中考数学一轮复习专题6.6 反比例函数章末七大题型总结（拔尖篇）（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题6.6 反比例函数章末七大题型总结（拔尖篇）（北师大版）（解析版），共64页。

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\l "_Tc27284" 【题型1 反比例函数中的动点问题】 PAGEREF _Tc27284 \h 1
\l "_Tc23485" 【题型2 反比例函数与x=a或y=a】 PAGEREF _Tc23485 \h 10
\l "_Tc5092" 【题型3 反比例函数中的存在性问题】 PAGEREF _Tc5092 \h 20
\l "_Tc18616" 【题型4 反比例函数与勾股定理、全等三角形的综合】 PAGEREF _Tc18616 \h 31
\l "_Tc20946" 【题型5 反比例函数与图形变换】 PAGEREF _Tc20946 \h 42
\l "_Tc16758" 【题型6 反比例函数与定值、最值】 PAGEREF _Tc16758 \h 49
\l "_Tc3234" 【题型7 反比例函数的应用】 PAGEREF _Tc3234 \h 57
【题型1 反比例函数中的动点问题】
【例1】（2023春·四川成都·九年级四川省成都市石室联合中学校考期中）如图，已知直线y＝x＋2与双曲线y=kx交于A、B两点，且A点坐标为（a，4）．
（1）求双曲线解析式；
（2）将直线y＝x＋2向下平移两个单位得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求AP＋PQ的最小值，并求此时的Q点坐标；
（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，请求出N点坐标．
【答案】（1）y=8x；（2）32，Q(1,1)；（3）N1(−6,0),N2(6,0),N3−2,1+17,N4−2,1−17.
【分析】（1）把A的坐标代入y=x+2求解a的值，再代入y=kx中即可求得双曲线的解析式；
（2）如图，作A关于y轴的对称点A′(−1,2)，过A′作A′Q⊥l于Q，AA′交y轴于K, 则AP+AQ取得最小值,此时AP+PQ=A′P+PQ=A′Q, 再先求解∠POQ=45°, 再利用等腰直角三角形的性质可得答案，根据Q在直线y=x，且OQ =2,即可求得Q点的坐标；
（3）分两种情况讨论，如图，当AB为边时，当AB为矩形的对角线时，再利用矩形的性质及勾股定理与中点坐标公式建立方程，解方程可得答案.
【详解】解：（1）把A点坐标（a,4）代入y=x+2得：
∴a+2=4, 则a=1,
∴A2,4,
.∴k=xy=4×2=8,
∴ 双曲线为y=8x,
（2）如图，作点A关于y轴的对称点A′(−2,4)，过A′作A′Q⊥l于Q，AA′交y轴于K,
则AP+AQ取得最小值,此时AP+PQ=A′P+PQ=A′Q,
∴AK=A′K=2,OK=4,∠AKP=∠A′KP=90°,
∵ 将直线y=x+2向下平移2个单位得直线l，
∴l的解析式为：y=x, 且l是第一，第三象限的角平分线，
∴∠POQ=45°,
∴∠OPQ=45°=∠A′PK=∠KA′P,
∴A′K=PK=2,A′P=22,
∴OP=OK−PK=2,
∵∠PQO=90°,∠POQ=45°=∠OPQ,
∴PO=2, PQ=OQ,PQ2+OQ2=OP2,
∴PQ=2
∴A′Q=A′P+PQ=22+2=32
所以最小值为32；
∵QO=2，Q在y=x上，
∴ yQ=xQ
∴2=yQ2+xQ2
∴ yQ=xQ =1
∴Q(1,1)
（3）∵y=x+2与y=8x交于A,B两点
则y=x+2y=8x
解得x1=2y1=4,x1=−4y1=−2
∴B−4,−2
∴AB2=(2+4)2+4+22=72
如图，当AB为矩形的边时，设M10,y,
∴BM12=42+y+22，AM12=22+y−42
∵ 四边形ABM1N1为矩形，
∴∠ABM1=90°,
∴AB2+BM12=AM12,
∴72+42+y+22=22+y−42,
∴y=−6,
∴M10,−6,
∵B(−4,−2),A(2,4),从B平移的到点A是先向右平移6个单位，再向上平移6个单位，
∴ M10,−6先向右平移6个单位，再向上平移6个单位，得到N1(6,0)
同理可得：AB2+AM22=BM22,
∴72+22+y−42=42+y+22,
∴y=6, 则M20,6,
由平移的性质可得：N2−6,0.
如图，当AB为矩形的对角线时，设M30,y,N3a,b,
由矩形的性质：对角线相等且互相平分，再结合中点坐标可得，
a=−4+2y+b=4−2a2+b−y2=72
解得：a=−2b=1±17
∴N3−2,1+17,N4−2,1−17.
综上：N1(−6,0),N2(6,0),N3−2,1+17,N4−2,1−17..
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，轴对称的性质，垂线段最短，矩形的性质，勾股定理的应用，中点坐标公式，一元二次方程的解法，做到清晰的分类讨论是解题的关键.
【变式1-1】（2023春·辽宁沈阳·九年级沈阳市第七中学校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=mx图象交于点A−1,3和B3,c，与x轴交于点C．
(1)求一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=mx的解析式；
(2)观察图象，请直接写出使y1>y2的x取值范围；
(3)M是y轴上的一个动点，作MN⊥y轴，交反比例函数图象于点N，当由点O，C，M，N构成的四边形面积为72时，直接写出点N的坐标．
【答案】(1)y1=−x+2，y2=−3x
(2)y1>y2的x取值范围为：x8
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC=90∘．点A的坐标为1，0，点C的坐标为3，4，M是BC边的中点，函数y=kxx>0 的图象经过点M．
（1）求k的值；
（2）将△ABC绕某个点旋转180∘后得到△DEF（点 A，B，C 的对应点分别为点D，E，F），且 EF在y轴上，点D在函数y=kxx>0的图象上，求直线DF的表达式．
【答案】（1）6；（2）y=2x-1．
【分析】（1）根据直角三角形的性质和坐标与图形的特点求得点M的坐标，将其代入反比例函数解析式求得k的值；
（2）根据旋转的性质推知：△DEF≅△ABC，故其对应边、角相等：DE=AB，EF=BC，∠DEF=∠ABC=90°，由函数图象上点的坐标特征得到：D2,3，E0,3.结合EF=BC=4得到F0,−1，利用待定系数法求得结果.
【详解】（1）∵Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC=90°，点C的坐标为（3，4），
∴点B的坐标为（3，0），CB=4．
∵M是BC边的中点，
∴点M的坐标为（3，2）．
∵函数y=kxx>0的图像进过点M,
∴k=3×2=6．
（2）∵△ABC绕某个点旋转180°后得到△DEF，
∴△DEF≌△ABC．
∴DE=AB，EF=BC，∠DEF=∠ABC=90°．
∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），
∴AB=2．
∴DE=2．
∵EF在y轴上，
∴点D的横坐标为2．
∵点D在函数y=6x的图象上，
当x=2时，y=3．
∴点D的坐标为（2，3）．
∴点E的坐标为（0，3）．
∵EF=BC=4，
∴点F的坐标为（0，-1）．
设直线DF的表达式为y=ax+b，将点D，F的坐标代入，
得3=2a+b−1=b 解得a=2b=−1 .
∴直线DF的表达式为y=2x-1．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质.解题时，注意函数思想和数形结合数学思想的应用.
【变式5-3】（2023春·江苏淮安·九年级统考期末）如图1，正方形ABCD的顶点A1,1，点C3,3，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点D．

(1)试说明反比例函数y=kx的图象也经过点B；
(2)如图2，正方形ABCD向下平移得到正方形MNPQ，边MN在x轴上，反比例函数y=kx的图象分别交正方形MNPQ的边PQ、PN于点E、F．
①求△MEF的面积；
②在x轴上是否存在一点G，使得△GEF是等腰三角形，若存在，直接写出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①74；②存在，(32,0)或(54,0)
【分析】（1）将点D的坐标代入反比例函数表达式求得k值，再验证点B即可；
（2）①S△MEF=S正方形MNPQ−S△QME−S△PEF−S△MNF，即可求解；
②分EF=EG、EF=GF、EG=GF三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：（1）∵点A1,1，点C3,3，四边形ABCD是正方形，
∴点D1,3，B3,1，
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：k=3，
∴反比例函数表达式为：y=3x，
当x=3时，得y=1，
∴反比例函数y=kx的图象也经过点B；
（2）解：2①平移后点M、N、P、Q的坐标分别为：1,0、3,0，3,2、1,2，
则平移后点F横坐标为3，则点F3,1，
同理点E32,2，
∴S△MEF=S正方形MNPQ−S△QME−S△PEF−S△MNF=2×2−12×2×12−12×2×1−12×32×1=74；

②点F、E的坐标分别为：3,1、32,2，
设点Gm,0，
则EF2=(3−32)2+(2−1)2=134，FG2=(m−3)2+1，GE2=(m−32)2+4，
当EF=EG时，即134=(m−3)2+1，
解得：m=92或32，
当m=92时，点E、F、G三点共线，故舍去，
∴m=32，
当EF=GE时，同理可得：方程无实数根，舍去，
当EG=GF时，同理可得：m=54，
故点G的坐标为：32,0或54,0，使得△GEF是等腰三角形．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到勾股定理的运用、等腰三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏．
【题型6 反比例函数与定值、最值】
【例6】（2023·山东济宁·校考二模）如图，直线y=2x+6与反比例函数y=kx(k>0)的图像交于点Am,8，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y=n(00的解集；
(3)直线y=n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？
【答案】(1)y=8x
(2)x>1
(3)n=3,254
【分析】（1）先把点A的坐标代入一次函数解析式求出m的值即可得到点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k，即可确定反比例函数解析式；
（2）只需要找到当x>0时，一次函数图像在反比例函数图像上方时自变量的取值范围即可解答；
（3）先求出M8n，n，Nn−62，n，进而得到MN=8n−n−62，再根据三角形面积公式得到S△BMN=−14n−32+254，利用二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵直线y=2x+6经过点A1，m，
∴m=2×1+6=8，
∴A1，8，
∵反比例函数经过点A1，8，
∴8=k1，
∴k=8，
∴反比例函数的解析式为y=8x．
（2）解：由函数图像可知，当x>1时一次函数y=2x+6的图像在反比例函数图像的上方，
∴当x>1时，2x+6>kx，即2x+6−kx>0
∴不等式2x+6−kx>0的解集为x>1．
（3）解：由题意，点M，N的坐标为M8n，n，Nn−62，n，
∵00，
∴0.0001x+3600x⩾2×0.0001x×3600 x=1.2，
∴当0.0001x=3600x时，即x=6000时，0.0001x+3600x有最小值为1.2，
∴y的最小值为6.2元，
答：当x为6000时，该设备每生产一个零件的运营成本最低，最低是6.2元；
（2）∵直线y=−43x−4与坐标轴分别交于点A、B，
∴点A(−3,0)，点B(0,−4)，
设点M(x,12 x)，
∴C(x,0)，点D(0,12 x)，
∴CA=x+3，DB=12 x+4，
∵四边形ABCD面积=12×AC×BD=12×(x+3)(12 x+4)=2(x+9x)+12，
∵x>0，
∴x+9x⩾2x×9x=6，
∴当x=9x时，即当x=3时，x+9x有最小值为6，
∴四边形ABCD面积的最小值为24，
故答案为：24．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了完全平方公式，一次函数的性质，反比例函数的性质等知识，解决本题的关键是理解并运用阅读材料内容．
【题型7 反比例函数的应用】
【例7】（2023春·江苏苏州·九年级统考期末）学校举行数学文化竞赛．图中的四个点分别描述了八（1）、八（2）、八（3）、八（4）四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述八（2）、八（4）两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则成绩优秀人数最多的是（ ）

A．八（1）班B．八（2）班C．八（3）班D．八（4）班
【答案】A
【分析】设反比例函数表达式为y=kx(k>0)，过八（1）点，八（3）点作y轴的平行线交反比例函数于A，B，设八（1）点为(x1，y1)，八（2）点为(x2，y2)，八（3）点为(x3，y3)，八（4）点为(x4，y4)，点A为(x1，y1′)，点B为x3，y3′)，然后比较x1y1，x2y2，x3y3，x4y4与k的大小即可得出答案．
【详解】解：设反比例函数的表达式为y=kx(k>0)，
过八（1）点，八（3）点作y轴的平行线交反比例函数于A，B，

设八（1）点为(x1，y1)，八（2）点(x2，y2)，八（3）点为(x3，y3)，八（4）点(x4，y4)，点A为(x1，y1′)，点B为(x3，y3′)，
由图象可知：y1>y1′，y3y1′，y3x1y1′=k，x3y3x2y2=x4y4>x3y3，
即：八（1）班优秀人数>八（2）班优秀人数=八（4）班优秀人数>八（3）班优秀人数，
∴八（1）班的优秀人数为最多．
故选：A．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象与性质的实际应用，读懂题意，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决问题的关键．
【变式7-1】（2023春·浙江杭州·九年级统考期末）五一假期，小王一家从杭州到温州自驾游，已知杭州到温州市区A处的路程为300千米，小王家的车油箱的容积为55升，小王把油箱加满后驾驶汽车从杭州出发．

(1)求汽车行驶的总路程s（单位：千米）与平均耗油量b（单位：升/千米）的函数表达式．
(2)小王以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达温州市区A处，休整后沿图示路线继续出发，先到雁荡山B处，再到楠溪江C处，最后到洞头D处．由于下雨，从A处开始直到D处小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了20%．如果小王始终以此速度行驶，不需加油能否到达洞头D处？如果不能，至少还需加多少油？
【答案】(1)s=55b(b>0)
(2)不加油不能到达洞头D处，还需加油5升以上
【分析】（1）利用公式：路程=总容积÷平均耗油量，即可得的函数关系式；
（2）求出到达温州市区A处所需油量与从A处到达洞头D处所需油量之和，再和55升比较即可．
【详解】（1）解：根据题意得：s=55b(b>0)；
（2）从杭州到温州 A 处，一共耗油0.1×300=30升，
从A−B−C−D 处：
b=0.1×1+20%=0.12，
一共耗油79+40+131×0.12=30升，
∵30+30=60>55
∴不加油不能到达洞头D处，还需：30+30−55=5升
答：不加油不能到达洞头D处，还需加油 5升 以上．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，理解平均耗油量与行驶路程的关系．
【变式7-2】（2023春·河北邢台·九年级统考期末）某经销商出售一种进价为4元/升的液体原料，在市场营销中发现此商品日销售价x元/升与日销售量y（升）满足反比例函数，部分数据如下表：
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)已知如图所示的长方体容器中装满了液体原料，记日销售后长方体中剩余液体的高度为ℎ(m)

①求h关于x的函数关系式；
②物价局规定此液体原料的日销售价最高不能超过8元/升，若该液体原料按最大日销售利润销售20天，则长方体容器中剩余液体原料多少升？
【答案】(1)y=600x(x>0)
(2)①ℎ=2−35x；②500升
【分析】（1）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是600，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可；
（2）①用两种方式表示日销售量即可列方程求解；
②根据题意先求出日销售利润，再求出最大销售量，进一步可得出结论．
【详解】（1）反比例函数能表示其变化规律．
设y关于x的函数关系式为y=kx（k≠0）
将x=3，y=200代入得k=600，
∴y=600x(x>0)；
（2）①液体原料的日销售量为1×1×2−ℎ=2−ℎm3=10002−ℎ升，
∴y=600x=1000(2−ℎ)，
∴ℎ=2−35x，
②设此液体原料的日销售利润为W（元），由题意可得
W=(x−4)×600x=600−2400x，
∵4≤x≤8，
∴当x=8时，W有最大值，此时最大日销售量为y=6008=75，
∵该液体原料按最大日销售利润销售20天，
∴长方体容器中剩余液体原料为1×1×2×1000−75×20=500（升）
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，两个变量的积是定值，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求最大值，解答此类题目的关键是仔细理解题意．
【变式7-3】（2023春·河南南阳·九年级统考期末）建模：某班开端午联欢会，生活委员彤彤先购买了2个装饰挂件，共计3元，又购买了单价为2元的粽形香囊x个，设所有装饰挂件和粽形香囊的平均价格为y元，则y与x的关系式为_______（不要求写x的范围）
【探究】根据函数的概念，彤彤发现：y是x的函数，结合自己学习函数的经验，为了更好地研究这个函数，彤彤打算先脱离实际背景，对该函数的完整图像与性质展开探究，请根据所给信息，将彤彤的探究过程补充完整．
（1）列表：
填空：m=______，n=______．
（2）在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出该函数的图像．
（3）观察函数图像，判断下列描述错误的一项是（ ）
A．该函数图像是中心对称图形
B．该函数y值不可能等于2
C．当x>−2时，y随x的增大而增大
D.当x