中考数学一轮复习专题4.9 一次函数章末八大题型总结（拔尖篇）（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题4.9 一次函数章末八大题型总结（拔尖篇）（北师大版）（解析版），共53页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32145" 【题型1 根据情景确定函数图象】 PAGEREF _Tc32145 \h 1
\l "_Tc16415" 【题型2 一次函数与三角形的面积综合】 PAGEREF _Tc16415 \h 4
\l "_Tc14335" 【题型3 一次函数与全等三角形】 PAGEREF _Tc14335 \h 10
\l "_Tc11441" 【题型4 一次函数与等腰三角形】 PAGEREF _Tc11441 \h 18
\l "_Tc10453" 【题型5 一次函数与等腰直角三角形】 PAGEREF _Tc10453 \h 24
\l "_Tc6189" 【题型6 一次函数与动点最值问题】 PAGEREF _Tc6189 \h 35
\l "_Tc1933" 【题型7 一次函数的图象的应用】 PAGEREF _Tc1933 \h 42
\l "_Tc1828" 【题型8 一次函数的实际应用】 PAGEREF _Tc1828 \h 47
【题型1 根据情景确定函数图象】
【例1】（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h（单位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（单位：cm3）表示注入容器内的水量，则表示V与h的函数关系的图象大致是（ ）

B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据容器的形状可知当液面高度越高时，体积的变化越小，即随着
【详解】由题图知，随高度的增加上底面越来越小，故V与h函数图象不会出现直线，排除C，D选项，
随着高度的增加h越大体积变化越缓慢，故排除A选项．
故选：B．
【点睛】本题考查了函数图象的判断，根据容器的形状以及题意判断函数图象先陡，后缓是解题的关键．
【变式1-1】（2023·广西南宁·八年级校考期中）南湖隧道是南宁市建成的首条水底隧道．一辆小汽车匀速通过南湖隧道，小汽车车身在隧道内的长度记为y米，小汽车进入隧道的时间记为t秒，则y与t之间的关系用图象描述大致是（ ）

B．
C． D．
【答案】D
【分析】火车通过隧道分为3个过程：逐渐进入隧道，完全进入隧道并在其中行驶，逐渐出隧道，进而求解即可．
【详解】火车在逐渐进入隧道的过程中，火车在隧道内的长度逐渐增加；
火车完全进入隧道后，还在隧道内行驶一段时间，因此在隧道内的长度是火车长，且保持一段时间不变；
火车在逐渐出隧道的过程中，火车在隧道内的长度逐渐减少；
符合上述分析过程的为：D．
故选：D．
【点睛】本题考查函数图像在生活中的应用，解题关键是分析事件变化的过程，并能够匹配对应函数图像变化
【变式1-2】（2023·北京怀柔·八年级校考期中）小丽早上从家出发骑车去上学，途中想起忘了带昨天晚上完成的数学作业，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回骑，遇到妈妈后停下说了几句话，接着继续骑车去学校．设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与学校的距离为S．下面能反映S与t的函数关系的大致图象是（ ）．
A．AB．BC．CD．D
【答案】B
【详解】试题分析：小丽从家出发时离学校最远，随着时间的推移离学校越来越近，往回骑后，离学校又开始变远，遇到妈妈后停下说了几句话，离学校的距离没变，即图象与横轴平行，接着继续骑车去学校，会离学校越来越近，最后到达学校时，距离变为为0，据此观察图象，只有B符号条件．
故选B．
考点：函数图象．
【变式1-3】（2023春·北京东城·八年级北京市第二中学分校校考期末）如图所示，一个实心铁球静止在长方体水槽的底部，现向水槽匀速注水，下列图像中能大致反映水槽中水的深度y与注水时间x关系的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时，分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案．
【详解】解：根据题意得：
当水的深度未超过球顶时，水槽中能装水的部分的宽度由下到上，由宽逐渐变窄，再变宽，所以在匀速注水过程中，水的深度变化从上升较慢变为较快，再变为较慢，
当水的深度超过球顶时，水槽中能装水的部分宽度不再变化，所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化，
综上所述，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升，
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数的图像，利用分类讨论思想，根据不同时间段能装水部分的宽度的变化情况分析水的深度变化情况是解题的关键．
【题型2 一次函数与三角形的面积综合】
【例2】（2023春·四川宜宾·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，四边形ODEC为正方形，点C的坐标是(0,2)，点A的坐标是(2,1)，若直线l把▱OABC与正方形ODEC组成的图形分成面积相等的两部分，则直线l的解析式是( )

A．y=14x+54B．y=12x+32C．y=−14x+34D．y=−14x+32
【答案】A
【分析】由于正方形与平行四边形均为中心对称图形，故过正方形与平行四边形的对称中心点的直线总可以把各自分成面积相等的两部分，则可以把正方形与平行四边形的组合图形分成面积相等的两部分的直线，必然是过两个对称中心点的连线．先求得正方形与平行四边形的中心点M、N的坐标，然后用待定系数法可以求得直线l的解析式．
【详解】设平行四边形OABC与正方形ODEC的中心为点M、N，则直线MN就是可以将正方形与平行四边形组成的图形分成面积相等的两部分的直线l．(如图)

∵点C的坐标为0,2，
∴OC=2．
又∵四边形ODEC为正方形，
∴OD=2，
∴点N的坐标为−1,1．
由平行四边形OABC的对边相等知，
AB=OC=2，
又已知点A的纵坐标为1，
所以点B的纵坐标为3．
点B的坐标为2,3，
因此点M的坐标为1,32．
设直线l的解析式为y=kx+b，
将N−1,1、M1,32代入l的解析式得：
1=−k+b32=k+b．解得k=14b=54．
∴直线l的解析式为y=14x+54．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形与平行四边形的性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，解题的关键是知晓直线l必经过正方形与平行四边形的对称中心点．
【变式2-1】（2023春·广东江门·八年级统考期末）如图，过点A(−2,0)的直线l1:y=kx+b与直线l2:y=−x+1交于P(−1,a)．

(1)求直线l1对应的表达式；
(2)求四边形PAOC的面积．
【答案】(1)y=2x+4
(2)52
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）先求得点B，C的坐标，根据S四边形PAOC=S△PAB−S△COB即可求解．
【详解】（1）解：把P(−1,a)代入y=−x+1得a=2，则P点坐标为(−1,2)；
把A(−2,0)，P(−1,2)代入y=kx+b得：0=−2k+b2=−k+b，
解得k=2b=4，
所以直线l1的表达式为：y=2x+4；
（2）∵y=−x+1交x轴于B，交y轴于C，
∴B(1,0)，C(0,1)，
∴四边形PAOC的面积S四边形PAOC=S△PAB−S△COB =12×AB×yP−12×OB×OC =12×3×2−12×1×1 =52．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴交点问题，三角形面积问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·山东济南·八年级校考期中）如图1所示，在△ABC中，AD是三角形的高，且AD=6cm，BC=8cm，点E是BC上的一个动点，由点B向点C运动，其速度与时间的变化关系如图2所示．

(1)由图2知，点E运动的时间为 s，速度为 cm/s，点E停止运动时距离点C cm．
(2)求在点E的运动过程中，△ABE的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的关系是 ．
(3)求点E停止运动后，求△ABE的面积．
【答案】(1)2，3，2；
(2)y=9x
(3)18
【分析】（1）根据图象解答即可；
（2）根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）根据三角形的面积公式，可得答案．
【详解】（1）解：根据题意和图象，可得E点运动的时间为2s，速度为3cm/s，
当点E停止运动时，BE=2×3=6(cm)，此时距离点C:8−6=2(cm)，
故答案为：2，3，2；
（2）解：根据题意得y=12×BE×AD=12×3x×6=9x，
即y=9x，
故答案为：y=9x；
（3）解：当点E停止运动后，BD=3×2=6(cm)，
所以△ABE的面积为12×6×6=18(cm2)．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，涉及求函数解析式，求函数值问题，能读懂函数图象是解决问题的关键．
【变式2-3】（2023春·山西大同·八年级大同市第三中学校校考期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为a，点A的纵坐标为b，且实数a，b满足a+42+b−6=0．

(1)如图1，求点A的坐标；
(2)如图2，过点A作x轴的垂线，点B为垂足．若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长度可以得到对应点C，连接CA，CB，请直接写出点B，C的坐标并求出三角形ABC的面积．
(3)在（2）的条件下，记AC与x轴交点为点D，点P在y轴上，连接PB，PD，若三角形PBD的面积与三角形ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)(−4,6)
(2)30
(3)0,−8或0,8
【分析】（1）根据非负数的性质求得a、b的值，即可确定点A的坐标；
（2）根据“过点A作x轴的垂线，点B为垂足”可得点B的坐标；由平移的性质可得点C的坐标；结合图形，利用三角形面积公式即可计算三角形ABC的面积；
（3）设直线AC交y轴于点D，直线AC的解析式为y=kx+b，由待定系数法求得直线AC的解析式，即可确定点D的坐标；设点P(0,m)，根据题意可得S△PBD=12BD×m=30，求解即可获得答案．
【详解】（1）∵实数a，b满足a+42+b−6=0，
且a+42≥0，b−6≥0，
∴a+4=0，b−6=0，
∴a=−4，b=6，
∴点A的坐标为(−4,6)；
（2）过点A作x轴的垂线，点B为垂足，
∴B(−4,0)，
若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长度可以得到对应点C，
则点C坐标为(−4+10,6−8)，即C(6,−2)，
AB=|yA−yB|=|6−0|=6，
∴S△ABC=12AB×|xC−xA|=12×6×|6−−4|=12×6×10=30，
即三角形ABC的面积为30；
（3）如图，设直线AC的解析式为y=kx+b，

将点A(−4，6)，点C(6,−2)代入y=kx+b，
可得−4k+b=66k+b=−2，
解得k=−45b=145，
∴直线AC的解析式为y=−45x+145，
令y=0，则x=72，
∴点D72,0，
∴BD=72−−4=152
设点P(0，m)，
∵三角形PBD的面积与三角形ABC的面积相等，
∴S△PBD=12BD×m=30，
即12×152×|m|=30，
∴|m|=8，
解得m=8或m=−8，
∴点P的坐标为0,−8或0,8．
【点睛】本题考查了非负数的性质、坐标与图形、点的平移、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征等知识，理解题意，利用数形结合的思想分析问题是解题关键．
【题型3 一次函数与全等三角形】
【例3】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，直线l1：y=−2x+6与过点B(0，3)的直线l2交于点C(1，m)，且直线l1与x轴交于点A，与y轴交于点D．

(1)求直线l2的函数表达式；
(2)若点M是直线l2上的点，过点M作MN⊥y轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与△AOD全等，求所有满足条件的点M的坐标．
【答案】(1)y=x+3
(2)点M的坐标为(3，6)或(−6，−3)
【分析】（1）将点C(1，m)代入直线l1：y=−2x+6可得m=−2×1+6=4，利用待定系数法即可得直线l2的解析式；
（2）分两种情况：①当△OMN≅△DAO时；②当△MNO≅△DOA时，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：因为直线l1：y=−2x+6与直线l2交于点C(1，m)，
所以m=−2×1+6=4，
所以C(1，4)，
又因为l2过点B(0，3)，
故设直线l2的函数表达式为y=ℎx+3，
将C(1，4)代入，得ℎ+3=4，
解得ℎ=1，
所以直线l2的函数表达式为y=x+3．
（2）因为直线 l1：y=−2x+6与x轴交于点A，与y轴交于点D．
所以A(3，0)，D(0，6)，
因为MN⊥y轴于点N，
所以MN⊥ON，
所以以O、M、N为顶点的三角形与△AOD全等，分两种情况：

①如图，当△OMN≅△DAO时，MN=AO=3，
因为直线l2的函数表达式为y=x+3，
当x=3时，y=3+3=6，
所以点M的坐标为(3,6)；
②如图，当△MNO≅△DOA时，MN=OD=6，
因为直线l2的函数表达式为y=x+3，
当x=−6时，y=−6+3=−3，
所以点M的坐标为(−6,−3)．
综上所述，满足条件的点M的坐标为(3,6)或(−6,−3)．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，全等三角形的性质等知识，熟练掌握一次函数和全等三角形的性质是解本题的关键．
【变式3-1】（2023春·河北保定·八年级校联考期中）已知：如图点A(6，8)在正比例函数图象上，点B坐标为(12,0)，连接AB，AO=AB=10，点C是线段AB的中点，点P在线段BO上以每秒2个单位的速度由点B向点O运动，点Q在线段AO上由点A向点O运动，P、Q两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒．
（1）正比例函数的关系式为 ；
（2）当t=1秒，且SΔOPQ=6时，求点Q的坐标；
（3）连接CP，在点P、Q运动过程中，ΔOPQ与ΔBPC是否全等？如果全等，请求出点Q的运动速度；如果不全等，请说明理由．
【答案】（1）y=43x；（2）Q(910,65)；（3）当点Q的运动速度是每秒67个单位或每秒53个单位时，ΔOPQ与ΔBPC全等．
【分析】（1）设正比例函数的解析式为y=kx，然后将点A的坐标代入求解即可；
（2）过点Q作QH⊥x轴于点H，由t=1，可知BP=2，从而可求得OP=10，然后根据三角形的面积公式可求出QH的长，又点Q在正比例函数图象上，从而可得出点Q的坐标；
（3）由OA=AB=10得到∠QOP=∠CBP，由△OPQ与△BPC全等可知：OP=BC=5，OQ=BP或OQ=BC=5，OP=PB，再分别求出AQ的长，从而可求得点Q的运动速度．
【详解】解：（1）设正比例函数的解析式为y=kx，
把A（6，8）代入得：8=6k．
解得：k=43．
故答案为：y=43x；
（2）当t=1时，BP=2，OP=10．
如图，过点Q作QH⊥x轴于点H，
∵S△OPQ=12OP•QH=6，∴QH=65．
把Q（x，65）代入y=43x中，得x=910，
∴点Q的坐标为（910，65）；
（3）∵AO=AB=10，点C是线段AB的中点，
∴BC=5，∠QOP=∠CBP．
若△OPQ与△BPC全等，
则有OP=BC=5，OQ=BP或OQ=BC=5，OP=PB．
设Q点的运动速度为v个单位/秒，
①OP=BC=5，OQ=BP时，
∵OP=5，∴12-2t=5．解得t=72．
∴OQ=BP=2×72=7．
∴AQ=10-7=3．
∴72v=3，解得v=67．
∴点Q运动的速度为67个单位/秒．
②当OQ=BC=5，OP=PB=6时，
由OP=PB=12OB=6可知：2t=6，
解得：t=3．
∵OQ=5，∴AQ=OA-OQ=10-5=5．
∴3v=5，解得v=53．
∴点Q运动的速度为53个单位/秒．
综上所述：当点Q的运动速度是每秒67个单位或每秒53个单位时，△OPQ与△BPC全等．
【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，全等三角形的性质、三角形的面积公式，根据三角形全等得出对应边相等从而求得点P的运动时间和点Q运动的距离是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·辽宁阜新·八年级校考期末）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过AB中点D的直线CD交x轴于点C，且经过第一象限的点E（6，4）．
（1）求A，B两点的坐标及直线CD的函数表达式；
（2）连接BE，求△DBE的面积；
（3）连接DO，在坐标平面内找一点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等，请直接写出点F的坐标．
【答案】（1）A（0，4），B（4，0），y=12x+1；（2）6；（3）当点F在第一象限时，点F的坐标为（2，2）；当点F在第二象限时，点F的坐标为（﹣4，2）；当点F在第三象限时，点F的坐标为（﹣4，﹣2）；当点F在第四象限时，点F的坐标为（2，﹣2）．
【分析】（1）依据一次函数y=-x+4，求得A（0，4），B（4，0），依据D是AB的中点，可得D（2，2），运用待定系数法即可得到直线CD的函数表达式；
（2）先求得C（-2，0），BC=2=4=6，再根据△DBE的面积=△BCE的面积-△BCD的面积，进行计算即可；
（3）在四个象限内分别找到点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等．
【详解】（1）一次函数y=﹣x+4，令x=0，则y=4；令y=0，则x=4，
∴A（0，4），B（4，0），
∵D是AB的中点，
∴D（2，2），
设直线CD的函数表达式为y=kx+b，则{4=6k+b2=2k+b，解得{k=12b=1，
∴直线CD的函数表达式为y=12x+1；
（3）y=12x+1，令y=0，则x=﹣2，
∴C（﹣2，0），
∴BC=2=4=6，
∴△DBE的面积=△BCE的面积﹣△BCD的面积=12×6×（4﹣2）=6；
（3）如图所示，
当点F在第一象限时，点F与点D重合，即点F的坐标为（2，2）；
当点F在第二象限时，点F的坐标为（﹣4，2）；
当点F在第三象限时，点F的坐标为（﹣4，﹣2）；
当点F在第四象限时，点F的坐标为（2，﹣2）．
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
【变式3-3】（2023春·山东济南·八年级统考期中）若直线y mx8和ynx3都经过 x 轴上一点 B，与 y 轴分别交于A、C．
（1）写出 A、C 两点的坐标，A ，C ____ ；
（2）若BC平分∠ABO，求直线AB和CB的解析式；
（3）点D是y轴上一个动点，是否存在 AB上的动点E，使得△ADE与△AOB全等，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（0，8），（0，3）；（2）直线AB：y=43x+8，直线CB：y=12x+3；（3）（6，16），245，725，-245，85
【分析】（1）由两条直线解析式直接求出A、C两点坐标；
（2）过点C作CH⊥AB，交直线AB于点H，证明△BCH≌△BCO，在Rt△AOB中，由勾股定理可得OB=6，把点B代入解析式即可得到结论；
（3）分三种情况得到△ADE，再结合全等的性质求解即可．
【详解】解：（1）由直线y=mx+8和y=nx+3得A（0，8），C（0，3），
故答案为：（0，8），（0，3）；
（2）解：过点C作CH⊥AB，交直线AB于点H；

∵ BC平分∠ABO，且CO⊥x轴，CH⊥AB，
∴CO=CH
又∵OC=3，OA=8；
∴CH=3，AC=5；
∴在Rt△CHA中，∠CHA=90°，CH²+CA²=AH²；
所以AH=4
∵易证△BCH≌△BCO（AAS）；
∴BO=BH；
设OB长为x，则AB=4+x
∴在Rt△AOB中，x²+8²=（x+4）²
解得x=6
∴B（-6，0）
将点B分别代入直线AB、直线BC可得：
直线AB解析式为：y=43x+8；
直线BC解析式为：y=12x+3；
∴直线AB：y=43x+8，直线CB：y=12x+3；
（3）情形1，如图

当△ADE≌△AOB时，AD=AO=8，DE=BO=6，
∴OD=16，
∴点E的坐标为（6，16）
情形2，如图，

当△AED≌△AOB时，AD=AB=10，DE=BO=6，AE=AO=8，
过点E作EF⊥AD，则有12AE·DE=12AD·EF
∴EF=AE·DEAD=6×810=245
∴点E的横坐标为245，代入y=43x+8得，y=725,
∴点E的坐标为（245，725）；
情形3，如图，

当△AED≌△AOB时，方法同情形2可求出EG=245，
∴点E的横坐标为-245，代入y=43x+8得，y=85,
∴点E的坐标为（-245，85）；
综上，点E的坐标为（6，16），245，725，-245，85．
【点睛】本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据题意求出点的坐标，根据图形的特殊性利用全等三角形的性质求出OB，再求一次函数解析式．
【题型4 一次函数与等腰三角形】
【例4】（2023春·山西临汾·八年级校联考期中）已知正比例函数y=43x与一次函数y=3x−5的图象交于点A，且OA=OB．
（1）求A点坐标；
（2）求△AOB的面积；
（3）已知在x轴上存在一点P，能使△AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合要求的点P的坐标．
【答案】（1）A点坐标为3,4；（2）S△AOB=152；（3）P点的坐标是5,0或−5,0或6,0或256,0
【分析】（1）联立方程组求解即可；
（2）求出点B的坐标计算即可；
（3）根据OA为腰和底边分类讨论，结合等腰三角形的性质计算即可；
【详解】解：（1）由y=43xy=3x−5，
解得：x=3y=4，
∴A点坐标为3,4；
（2）∵y=3x−5与y轴相交于点B，则B点坐标为0,−5，
∴S△AOB=12×5×3=152；
（3）由题意可分：
当OA是腰，O是顶角的顶点时，OP=OA=5，则P的坐标是5,0或−5,0；
当OA是腰，A是顶角的顶点时，AP=AO，则P与O关于x=3对称，则P的坐标是6,0；
当OA是底边时，OA的中点是32,2，设过OA的中点且与OA垂直的直线的解析式是：y=−34x+b；
根据题意得：b=258，
直线的解析式是：y=−34x+258，
当y=0时，x=256，
∴P点坐标为256,0；
综上所述，P点的坐标是5,0或−5,0或6,0或256,0．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的应用，准确分析计算是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·四川宜宾·八年级统考期中）等腰三角形中，周长为20cm，设底边为x，腰长为y．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求自变量x的取值范围；
(3)在平面直角坐标系中画出函数的图象．
【答案】（1）y=10−12x；（2）0010−12x>0，
解得：0