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中考数学一轮复习专题4.2 一次函数的图象与性质(一)【十大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)
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这是一份中考数学一轮复习专题4.2 一次函数的图象与性质(一)【十大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版),共27页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc20185" 【题型1 一次函数的概念辨析】 PAGEREF _Tc20185 \h 1
\l "_Tc17977" 【题型2 待定系数法求一次函数解析式】 PAGEREF _Tc17977 \h 3
\l "_Tc32690" 【题型3 一次函数图象上点的坐标特征】 PAGEREF _Tc32690 \h 6
\l "_Tc12327" 【题型4 一次函数解析式与三角形面积问题】 PAGEREF _Tc12327 \h 7
\l "_Tc5403" 【题型5 根据实际问题列一次函数解析式】 PAGEREF _Tc5403 \h 11
\l "_Tc7282" 【题型6 判断一次函数的图象】 PAGEREF _Tc7282 \h 15
\l "_Tc22598" 【题型7 判断一次函数的增减性或经过的象限】 PAGEREF _Tc22598 \h 18
\l "_Tc4591" 【题型8 根据一次函数的性质求参数的范围】 PAGEREF _Tc4591 \h 20
\l "_Tc13685" 【题型9 根据一次函数的增减性求自变量的变化情况】 PAGEREF _Tc13685 \h 21
\l "_Tc20881" 【题型10 根据一次函数的增减性比较函数值大小】 PAGEREF _Tc20881 \h 23
【知识点1 一次函数和正比例函数的概念】
一般地,若两个变量x,y间的关系可以表示成(k,b为常数,k0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。
特别地,当一次函数中的b=0时(即)(k为常数,k0),称y是x的正比例函数。
【题型1 一次函数的概念辨析】
【例1】(2023春·山东菏泽·八年级统考期末)下列函数中,是一次函数但不是正比例函数的是( )
A. y=−x2B. y=−2xC.y=−x−12D.y=x2−12
【答案】C
【分析】根据一次函数和正比例函数的概念解答即可.
【详解】解:A.是一次函数,也是正比例函数,故选项不符合题意;
B.不是一次函数,故选项不符合题意;
C.是一次函数,但不是正比例函数,故选项符合题意;
D.不是一次函数,故选项不符合题意.
故选:C.
【点睛】本题主要考查一次函数和正比例函数的概念:若两个变量x和y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量);一般地,两个变量x,y之间的关系式可以表示成形如y=kx(k为常数,且k≠0)的函数,那么y就叫做x的正比例函数.
【变式1-1】(2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末)若函数y=a−2xa−1+4是一次函数,则a的值为( )
A.−2B.±2C.2D.0
【答案】A
【分析】根据一次函数y=kx+b的定义可知,k、b为常数,k≠0,自变量的次数为1,即可求解.
【详解】解:∵y=a−2xa−1+4是关于x的一次函数,
∴a−1=1,且a−2≠0,
∴a=2,且a≠2,
∴a=±2且a≠2,
∴a=−2.
故选:A.
【点睛】本题考查了一次函数的定义,熟练掌握一次函数的定义和性质是解题的关键.
【变式1-2】(2023春·全国·八年级期中)在下列函数中,x是自变量,y是因变量,则一次函数有 ,正比例函数有 .(将代号填上即可)①y=3x+1;②y=x2+2x;③y=5x;④y=1−4x;⑤y=1x+2.
【答案】 ①③④ ③
【分析】根据一次函数及正比例函数的定义,即可一一判定.
【详解】解:①y=3x+1是一次函数,不是正比例函数;
②y=x2+2x不是一次函数;
③y=5x是正比例函数,因为正比例函数一定是一次函数,所以还是一次函数;
④y=1−4x是一次函数;
⑤y=1x+2既不是正比例函数也不是一次函数.
故答案为:①③④,③.
【点睛】本题考查了一次函数及正比例函数的定义,熟知正比例函数是一次函数的特例是解决本题的关键.
【变式1-3】(2023春·广东东莞·八年级校考期中)已知函数y=k−2x+k2−4.
(1)若该函数是一次函数,求k的取值范围.
(2)若该函数是正比例函数,求k的值.
【答案】(1)k≠2
(2)k=−2
【分析】(1)根据一次函数的定义,即可进行解答;
(2)根据正比例函数的定义,即可进行解答.
【详解】(1)解:∵函数y=k−2x+k2−4是一次函数,
∴k−2≠0,
解得:k≠2;
(2)解:∵函数y=k−2x+k2−4是正比例函数,
∴k−2≠0k2−4=0,
解得:k=−2.
【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数的定义,解题的关键是掌握一般形如y=kx+b的是一次函数(k,b是常数,k≠0),其中x是自变量,y是因变量.形如y=kx的是正比例函数k≠0,其中x是自变量,y是因变量.
【知识点2 正比例函数和一次函数解析式的确定】
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式(k0)中的常数k。确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式(k0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
【题型2 待定系数法求一次函数解析式】
【例2】(2023春·河南新乡·八年级统考期中)已知y与x+3成正比例,且当x=1时,y=−8.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)设点(m,2)在(1)中函数的图象上,求m的值.
【答案】(1)y=−2x−6
(2)−4
【分析】(1)利用待定系数法解答,即可求解;
(2)把点Mm,2代入(1)中解析式,即可求解.
【详解】(1)解:根据题意:设y与x之间的函数解析式为y=kx+3,
把x=1,y=−8代入得:−8=k1+3,
解得:k=−2.
则y与x函数关系式为y=−2x+3,
即y与x之间的函数解析式为y=−2x−6;
(2)解:把点Mm,2代入y=−2x−6,
得:2=−2m−6,
解得m=−4.
【点睛】本题考查了正比例函数、待定系数法求一次函数的表达式、一次函数图象与函数关系式;其中熟练运用待定系数法求参数的值,是解决本题的关键.
【变式2-1】(2023春·辽宁大连·八年级统考期末)已知一次函数的图象过点(6,−4)与(12,4).
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)直接写出这个一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标.
【答案】(1)y=43x−12
(2)(9,0),(0,−12)
【分析】(1)设出一次函数的解析式是y=kx+b,然后把经过的点的坐标代入,求解得到k、b的值即可得解;
(2)根据一次函数的解析式即可求出图象与两坐标轴的交点坐标.
【详解】(1)设一次函数为y=kx+b,
∵一次函数的图象过点(6,−4)与(12,4),
∴ 6k+b=−412k+b=4,
解得k=43b=−12,
∴所求的解析式为y=43x−12.
(2)令x=0,则y=−12,
令y=0,则43x−12=0,解得x=9,
∴这个一次函数的图象与两坐标轴的交点为(9,0),(0,−12).
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式,一次函数图象上点的坐标特点,待定系数法是求函数解析式常用的方法之一,需要熟练掌握.
【变式2-2】(2023春·江苏南通·八年级校考期中)若y−2与2x+3成正比例,且当x=1时,y=12.
(1)求y与x的函数解析式.
(2)求当y=4时,x的值.
【答案】(1)y=4x+8
(2)x=−1
【分析】(1)设y−2=k2x+3,把x=1,y=12代入可得k=2,从而可得答案;
(2)把y=4代入函数解析式求解x即可.
【详解】(1)解:设y−2=k2x+3,
把x=1,y=12代入得12−2=5k,解得k=2,
所以y−2=22x+3,
所以y与x之间的函数关系式为y=4x+8;
(2)当y=4时,4x+8=4,
解答x=−1.
【点睛】本题考查的是成正比例的含义,利用待定系数法求解函数解析式,求解函数自变量的值,理解成正比例的含义是解本题的关键.
【变式2-3】(2023春·江苏南通·八年级统考期末)在平面直角坐标系中有A−1,4,B−3,2,C0,5三点.
(1)求过A,B两点的直线的函数解析式;
(2)判断A,B,C三点是否在同一条直线上?并说明理由.
【答案】(1)y=x+5
(2)A,B,C三点在同一条直线上,详见解析
【分析】(1)根据点A、B坐标,利用待定系数法求解函数解析式即可;
(2)将点C坐标代入(1)中解析式中,判定是否符合函数解析式即可作出判断.
【详解】(1)解:设过A,B两点的直线的函数解析式y=kx+b,
则−k+b=4−3k+b=2,解得k=1b=5,
∴直线AB的函数解析式为y=x+5
(2)解:A,B,C三点在同一条直线上,
理由:当x=0时,y=5,
∴点C0,5在直线AB上,
即A,B,C三点在同一条直线上.
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、判定点是否在直线上,熟练掌握一次函数图象上的点的坐标特征是解答的关键.
【题型3 一次函数图象上点的坐标特征】
【例3】(2023春·山西长治·八年级校考期中)如果点P2,k在直线y=−2x+2上,那么点P到x轴的距离为( )
A.−2B.2C.−4D.4
【答案】B
【分析】把点P2,k代入直线y=−2x+2求出k,即可点P到x轴的距离.
【详解】解:把点P2,k代入直线y=−2x+2得:
k=−2×2+2=−2,
∴点P到x轴的距离为|−2|=2.
故选:B .
【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征,准确分析计算是解题的关键.
【变式3-1】(2023春·广东深圳·八年级校考期中)下面哪个点在函数y=−3x+4的图象上( )
A.5,13B.−1,1C.3,0D.1,1
【答案】D
【分析】将点的横坐标代入解析式,进行求解后判断即可.
【详解】解:A、当x=5时,y=−3×5+4=−11,故5,13不在函数图象上;
B、当x=−1时,y=−3×−1+4=7,故−1,1不在函数图象上;
C、当x=3时,y=−3×3+4=−5,故3,0不在函数图象上;
D、当x=1时,y=−3×1+4=1,故1,1在函数图象上;
故选D.
【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征.熟练掌握一次函数图象上的点的横纵坐标满足函数解析式,是解题的关键.
【变式3-2】(2023春·江苏泰州·八年级统考期末)已知点P(a−2,b)在一次函数y=3x−2的图像上,则10−3a+b= .
【答案】2
【分析】将点P(a−2,b)代入一次函数y=3x−2中即可得出结果.
【详解】∵点P(a−2,b)在一次函数y=3x−2的图象上,
∴b=3a−2−2,
解得3a−b=8
10−3a+b=10−8=2.
故答案为:2.
【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特点.熟练掌握整体代入是解题的关键.
【变式3-3】(2023春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期末)一次函数y=kx+k图象一定经过点( )
A.1,0B.0,1C.1,1D.−1,0
【答案】D
【分析】当x=−1时,y=0,由此解答即可.
【详解】解:y=kx+k=kx+1,
当x=−1时,y=0,
∴一次函数y=kx+k图象一定经过点−1,0.
故选:D.
【点睛】此题主要考查了一次函数图象上的点,解答此题的关键是理解一次函数图象上的点都满足一次函数的解析式,满足一次函数解析式的点都在一次函数的图象上.
【题型4 一次函数解析式与三角形面积问题】
【例4】(2023春·江苏南通·八年级统考期中)如图,在平面直角坐标系中,▱OABC的顶点A在x轴上,顶点B的坐标为(6,4).若直线l经过点(1,0),且将▱OABC分割成面积相等的两部分,则直线l的函数解析式是( )
A.y=x+1B.y=13x+1C.y=3x﹣3D.y=x﹣1
【答案】D
【分析】首先根据条件l经过点D(1,0),且将▱OABC分割成面积相等的两部分,求出E点坐标,然后设出函数关系式,再利用待定系数法把D,E两点坐标代入函数解析式,可得到答案.
【详解】解:设D(1,0),
∵线l经过点D(1,0),且将▱OABC分割成面积相等的两部分,
∴OD=BE=1,
∵顶点B的坐标为(6,4).
∴E(5,4)
设直线l的函数解析式是y=kx+b,
∵图象过D(1,0),E(5,4),
∴k+b=05k+b=4,
解得:k=1b=−1,
∴直线l的函数解析式是y=x﹣1.
故选D.
【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式,解题的关键是求出E点坐标.
【变式4-1】(2023春·湖南长沙·八年级校联考期中)一次函数经过点1,2、点−1,6,
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)求这个一次函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积.
【答案】(1)y=−2x+4
(2)4
【分析】(1)利用待定系数法,求一次函数解析式即可;
(2)先求出直线与坐标轴的交点坐标,然后再求出三角形的面积即可.
【详解】(1)解:设这个一次函数的解析式为y=kx+b,将点1,2,−1,6代入得:
k+b=2−k+b=6,
解得k=−2b=4,
∴这个一次函数的解析式为y=−2x+4;
(2)解:设这个一次函数与x轴交于点A,与y轴交于点B,
把y=0代入得−2x+4=0,
解得:x=2,
把x=0代入得:y=4,
∴A2,0,B0,4,
∴S△AOB=2×4÷2=4.
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式,一次函数图象与坐标轴围成的图形面积,解题的关键是熟练掌握待定系数法.
【变式4-2】(2023春·江西上饶·八年级统考期末)一次函数的图象经过点A−3,5和B0,2两点.
(1)求出该一次函数的表达式;
(2)若直线AB与x轴交于点C,求△AOC的面积.
【答案】(1)y=−x+2
(2)5
【分析】(1)用待定系数法求解即可;
(2)先求出点C的坐标,再根据三角形的面积公式求解.
【详解】(1)设一次函数解析式为y=kx+b,
∵图象经过A−3,5,B0,2两点,
∴5=−3k+b2=b
解得:k=−1,b=2
∴一次函数解析式为y=−x+2;
(2)当y=0时,0=−x+2,
∴x=2,
∴C2,0
∴S△AOC=12×OC×yA=12×2×5=5,
答:△AOC的面积为5.
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式,一次函数与坐标轴的交点,以及三角形的面积,熟练掌握待定系数法是解答本题的关键.
【变式4-3】(2023春·山东聊城·八年级统考期末)把8个边长为1的正方形按如图所示摆放在直角坐标系中,经过原点O的直线l将这8个正方形分成面积相等的两部分,则该直线的函数表达式是( )
A.y=910xB.y=109xC.y=xD.y=2x
【答案】A
【分析】设直线l和八个正方形的最上面交点为A,过A作AB⊥OB于B,易知OB=3,利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式.
【详解】解:如图,设直线l和八个正方形的最上面交点为A,过A作AB⊥OB于B,易知OB=3,
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分,
∴S△AOB=4+1=5,
而OB=3,
∴12AB•3=5,
AB=103,
∴A点坐标为(103,3),
设直线方程为y=kx,
则3=103k,
∴k=910,
∴直线l解析式为y=910x.
故选:A.
【点睛】此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式,此题难度较大,解题的关键是作AB⊥y轴,作AC⊥x轴,根据题意即得到:直角三角形ABO,利用三角形的面积公式求出AB的长.
【题型5 根据实际问题列一次函数解析式】
【例5】(2023春·广东佛山·八年级佛山市华英学校校考期中)在某一阶段,某商品的销售量与销售价之间存在如表关系:
设该商品的销售价为x元,销售量为y件,估计:当x=115时,y的值为( )
A.85B.75C.65D.55
【答案】C
【分析】该商品的销售价每增加10元,销售量就减少10件,所以可以分析出销售量y与销售价x符合一次函数关系,再设出函数解析式,代入表格中的数据求出解析式,再把x=115代入求y的值即可.
【详解】解:由图表可以看出y与x符合一次函数关系,设y=kx+b(k≠0),
把x=90,y=90和x=100,y=80代入得,
90k+b=90100k+b=80,解得:k=−1b=180,
则y=−x+180,
当x=115时,y=−115+180=65.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了函数的表示方法,根据题目中的条件分析函数关系是关键的一步,并且要熟练掌握待定系数法求解析式.
【变式5-1】(2023春·山东东营·八年级东营市东营区实验中学校考期末)汽车由北京驶往相距120千米的天津,它的平均速度是30千米/时,则汽车距天津的路程S(千米)与行驶时间t(时)的函数关系及自变量的取值范围是( )
A.S=120−30t0≤t≤4B.S=30t0≤t≤4
C.S=120−30tt>0D.S=30tt=4
【答案】A
【分析】根据汽车距天津的距离=总路程−已行驶路程列函数关系式,再根据总路程判断出t的取值范围即可.
【详解】解:∵汽车行驶的路程为:30t,
∴汽车距天津的路程S(千米)与行驶时间t(时)的函数关系为:S=120−30t,
∵120÷30=4,
∴自变量t的取值范围是0≤t≤4,
故选:A.
【点睛】本题考查了列一次函数关系式,解决本题的关键是理解剩余路程的等量关系.
【变式5-2】(2023春·贵州贵阳·八年级统考期中)甲、乙两地相距120km,现有一列火车从乙地出发,以80km/h的速度向甲地行驶.设x(h)表示火车行驶的时间,y(km)表示火车与甲地的距离.
(1)写出y与x之间的关系式,并判断y是否为x的一次函数;
(2)当x=0.5时,求y的值.
【答案】(1)y=120−80x00、k0时,正比例函数y=−kx的图象经过第二、四象限,一次函数y=kx−k的图象经过第一、三、四象限;
当k0、k0,b0,此时函数y=bx+a的图象应经过第一、二、三象限;若函数y=ax−b图象经过第一、二、四象限时,则a
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