋·广东湛江·九年级校考期末）如图，在⊙O的内接正六边形ABCDEF中，AB=3，则图中阴影部分的面积为 ．
【题型5 正多边形与圆中求周长】
【例5】（2023秋·四川广安·九年级统考期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的周长为（ ）

A．63B．66C．3D．18
【变式5-1】（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）如图，BF、CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，若正六边形ABCDEF的边长是a，则四边形BCEF的周长是 ．（用含a的代数式表示）
【变式5-2】（2023春·浙江台州·九年级校考期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解π的意义．
(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”kn．如图，正三角形ABC的边长为1，求得其内切圆的半径为36，因此k3=___________；
(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”k4、k6；
(3)[总结]随着n的增大，kn具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括．
【变式5-3】（2023春·福建福州·九年级统考期中）如图，点G，H，I，J，K，L分别是正六边形ABCDEF各边的中点，则六边形GHIJKL与六边形ABCDEF的周长比为 ．
【题型6 正多边形与圆中求半径】
【例6】（2023秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，已知⊙O的内接正方形ABCD的边长为1，则⊙O的半径为（ ）
A．2B．22C．1D．12
【变式6-1】（2023秋·青海海东·九年级统考期末）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为 ．
【变式6-2】（2023秋·河南许昌·九年级统考期末）若正方形的外接圆的半径为4，则这个正方形内切圆的半径为 ．
【变式6-3】（2023秋·天津红桥·九年级统考期末）若一个正六边形的边长为2，则其外接圆与内切圆的半径分别为（ ）
A．2，1B．2，3C．3，2D．23，3
【题型7 正多边形与圆中求边心距、边长】
【例7】（2023秋·贵州黔西·九年级统考期中）已知四个正六边形按如图所示摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F均在⊙O上，连接AD．若两个大正六边形的边长均为4，两个小正六边形全等，则小正六边形的边长是（ ）
A．3−13B．13−1C．13+1D．23−1
【变式7-1】（2023秋·河北石家庄·九年级校考期中）如图，半径为2的⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，则边心距OM的长度为（ ）

A．1B．3C．32D．2
【变式7-2】（2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）圆内接正六边形与圆外切正三角形的边长之比为 ．
【变式7-3】（2023秋·山东济宁·九年级校考期末）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知半径为3，则EG的长为 ．
【题型8 正多边形与圆中求最值】
【例8】（2023秋·新疆阿克苏·九年级统考期末）如图，已知正六边形ABCDEF的边长是6，点P是AD上一动点，则PE+PF的最小值是 ．

【变式8-1】（2023秋·浙江杭州·九年级期末）如图所示，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（ ）
A．3−3B．2C．4−3D．1
【变式8-2】（2023春·江苏·九年级期末）如图，⊙O半径为2，正方形ABCD内接于⊙O，点E在ADC上运动，连接BE，作AF⊥ BE，垂足为F，连接CF.则CF长的最小值为 .
【变式8-3】（2023秋·浙江台州·九年级校联考期末）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为2，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M之间距离的最小值是 ．
【题型9 尺规作图-正多边形】
【例9】（2023·全国·九年级专题练习）已如：⊙O与⊙O上的一点A
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．
【变式9-1】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知AC为⊙O的直径．请用尺规作图法，作出⊙O的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法）
【变式9-2】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下：
①作出半径OF的中点H．
②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G．
③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E．
已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号）
【变式9-3】（2023春·全国·九年级专题练习）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图：
(1)在图1中，画出CD的中点G；
(2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形．
【题型10 正多边形与圆中的规律问题】
【例10】（2023春·山东威海·九年级校联考期中）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切……按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为 ．
【变式10-1】（2023秋·九年级单元测试）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解π的意义．
(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”kn．如图，正三角形ABC的边长为1，求得其内切圆的半径为36，因此k3=___________；
(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”k4、k6；
(3)[总结]随着n的增大，kn具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括．
【变式10-2】（2023春·宁夏银川·九年级校联考期中）如图，∠MON=60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点Bn到ON的距离是 ．
【变式10-3】（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知⊙O的半径为a，按照下列步骤作图：（1）作⊙O的内接正方形ABCD（如图1）；（2）作正方形ABCD的内接圆，再作较小圆的内接正方形A1B1C1D1（如图2）；（3）作正方形A1B1C1D1的内接圆，再作其内接正方形A2B2C2D2（如图3）；…；依次作下去，则正方形AnBnCnDn的边长是 ．
【题型11 多边形与圆中的证明】
【例11】（2023秋·陕西渭南·九年级校考期中）如图，已知AB、BC、CD是⊙O的内接正十边形的边，连接AD、OB、OC，求证：AD∥BC．

【变式11-2】（2023秋·九年级课时练习）已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形．
【变式11-3】（2023秋·九年级单元测试）（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC．
下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法．
证明：在AP上截取AE=CP，连接BE
∵△ABC是正三角形
∴AB=CB
∵∠1和∠2的同弧圆周角
∴∠1=∠2
∴△ABE≌△CBP
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PC+ 2PB．
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，直接写出结论．
中心角
边心距
周长
面积
为边数；为边心距；为半径；为边长