中考数学一轮复习专题3.13 圆章末十大题型总结（培优篇）（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题3.13 圆章末十大题型总结（培优篇）（北师大版）（解析版），共55页。

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\l "_Tc11060" 【题型1 巧用圆的半径相等】 PAGEREF _Tc11060 \h 1
\l "_Tc8178" 【题型2 由点与圆的位置关系求求范围】 PAGEREF _Tc8178 \h 5
\l "_Tc15352" 【题型3 弧、弦、角、之间的关系】 PAGEREF _Tc15352 \h 11
\l "_Tc7578" 【题型4 垂径定理】 PAGEREF _Tc7578 \h 17
\l "_Tc10820" 【题型5 圆周角定理】 PAGEREF _Tc10820 \h 22
\l "_Tc14210" 【题型6 圆内接四边形】 PAGEREF _Tc14210 \h 28
\l "_Tc24132" 【题型7 直线与圆的位置关系】 PAGEREF _Tc24132 \h 35
\l "_Tc1533" 【题型8 切线长定理的运用】 PAGEREF _Tc1533 \h 39
\l "_Tc25733" 【题型9 弧长的计算】 PAGEREF _Tc25733 \h 45
\l "_Tc2755" 【题型10 扇形面积的计算】 PAGEREF _Tc2755 \h 49
【题型1 巧用圆的半径相等】
【方法点拨】解决此类问题的关键是连接半径，抓住圆的半径相等是关键.
【例1】（2023秋·广东汕头·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的弦，OD为⊙O半径．OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OD=2OC，则∠ODB为（ ）度
A．60B．65C．70D．75
【答案】D
【分析】连接OB，则OB=OD，由OC⊥AB，则∠OBC=30°，再由OD∥AB，即可求出答案．
【详解】解：如图：连接OB，则OB=OD，
∵OC=12OD，
∴OC=12OB，
∵OC⊥AB，
∴∠OBC=30°，
∵OD∥AB，
∴∠BOD=∠OBC=30°，
∴∠OBD=∠ODB=75°，
故选D．
【点睛】本题考查了圆，平行线的性质，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键．
【变式1-1】（2023秋·河北唐山·九年级统考期中）如图，半圆O的直径AB=10，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P，那么AP=（ ）
A．2.5B．5C．10−52D．102−5
【答案】C
【分析】先根据题意判断出△O′PB是等腰直角三角形，由勾股定理求出PB的长，进而可得出AP的长．
【详解】解：如下图，连接O′P，
由题意得：∠OBA′=45°，
∵O'P=O'B，
∴∠O'PB=∠OBA'=45°,
∴△O′PB是等腰直角三角形，
∴PB=2BO′=52，
∴AP=AB−BP=10−52，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是根据旋转的性质求出△O′PB是等腰直角三角形．
【变式1-2】（2023秋·河北唐山·九年级唐山市第十二中学校考期末）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（ ）
A．42°B．28°C．21°D．20°
【答案】B
【分析】连接OD，易得OD=BE，利用三角形外角的性质得到∠ODC=2∠E，∠AOC=∠ODC+∠E，进行求解即可；
【详解】解：连接OD，则：OD=OB=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵DE=OB，
∴OD=DE，
∴∠DOE=∠E，
∴∠ODC=∠DOE+∠E=2∠E，
∴∠OCD=2∠E，
∴∠AOC=∠OCD+∠E=3∠E，
∴∠E=13∠AOC=28°；
故选B．
【点睛】本题考查圆的认识，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质．熟练掌握圆内半径均相等，得到等腰三角形，是解题的关键．
【变式1-3】（2023秋·天津南开·九年级南开翔宇学校校考期末）如图，⊙O 的半径为 2，AB 为圆上一动弦，以 AB为边作正方形ABCD，求OD的最大值 ．
【答案】22+2
【分析】把AO绕点A顺时针旋转90°得到AO′，得到△AOO′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出OO′，再根据正方形的性质可得AB=AD，再求出∠BAO=∠DAO′，然后利用“边角边”证明△ABO和△ADO′全等，根据全等三角形对应边相等可得DO′=BO，再根据三角形的任意两边之和大于第三边求解即可．
【详解】如图，连接AO、BO、把AO绕点A顺时针旋转90°得到AO′，连接DO′
∴△AOO′是等腰直角三角形，
∵AO=2，
∴OO′=22+22=22，
在正方形ABCD中，AB=AD， ∠BAD=90°，
∵∠BAO+∠BAO′=∠DAO′+∠BAO′=90°，
∴∠BAO=∠DAO′，
在△ABO和△ADO′中，
AO=AO′∠BAO=∠DAO′AB=AD，
∴△ABO≌△ADO′ （SAS），
∴DO′=BO=2，
∴OO′＋O′D≥OD，
当O、O′、D三点共线时，取“=”，
此时，OD的最大值为22+2．
故答案为：22+2．
【点睛】本题考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用旋转作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
【题型2 由点与圆的位置关系求求范围】
【方法点拨】解决此类问题关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；
当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
【例2】（2011秋·江苏泰州·九年级统考期中）直角坐标系中，已知点A(1,0)，⊙A的半径是5，若点D(−2,a)在⊙A外，则a的范围是( )
A．a>4B．a>4或a16，
∴a>4或a