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中考数学一轮复习专题3.4 圆周角、圆内接四边形【十大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版）
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这是一份中考数学一轮复习专题3.4 圆周角、圆内接四边形【十大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版），共16页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11969" 【题型1 圆周角的运用】 PAGEREF _Tc11969 \h 2
\l "_Tc8578" 【题型2 圆内接四边形的运用】 PAGEREF _Tc8578 \h 3
\l "_Tc9909" 【题型3 利用圆的有关性质求值】 PAGEREF _Tc9909 \h 4
\l "_Tc4839" 【题型4 利用圆的有关性质进行证明】 PAGEREF _Tc4839 \h 5
\l "_Tc24163" 【题型5 翻折中的圆的有关性质的运用】 PAGEREF _Tc24163 \h 7
\l "_Tc360" 【题型6 利用圆的有关性质求最值】 PAGEREF _Tc360 \h 9
\l "_Tc9945" 【题型7 利用圆的有关性质求取值范围】 PAGEREF _Tc9945 \h 10
\l "_Tc28216" 【题型8 利用圆的有关性质探究角或线段间的关系】 PAGEREF _Tc28216 \h 11
\l "_Tc1906" 【题型9 利用圆的有关性质判断多结论问题】 PAGEREF _Tc1906 \h 13
\l "_Tc27247" 【题型10 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】 PAGEREF _Tc27247 \h 14
【知识点1 圆周角定理及其推论】
【题型1 圆周角的运用】
【例1】（2023春·山东泰安·九年级东平县实验中学校考期末）如图，⊙O的直径是AB，∠BPQ=45°，圆的半径是4，则弦BQ的长是（ ）．
A．43B．42C．23D．22
【变式1-1】（2023春·广西玉林·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，已知AB=4，CD=1，∠B=55°，∠C=65°，则BC= ．
【变式1-2】（2023春·江西九江·九年级校考期中）如图，△ABC内接于☉O，AC=BC，连接OB，若∠C=52°，则∠OBC的度数为 ．
【变式1-3】（2023春·湖北省直辖县级单位·九年级统考期末）如图，AB为半圆的直径，AB=10，点O到弦AC的距离为4，点P从出发沿BA方向向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接CP，当△APC为等腰三角形时，点P运动的时间是( )
A．145或4B．145或5C．4或5D．145，4或5
【知识点2 圆内接四边形】
【题型2 圆内接四边形的运用】
【例2】（2023春·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，在△ABC中，AB=AC．⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E为BA延长线上一点．
(1)求证：∠B=2∠ACD；
(2)若∠ACD=35°，求∠DAE的度数．
【变式2-1】（2023春·陕西西安·九年级高新一中校考期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE，若∠BCD=2∠BAD，若连接OD，则∠DOE的度数是（ ）
A．30°B．35°C．45°D．60°
【变式2-2】（2023春·浙江·九年级期中）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E=α，∠F=β，且α≠β，则∠A= （用含有a、β的代数式表示）．
【变式2-3】（2023春·辽宁大连·九年级统考期末）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交AC于D且OD∥BC，⊙O交BC于点E．
(1)求证：CD=DE；
(2)若AB=12，AD=4，求CE的长度．
【题型3 利用圆的有关性质求值】
【例3】（2023春·四川德阳·九年级四川省德阳中学校校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F．连接BF，CF，若∠EDC=135°，AE=2，BE=4，则CF的值为（ ）．
A．10B．22C．23D．3
【变式3-1】（2023春·湖南长沙·九年级统考期末）如图，⊙O中，OA⊥BC，∠B=50°，则∠D的度数为（ ）
A．20°B．50°C．40°D．25°
【变式3-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期中）如图，⊙O为△ABC的外接圆，AD⊥BC，垂足为点D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连接BE．
(1)求证：BE=BF；
(2)若AB=10，BF=5，求EF:AF的值．
【变式3-3】（2023春·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图1，四边形ADBC内接于⊙O，E为BD延长线上一点，AD平分∠EDC.
(1)求证：AB=AC；
(2)若△ABC为等边三角形，则∠EDA= 度；（直接写答案）
(3)如图2，若CD为直径，过A点作AE⊥BD于E，且DB=AE=2，求⊙O的半径.
【题型4 利用圆的有关性质进行证明】
【例4】（2023春·广东广州·九年级广东广雅中学校考期末）如图，CD是△ABC的外角∠ECB的角平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D，∠ECB=120°．
(1)求AB所对圆心角的度数；
(2)连DB，DA，求证：DA=DB；
(3)探究线段CD，CA，CB之间的数量关系，并证明你的结论．
【变式4-1】（2023春·浙江金华·九年级校考期中）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．证明：E是OB的中点．
【变式4-2】（2023春·山西长治·九年级统考期末）阅读材料，解答问题：
关于圆的引理
古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题：
如图1，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，CD⊥AB于点D，在弦AB上取点E，使DE=AD，点F是BC上的一点，且CF=CA，连接BF，则BF=BE．
小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程：
证明：如图2，连接CA，CE，CF，BC，
∵CD⊥AB于点D，DE=AD，
∴CA=CE．
∴∠CAE=∠CEA．
∵ CF=CA，
∴CF=CA（依据1），∠CBF=∠CBA．
∵四边形ABFC内接于⊙O，
∴∠CAB+∠CFB=180°．（依据2）
……
(1)上述证明过程中的依据1为 ，依据2为 ；
(2)将上述证明过程补充完整．
【变式4-3】（2023春·江苏泰州·九年级校考期末）已知⊙O为△ACD的外接圆，AD=CD．
(1)如图1，延长AD至点B，使BD=AD，连接CB．
①求证：△ABC为直角三角形；
②若⊙O的半径为4，AD=5，求BC的值；
(2)如图2，若∠ADC=90°，E为⊙O上的一点，且点D，E位于AC两侧，作△ADE关于AD对称的图形△ADQ，连接QC，试猜想QA,QC,QD三者之间的数量关系并给予证明．
【题型5 翻折中的圆的有关性质的运用】
【例5】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，将⊙O上的BC沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将BD沿BD翻折交BC于点E，连接DE． 若AD＝2OD，则DEAB的值为（ ）
A．36B．63C．33D．66
【变式5-1】（2023春·湖北恩施·九年级期末）如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（ ）
A．110°B．112.5°C．115°D．117.5°
【变式5-2】（2023春·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D，连接CD，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，则∠DCA= ．
【变式5-3】（2023春·浙江金华·九年级浙江省义乌市稠江中学校考期中）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．
(1)如图1，若点D与圆心O重合，AC=3，求⊙O的半径r；
(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=20∘，请求出∠DCA的度数．
(3)如图2，如果AD=6，DB=2，求AC的长．
【题型6 利用圆的有关性质求最值】
【例6】（2023春·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，△ABC中，AB=23，∠ACB=75°，∠ABC=60°，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O，分别交AB，AC于E，F，连接EF，则∠BAC= ；EF的最小值为 ．
【变式6-1】（2023春·北京密云·九年级统考期末）如图，⊙O的弦AB长为2，CD是⊙O的直径，∠ADB=30°,∠ADC=15°．
①⊙O的半径长为 ．
②P是CD上的动点，则PA+PB的最小值是 ．
【变式6-2】（2023春·湖南湘西·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB=4，以边CD为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，EF⊥DA于点F，EP⊥AB于点P，设EF=x，EP=y，则x2+y2的最小值是（ ）
A．23−1B．4−23C．25−1D．25−2
【变式6-3】（2023春·辽宁沈阳·九年级沈阳市第七中学校考期末）如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC=6，则CD的最小值为 ．
【题型7 利用圆的有关性质求取值范围】
【例7】（2023春·湖北武汉·九年级校考期末）如图，△ABC的两个顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为2，∠BAC=90°，AB=AC，若动点B在⊙O上运动，OC=m，则m的取值范围是 ．
【变式7-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，弧BE是半径为6的圆D的14圆周，C点是BE上的任意一点，△ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（ ）
A．12＜P≤18B．18＜P≤24C．18＜P≤18＋62D．12＜P≤12＋62
【变式7-2】（2023春·福建福州·九年级校考期中）如图，⊙O的直径为10，A、B、C、D是⊙O上的四个动点，且AB＝6，CD＝8，若点E、F分别是弦AB、CD的中点，则线段EF长度的取值范围是（）
A．1≤EF≤7B．2≤EF≤5C．1＜EF＜7D．1≤EF≤6
【变式7-3】（2023春·江苏南京·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是1．过⊙O上一点P作等边三角形PDE，使点D，E分别落在x轴、y轴上，则PD的取值范围是 ．
【题型8 利用圆的有关性质探究角或线段间的关系】
【例8】（2023·河北石家庄·统考一模）如图，AB是半圆O的直径，C、D、E三点依次在半圆O上，若∠C=α，∠E=β，则α与β之间的关系是（ ）
A．α+β=270°B．α+β=180°C．β=α+90°D．β=12α+90°
【变式8-1】（2023·湖北襄阳·九年级校考阶段练习）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是AB上任意一点（不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM//BP交PA的延长线于点M.
（1）求∠APC和∠BPC的度数
（2）探究PA、PB、PM之间的关系
（3）若PA=1，PB=2，求四边形PBCM的面积．
【变式8-2】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AB=BC，延长DA到点E，使得BE=BD．
(1)若AF平分∠CAD，求证：BA=BF；
(2)试探究线段AD，CD与BD之间的数量关系．
【变式8-3】（2023·江苏·九年级假期作业）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE=BE．请证明此结论；
(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA，PB组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；
(3)如图3，PA，PB组成⊙O的一条折弦．C是优弧ACB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．
【题型9 利用圆的有关性质判断多结论问题】
【例9】（2023春·江苏镇江·九年级统考期中）如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∠ACB的平分线交⊙O于D，下列4个判断：①⊙O的半径为5；②CD的长为72；③在BC弦所在直线上存在3个不同的点E，使得△CDE是等腰三角形；④在BC弦所在直线上存在2个不同的点F，使得△CDF是直角三角形；正确判断的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式9-1】（2023春·广东湛江·九年级统考期末）如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为AN上一点，且AC=AM，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③AM=BM；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=12MF．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式9-2】（2023春·全国·九年级统考期末）已知如图，点O为△ABD的外心，点C为直径BD下方弧BCD上一点，且不与点B，D重合，∠ACB=∠ABD=45°，则下列对AC，BC，CD之间的数量关系判断正确的是（ ）
A．AC=BC+CD B．2 AC=BC+CD C．3 AC=BC+CD D．2AC=BC+CD
【变式9-3】（2023春·浙江·九年级期末）在一次探究活动中，方方完成了如下的尺规画图过程：第一步：在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB=BC=CD；第二步：分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F．画图后，他得出两个结论：①AF的长为2；②△ACF的面积为3+34，则（ ）
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
【题型10 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】
【例10】（2023春·安徽六安·九年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，连接PC，且满足∠PAB=∠PBC，过点P作PD⊥BC于点D，则∠APB= ；当线段CP最短时，△BCP的面积为
【变式10-1】（2023春·福建厦门·九年级厦门市第五中学校考期中）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，把△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE（点A与D对应）．
(1)如图，若点E落在边AB上，连接AD，求AE的长；
(2)如图，若旋转角度为60°，连接AE．求AE的长；
(3)如图，若旋转角度为α45°≤α≤90°，连接AD，BF⊥AD，垂足为F．求证：C，E，F三点在同一直线上．
【变式10-2】（2023春·重庆开州·九年级统考期末）如图，以直角三角形ABC的斜边AB为边在三角形ABC的同侧作正方形ABDE，正方形的对角线AD，BE相交于点O，连接CO，如果AC=1，CO=22，则正方形ABDE的面积为（ ）
A．20B．22C．24D．26
【变式10-3】（2023春·吉林长春·九年级校考期末）如图，菱形ABCD的边长为8，∠A=60°，E是AD中点，动点P从点A出发，沿折线AB−BD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，连结PE，作A关于直线PE的对称点A′，连结A′E、A′P．设P的运动时间为t秒．
(1)点D到AB的距离是 ．
(2)直接写出A′B的最小值．
(3)当A′落在菱形ABCD的边上时，求△A′PE的面积．
(4)当A′P垂直于菱形ABCD的一边时，直接写出t的值．圆周角定理
定理：圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角度数的一半
是所对的圆心角，
是所对的圆周角，
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等
和都是所对的圆周角
推论2：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径
是的直径
是所对的圆周角
是所对的圆周角
是的直径
圆的内接四边形对角互补
四边形是的内接四边形
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11969" 【题型1 圆周角的运用】 PAGEREF _Tc11969 \h 2
\l "_Tc8578" 【题型2 圆内接四边形的运用】 PAGEREF _Tc8578 \h 3
\l "_Tc9909" 【题型3 利用圆的有关性质求值】 PAGEREF _Tc9909 \h 4
\l "_Tc4839" 【题型4 利用圆的有关性质进行证明】 PAGEREF _Tc4839 \h 5
\l "_Tc24163" 【题型5 翻折中的圆的有关性质的运用】 PAGEREF _Tc24163 \h 7
\l "_Tc360" 【题型6 利用圆的有关性质求最值】 PAGEREF _Tc360 \h 9
\l "_Tc9945" 【题型7 利用圆的有关性质求取值范围】 PAGEREF _Tc9945 \h 10
\l "_Tc28216" 【题型8 利用圆的有关性质探究角或线段间的关系】 PAGEREF _Tc28216 \h 11
\l "_Tc1906" 【题型9 利用圆的有关性质判断多结论问题】 PAGEREF _Tc1906 \h 13
\l "_Tc27247" 【题型10 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】 PAGEREF _Tc27247 \h 14
【知识点1 圆周角定理及其推论】
【题型1 圆周角的运用】
【例1】（2023春·山东泰安·九年级东平县实验中学校考期末）如图，⊙O的直径是AB，∠BPQ=45°，圆的半径是4，则弦BQ的长是（ ）．
A．43B．42C．23D．22
【变式1-1】（2023春·广西玉林·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，已知AB=4，CD=1，∠B=55°，∠C=65°，则BC= ．
【变式1-2】（2023春·江西九江·九年级校考期中）如图，△ABC内接于☉O，AC=BC，连接OB，若∠C=52°，则∠OBC的度数为 ．
【变式1-3】（2023春·湖北省直辖县级单位·九年级统考期末）如图，AB为半圆的直径，AB=10，点O到弦AC的距离为4，点P从出发沿BA方向向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接CP，当△APC为等腰三角形时，点P运动的时间是( )
A．145或4B．145或5C．4或5D．145，4或5
【知识点2 圆内接四边形】
【题型2 圆内接四边形的运用】
【例2】（2023春·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，在△ABC中，AB=AC．⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E为BA延长线上一点．
(1)求证：∠B=2∠ACD；
(2)若∠ACD=35°，求∠DAE的度数．
【变式2-1】（2023春·陕西西安·九年级高新一中校考期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE，若∠BCD=2∠BAD，若连接OD，则∠DOE的度数是（ ）
A．30°B．35°C．45°D．60°
【变式2-2】（2023春·浙江·九年级期中）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E=α，∠F=β，且α≠β，则∠A= （用含有a、β的代数式表示）．
【变式2-3】（2023春·辽宁大连·九年级统考期末）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交AC于D且OD∥BC，⊙O交BC于点E．
(1)求证：CD=DE；
(2)若AB=12，AD=4，求CE的长度．
【题型3 利用圆的有关性质求值】
【例3】（2023春·四川德阳·九年级四川省德阳中学校校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F．连接BF，CF，若∠EDC=135°，AE=2，BE=4，则CF的值为（ ）．
A．10B．22C．23D．3
【变式3-1】（2023春·湖南长沙·九年级统考期末）如图，⊙O中，OA⊥BC，∠B=50°，则∠D的度数为（ ）
A．20°B．50°C．40°D．25°
【变式3-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期中）如图，⊙O为△ABC的外接圆，AD⊥BC，垂足为点D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连接BE．
(1)求证：BE=BF；
(2)若AB=10，BF=5，求EF:AF的值．
【变式3-3】（2023春·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图1，四边形ADBC内接于⊙O，E为BD延长线上一点，AD平分∠EDC.
(1)求证：AB=AC；
(2)若△ABC为等边三角形，则∠EDA= 度；（直接写答案）
(3)如图2，若CD为直径，过A点作AE⊥BD于E，且DB=AE=2，求⊙O的半径.
【题型4 利用圆的有关性质进行证明】
【例4】（2023春·广东广州·九年级广东广雅中学校考期末）如图，CD是△ABC的外角∠ECB的角平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D，∠ECB=120°．
(1)求AB所对圆心角的度数；
(2)连DB，DA，求证：DA=DB；
(3)探究线段CD，CA，CB之间的数量关系，并证明你的结论．
【变式4-1】（2023春·浙江金华·九年级校考期中）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．证明：E是OB的中点．
【变式4-2】（2023春·山西长治·九年级统考期末）阅读材料，解答问题：
关于圆的引理
古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题：
如图1，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，CD⊥AB于点D，在弦AB上取点E，使DE=AD，点F是BC上的一点，且CF=CA，连接BF，则BF=BE．
小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程：
证明：如图2，连接CA，CE，CF，BC，
∵CD⊥AB于点D，DE=AD，
∴CA=CE．
∴∠CAE=∠CEA．
∵ CF=CA，
∴CF=CA（依据1），∠CBF=∠CBA．
∵四边形ABFC内接于⊙O，
∴∠CAB+∠CFB=180°．（依据2）
……
(1)上述证明过程中的依据1为 ，依据2为 ；
(2)将上述证明过程补充完整．
【变式4-3】（2023春·江苏泰州·九年级校考期末）已知⊙O为△ACD的外接圆，AD=CD．
(1)如图1，延长AD至点B，使BD=AD，连接CB．
①求证：△ABC为直角三角形；
②若⊙O的半径为4，AD=5，求BC的值；
(2)如图2，若∠ADC=90°，E为⊙O上的一点，且点D，E位于AC两侧，作△ADE关于AD对称的图形△ADQ，连接QC，试猜想QA,QC,QD三者之间的数量关系并给予证明．
【题型5 翻折中的圆的有关性质的运用】
【例5】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，将⊙O上的BC沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将BD沿BD翻折交BC于点E，连接DE． 若AD＝2OD，则DEAB的值为（ ）
A．36B．63C．33D．66
【变式5-1】（2023春·湖北恩施·九年级期末）如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（ ）
A．110°B．112.5°C．115°D．117.5°
【变式5-2】（2023春·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D，连接CD，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，则∠DCA= ．
【变式5-3】（2023春·浙江金华·九年级浙江省义乌市稠江中学校考期中）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．
(1)如图1，若点D与圆心O重合，AC=3，求⊙O的半径r；
(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=20∘，请求出∠DCA的度数．
(3)如图2，如果AD=6，DB=2，求AC的长．
【题型6 利用圆的有关性质求最值】
【例6】（2023春·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，△ABC中，AB=23，∠ACB=75°，∠ABC=60°，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O，分别交AB，AC于E，F，连接EF，则∠BAC= ；EF的最小值为 ．
【变式6-1】（2023春·北京密云·九年级统考期末）如图，⊙O的弦AB长为2，CD是⊙O的直径，∠ADB=30°,∠ADC=15°．
①⊙O的半径长为 ．
②P是CD上的动点，则PA+PB的最小值是 ．
【变式6-2】（2023春·湖南湘西·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB=4，以边CD为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，EF⊥DA于点F，EP⊥AB于点P，设EF=x，EP=y，则x2+y2的最小值是（ ）
A．23−1B．4−23C．25−1D．25−2
【变式6-3】（2023春·辽宁沈阳·九年级沈阳市第七中学校考期末）如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC=6，则CD的最小值为 ．
【题型7 利用圆的有关性质求取值范围】
【例7】（2023春·湖北武汉·九年级校考期末）如图，△ABC的两个顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为2，∠BAC=90°，AB=AC，若动点B在⊙O上运动，OC=m，则m的取值范围是 ．
【变式7-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，弧BE是半径为6的圆D的14圆周，C点是BE上的任意一点，△ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（ ）
A．12＜P≤18B．18＜P≤24C．18＜P≤18＋62D．12＜P≤12＋62
【变式7-2】（2023春·福建福州·九年级校考期中）如图，⊙O的直径为10，A、B、C、D是⊙O上的四个动点，且AB＝6，CD＝8，若点E、F分别是弦AB、CD的中点，则线段EF长度的取值范围是（）
A．1≤EF≤7B．2≤EF≤5C．1＜EF＜7D．1≤EF≤6
【变式7-3】（2023春·江苏南京·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是1．过⊙O上一点P作等边三角形PDE，使点D，E分别落在x轴、y轴上，则PD的取值范围是 ．
【题型8 利用圆的有关性质探究角或线段间的关系】
【例8】（2023·河北石家庄·统考一模）如图，AB是半圆O的直径，C、D、E三点依次在半圆O上，若∠C=α，∠E=β，则α与β之间的关系是（ ）
A．α+β=270°B．α+β=180°C．β=α+90°D．β=12α+90°
【变式8-1】（2023·湖北襄阳·九年级校考阶段练习）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是AB上任意一点（不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM//BP交PA的延长线于点M.
（1）求∠APC和∠BPC的度数
（2）探究PA、PB、PM之间的关系
（3）若PA=1，PB=2，求四边形PBCM的面积．
【变式8-2】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AB=BC，延长DA到点E，使得BE=BD．
(1)若AF平分∠CAD，求证：BA=BF；
(2)试探究线段AD，CD与BD之间的数量关系．
【变式8-3】（2023·江苏·九年级假期作业）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE=BE．请证明此结论；
(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA，PB组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；
(3)如图3，PA，PB组成⊙O的一条折弦．C是优弧ACB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．
【题型9 利用圆的有关性质判断多结论问题】
【例9】（2023春·江苏镇江·九年级统考期中）如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∠ACB的平分线交⊙O于D，下列4个判断：①⊙O的半径为5；②CD的长为72；③在BC弦所在直线上存在3个不同的点E，使得△CDE是等腰三角形；④在BC弦所在直线上存在2个不同的点F，使得△CDF是直角三角形；正确判断的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式9-1】（2023春·广东湛江·九年级统考期末）如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为AN上一点，且AC=AM，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③AM=BM；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=12MF．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式9-2】（2023春·全国·九年级统考期末）已知如图，点O为△ABD的外心，点C为直径BD下方弧BCD上一点，且不与点B，D重合，∠ACB=∠ABD=45°，则下列对AC，BC，CD之间的数量关系判断正确的是（ ）
A．AC=BC+CD B．2 AC=BC+CD C．3 AC=BC+CD D．2AC=BC+CD
【变式9-3】（2023春·浙江·九年级期末）在一次探究活动中，方方完成了如下的尺规画图过程：第一步：在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB=BC=CD；第二步：分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F．画图后，他得出两个结论：①AF的长为2；②△ACF的面积为3+34，则（ ）
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
【题型10 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】
【例10】（2023春·安徽六安·九年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，连接PC，且满足∠PAB=∠PBC，过点P作PD⊥BC于点D，则∠APB= ；当线段CP最短时，△BCP的面积为
【变式10-1】（2023春·福建厦门·九年级厦门市第五中学校考期中）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，把△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE（点A与D对应）．
(1)如图，若点E落在边AB上，连接AD，求AE的长；
(2)如图，若旋转角度为60°，连接AE．求AE的长；
(3)如图，若旋转角度为α45°≤α≤90°，连接AD，BF⊥AD，垂足为F．求证：C，E，F三点在同一直线上．
【变式10-2】（2023春·重庆开州·九年级统考期末）如图，以直角三角形ABC的斜边AB为边在三角形ABC的同侧作正方形ABDE，正方形的对角线AD，BE相交于点O，连接CO，如果AC=1，CO=22，则正方形ABDE的面积为（ ）
A．20B．22C．24D．26
【变式10-3】（2023春·吉林长春·九年级校考期末）如图，菱形ABCD的边长为8，∠A=60°，E是AD中点，动点P从点A出发，沿折线AB−BD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，连结PE，作A关于直线PE的对称点A′，连结A′E、A′P．设P的运动时间为t秒．
(1)点D到AB的距离是 ．
(2)直接写出A′B的最小值．
(3)当A′落在菱形ABCD的边上时，求△A′PE的面积．
(4)当A′P垂直于菱形ABCD的一边时，直接写出t的值．圆周角定理
定理：圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角度数的一半
是所对的圆心角，
是所对的圆周角，
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等
和都是所对的圆周角
推论2：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径
是的直径
是所对的圆周角
是所对的圆周角
是的直径
圆的内接四边形对角互补
四边形是的内接四边形
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